1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三事件 A，B，C 两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是： ( )（A）A 与 BC 独立（B） AB 与 AC 独立（C） AB 与 AC 独立（D）AB 与 AC 独立2 设 X1，X 2，X 3 是随机变量，且 X1N(0，1)，X 2N(0，2 2)，X 3N(5，3 2)，pi=P-2Xi2)(i=1，2，3)，则( )（A）p 1p 2p 3（B） p2p 1p 3（C） p3p 1p 2（D）p 1p 3p 23 设随机变量 Xt(n)(n1)
2、 ，Y= ，则( )（A）Y 2(n)（B） Y 2(n-1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n)二、填空题4 随机地向半圆 0y (a 为正常数) 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 的概率为_5 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为_6 设平面区域 D 由曲线 及直线 y=0，x=1 ，x=e 2 所围成，二维随机变量(X， Y)在区域 D 上服从均匀分布，则 (X，Y)关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为_7 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，
3、则PmaxX，Y1=_8 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，且随机变量 Z=3X-2，则EZ=_9 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，Y N(-2，9)，ZN(2 ，2)，则 P0X+Y-Z3=_(34)=07734)10 设 xF(n，n)，且 P(|X|A)=03，则 P(X1A)=_(其中 A 为一常数)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度函数12 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求(X， Y)的联合分布函数 F(x，y)13 设 X 与 Y 独
4、立同分布，P(X=1)=p，(0p1) ， p(X=0)=1-p，令 Z=问 p 取何值时，X 与 Z 独立?(设 0 为偶数)13 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：14 乙箱中次品件数 X 的数学期望；15 从乙箱中任取一件产品是次品的概率16 袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为 3：2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1 个，记 X 为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数，求 E(X)17 已知线段 AB=4，CD=1，现分别独立地在 AB 上任取点 A1，在
5、CD 上任取点C1，作一个以 AA1 为底、CC 1 为高的三角形，设此三角形的面积为 S，求 P(S1)和 D(S)18 对随机变量 X，Y，已知，EX 2 和 EY2 存在，证明：E(XY) 2E(X2)E(Y 2)19 设总体 X 的概率分布为 其中参数 (0，1)未知，以 Ni 表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数(i=1，2，3)试求常数 a1，a 2，a 3，使 aiNi 为 的无偏估计量，并求 T 的方差19 设 X1，X 2，X n 为来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，其中 0 已知，20 未知 和 S2 分别表示样本均值和样本方差20
6、 求参数 2 的最大似然估计21 计算22 设 Y=lnXN(， 2)，而 X1，X n 为取自总体的 X 的简单样本，试求 EX 的最大似然估计23 测得两批电子器材的部分电阻值为： A 批：140 ，138，143，142，144，139； B 批： 135，140，142，136，135，140 设两批电子器材的电阻均服从正态分布，试在 =005 下检验这两批电子器材的平均电阻有无显著差异，(t 0975 (10)=22281 ，F 0975 (5，5)=715，下侧分位数，提示：先检验方差相等)考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只
7、有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 “两两独立”指 P(A)P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)；而“相互独立”指上述 3 个式子，另加 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)共 4 个式子成立，注意 P(ABC)=P(A(BC)，只有(A)可选【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 P 1=P-2X12=(2)-(-2)=2(2)-1P2=P-2X22=(1)-(-1)=2(1)-1P3=P-2X32=这儿 ，是服从 N(0，1)分布的随机变量的分布函数，知 (2)(1) ，故 p1p 2；又 (1)=08
8、413，而 ，可得 p2p 3，故选(A)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由 Xt(n)，得 X2F(1，n)，故 Y= F(n，1)，故选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 记图 42 中半圆区域为 G， 阴影部分区域为D，面积分别记为 SG 和 SD，则【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 设这两个数分别为 x，y，则二维点(x，y)可能取的点为图 43 中的正方形内部(面积为 1)，而符合要求(即题中“两数之差的绝对值 ”)的点集合(x，y)：0x1，0y 1， 为图中阴影部分 G，而 G
