1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( )2 设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，Y 服从正态分布 N(2， 22)，且 P|X-11P|Y- 2|1)则必有( )（A） 1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 23 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差 20，令，则( )4 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示X，Y
2、的概率密度，则在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度为 fX|Y(x|y)( )（A）f X(x)（B） fY(y)（C） fX(x)fY(y)（D）5 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1) 的简单随机样本， 为样本均值，S2 为样本方差，则 ( )二、填空题6 已知 P(A)=P(B)=P(C)= ，P(AB)=0 ，P(AC)=P(BC)= ，则事件 A、B、C 全不发生的概率为_7 设 A，B，C 是随机事件， A 与 C 互不相容，=_8 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_9 设
3、随机变量 X 服从均值为 10，均方差为 002 的正态分布，已知，(25)=0 9938，则 X 落在区间(995，1005)内的概率为_10 设随机变量 y 服从参数为 1 的指数分布，a 为常数且大于零，则 PYa+1|ya=_11 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 PX =_12 设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|X-E(X)|2_13 设 X1，X n 是来自总体 N(， 2)的简单样本，其中 、 2 均未知，记，则假设 H0：=0 的 t 检验使用的统计量t=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设随机变量 X 的绝对值不大
4、于 1，P(X=-1)=1 8，P(X=1)=14，在=1X1 出现的条件下，X 在区间(-1 ，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求 X 的分布函数 F(x)14 证明：15 若随机变量 X 只取一个值 a，则 X 与任一随机变量 Y 独立；16 若随机变量 X 与自己独立，则必有常数 C，使得 P(X=c)=117 设二维随机变量(X，Y)在区域 D：0x1，|y|x 内服从均匀分布，求关于 X的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1 的方差 DZ18 设 A，B 为随机事件，且求()二维随机变量(X，Y)的概率分布；()X 与 Y 的相关系数 (X，Y) 。19
5、 设随机变量 X 在区间(-1，1)上服从均匀分布，Y=X 2，求(X，Y) 的协方差矩阵和相关系数20 现有 k 个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共 n+1 层，电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入电梯)，现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值21 设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布，这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为 100 和 150(小时)，而成本分别为 c 和 2c 元，如果制得的元件寿命不超过 200 小时，则须进行加工，费用为 100 元，为使平均费用较低，问 c 取值时，用第 2 种方法
6、较好 ?22 从总体 XN(0， 2)中抽得简单样本 X1，X n+m，求22 设随机变量 X 与 y 相互独立且分别服从正态分布 N(， 2)与 N(，2 2)，其中 是未知参数且 0记 Z=X-Y23 求 Z 的概率密度 f(z， 2)；24 设 Z1，Z 2，Z n 为来自总体 Z 的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量25 证明 为 2 的无偏估计量26 从均值为 ，方差为 20 的总体中分别抽取容量为，n 1 和 n2 的两个独立样本，样本均值分别记为 和 ，试证：对任意满足 a+b=1 的常数 a、b，T= 都是 的无偏估计，并确定 a、b，使 D(T)达到最小考研数学一（概率与
7、数理统计）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可知 X+YN(1，2)，故 N(0，1)其中X+YN(1，2)的理由：EX=0，EY=1 ，DX=DY=1 E(X+Y)=EX+EY=0+1=1，D(X+Y)=DX+DY=1+1=2 故得之P(X+Y1)=，故(B)成立。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 故 1 2【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 cov(X 1，Y)=，故应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】
8、由(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 Y 独立，(X，Y)的概率密度 f(x，y=f X(x)f Y(y)， (x，y) R2得故选(A)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可知：X 12 2(1)， Xi2 2(n-1)，且 X12 与 Xi2 相互独立，故【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 ABC AB， 0P(ABC)P(AB)=0，P(ABC)=0 所求概率为=1-P(ABC)=1-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)【知识模块】 概率论与数理统
9、计7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 记 A=取的 2 件产品中至少有 1 件是不合格品)，B=取的 2 件产品都是不合格品)，则 P(A)=，有 AB=B，所求概率为 P(B|A)=【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 09876【试题解析】 由题意，XN(10，002 2)，P995X1005)= =(25)-(-25)=2(2 5)-1=209938-1=09876【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 1-e -1【试题解析】 由题意，Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解
10、析】 由题意，DX= ，而 X 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 12【试题解析】 切比雪夫不等式为：P|X-E(X)| 2) ，故 P|X-E(X)|2【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 F(x)=P(Xx)，由已知得：x-1 时，F(x)=0 ；x1 时，F(x)=1；F(-1)=P(X-1)=P(x=-1)=18，当-1x1 时，有 P-1Xx|-1X1=k(x+1)，而 P(-1X1)=58，可化得 P(-1Xx)=k(x+1)，其
11、中 k=58k(待定)，故 P(xx)=P(-1Xx)=P(X=-1)+P(-1Xx)= +k(x+1)，又由 14=P(X=1)=F(1)-F(1-0)=1-( +2k)，得 k=516，即-1x1 时，F(x)=【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 xa 时， P(Xx)=0，故 P(Xx， Yy)=P(Xx)P(yy)=0，xa 时，P(Xx)=1，故 P(Xx，Yy)=P(Yy)=P(Xx)P(Yy) (x，y) R2，有P(Xx，Yy)=P(Xx)P(Yy)，即 X 与 Y 独立【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由已知得： (
12、x，y) R2，有 P(Xx，Xy)=P(Xx)P(Xy) 记 X 的分布函数为 F(x)，则 F(x)=P(Xx)前式中令 y=x 即得 F(x)=F(x)2，可见 F(x)只能取0 或 1，又由 F(-)=0，F(+)=1，知必存在 C(常数)，使得 故PX=C=1【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 D 的面积(见图 46)为 (X，Y)的概率密度为：关于 X 的边缘概率密度 fX(x)=-+f(x，y)dy当 x0 或x1 时，f X(x)=0；当 0x1 时，f X(x)=-xx1dy=2x故 DZ=D(2X+1)=4DX=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】
13、 ()P(X=1，Y=1)=P(AB)=112，故(X，Y) 的概率分布为： ()由() 易得关于 X、Y 的概率分布(列)分别为；【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 X 的概率密度为：DY=E(Y2)-(EY)2=E(X4)-EX2)2= ，cov(X，Y)=cov(X，X 2)=E(X3)-EXEX 2=0，故知 (X，Y)的相关系数 (X，Y) =0，协方差阵为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为 X、Y ，费用分别为 、，则知 X、Y 的概率密度分别为：且 P(X20
14、0)=，E=(c+100)P(X200)+c，P(X200)=c+100p(X200) ， E=(2c+100)P(Y200)+2cP(Y200)=2c+100P(Y200)，于是 E-E=c+100P(Y200)-P(X200)=c+100，可见 c100 时，EE，用第 2 种方法较好(平均费用较低)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 N(0，1)，i=1 ，n+m，且诸 Xi 相互独立，故：【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 X 与 Y 独立，可见 Z=X-Y 服从正态分布，而 EZ=E(X-Y)=EX-EY=-=0， DZ=D(X-Y)=DX+DY=2+22=32ZN(0 ，3 2)故 f(z； 2)=，-z+【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由 EZ=0，DZ=3 2E(Z2)=DZ+(EZ)2=32【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计