9、 的面积为，故所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 则关于 X的边缘密度 fX(x)=-+f(x，y)dy当 x1 或 xe2 时， fX(x)=0 当 1xe 2 时，【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 由题意知 X 与 Y 的概率密度均为 则 PX1)=PY1=-1f(x)dx=01 故 Pmax(X，y)1)=P)X1，Y1=P(X1)P(Y1=【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 4【试题解析】 EX=2 ， EZ=E(3X-2)=3EX-2=32-2=4【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 E(X+Y-Z
10、)=EX+EY-EZ=4-2-2=0， D(X+Y-Z)=DX+DY+DZ=5+9+2=16，X+Y-ZN(0，16)，故 P(0X+Y-Z3=07734-05=0 2734 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 07【试题解析】 由 03=P(XA)，A=F 03 3(n，n)，1A=F 07 ，(n，n) ，故P(X1A)=0 7(本解是由下侧分位数表述的，若用上侧表示则类似，但答案相同)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由已知，(X，Y)的联合密度为而 Z 的分布函数为则 Z 的概率密度为【知识模块】 概率论与
11、数理统计12 【正确答案】 F(x，y)= -xdu-yf(u，v)dv，故 x0 或 y0 时，F(x ，y)=0；x1，y1 时，F(x，y)= 01du014uvdv=1：x1，0y1 时，F(x ，y)=01du014uvdv=y2(图中阴影部分即为积分区域，其余类似，不再画图 )；y1，0x1 时，F(x，y)= 0xdu014uvdv=x2y2【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 P(Z=0)=P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=2p(1-p) P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=1)=P(X=0，Y=0)+P(X=1 ，Y=1)=(1
12、-p) 2+p2 而 P(X=0，Z=0)=P(X=0，Y=1)=P(X=0)P(Y=1)=p(1-p) 如果 P(X=0，Z=0)=P(x=0)P(Z=0)，则须 p(1-p)=(1-p)2p(1-p) 解得 p=12，不难验算出，p=12 时，P(X=0，Z=1)=P(X=0)P(Z=1)=14，P(X=1 ，Z=0)=P(X=1)P(Z=0)=14，P(X=1 ，Z=1)=P(X=1)P(Z=1=14。故知当且仅当 p=12 时，X 与 Z 独立。【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 X 可能取的值为 0，1，2，3 可算得： P(X=k)= ，
13、k=0，1，2，3或写成【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 记 A=从乙箱中任取一件产品是次品，由全概率公式得：【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 记 Ai=第 i 次取白球)，P(AA i)=25，i=1 ，2，且诸 AAi 相互独立，P(X=k)=P(AA 1Ak-1 )【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 记 AA1 长度为 X，CC 1，长度为 Y，则知 X 与 Y 为二相互独立的随机变量，分别服从区间0，4和0，1 上的均匀分布，(X，Y) 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 tR1，有 0E(X+tY)2=E(X2)
14、+2tE(XY)+t2E(Y2)，故此二次型(变量为 t)无实根或有重根，所以其判别式0，而=4E(XY) 2-4EX2EY 2，即得E(XY)2E(X2)E(Y 2)【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 记 p1=1-，p 2=-2，p 3=2，则可知 NiB(n，p i)，ENi=np，i=1，23 且 DN1=np1(1-p1)=n(1-)于是 ET= aiENi= ainpi=na1-(a2-a1)+(a3-a2)2为使 T 为 的无偏估计量，即要求 (0，1)时有 ET= 即 na1+(a2-a1)+(a3-a2)2= 比较系数即得： 故 a1=0，a 2=a3=1n又由
15、N1+N2+N3=n，得：【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由题意知，总体 X 的概率密度为： f(x； 2)= ，-x+似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由 X1，X 2，X n 独立同分布且 X1N( 0， 2)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 EX=Ee Y= ，令Yi=lnX，i=1 ，2，n，Y 1，Y n 相当于取自总体 Y 中的样本，似然函数【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设 A、B 批电子器材的电阻值分别为总体 X 和 Y，则XN( 1， 12)，YN( 2， 22)，先检验，H 0： 12=22，拒绝域为F= (n-1，m-1)并 F (n-1，m-1)，这儿 n=m=6，算得Sx2=56，S y2=92，F=06087， (n-1，m-1)=F 0025 (5，5)=01399，故 (n-1，m-1)F (n-1，m-1)，接受H0；又检验 H0： 1=2，拒绝域为：这里接受 H0，即认为两批电子器材的平均电阻值无显著差异【知识模块】 概率论与数理统计
