1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 A，B 为任意两个随机事件，则( )（A）P(AB)P(A)P(B)（B） P(AB)P(A)P(B)（C）（D）2 设事件 A 与 B 独立且不相容，则 minP(A)，P(B)=( )（A）1（B） 0（C）（D）不能确定3 设随机变量 X 的密度为 f(x)，且 f(-x)=f(x)，xR 1，又设 X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，F(-a) 等于( )（A）1- 0af(x)dx（B） -0af(x)dx（C） F(a)（D）2F(a)-14 设随
2、机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U=maxX，Y，V=minX，Y)，则 E(UV)=( )（A）EU EV（B） EXEY（C） EUEY（D）EX EY5 设随机变量 Xt(n) ，Y F(1，n)，给定 (0 05)，常数 c 满足 PXc=，则 PYc 2=( )（A）（B） 1-（C） 2（D）1-2二、填空题6 已知 A、B 两个事件满足条件 P(AB)= ，且 P(A)=p，则 P(B)=_7 设随机变量 在区间(1， 6)上服从均匀分布，则方程 x2+x+1=0 有实根的概率是_8 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 E(X+e-2x)=
3、_9 设随机变量 X 的概率分布为 PX=k)= ，k=0，1，2，则 EX2_10 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 (0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 y 表示在中途下车的人数，求11 在发车时有，n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；12 二维随机变量(X，Y) 的概率分布12 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为13 求 PX2Y；14 求 Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)15
4、将一枚均匀硬币连掷 3 次，X 为这 3 次抛掷中正面出现的次数， Y 为这 3 次抛掷中正、反面出现的次数之差的绝对值，试写出(X，Y) 的分布列和关于 X，Y 的边缘分布列，并判断 X 与 Y 是否独立。16 设区域 D 为：由以(0，0)，(1，1) ，(0，12)，(12，1)为顶点的四边形与以(12， 0)，(1，0)，(1，1 2)为顶点的三角形合成而(X，Y)在 D 上服从均匀分布，求关于 X 和 Y 的边缘密度 fX(x)和 fY(y)。17 设随机变量(X，Y) N(0，1；0，1；) ，求 Emax(X，Y)18 设随机变量 X1，X 2，X n 独立同分布且 DX1=2，
5、令 相关系数19 设试验成功的概率为 34，失败的概率为 14，独立重复试验直到两次成功为止，设 X 为所需要进行的试验次数，求 X 的概率分布及 E(X)20 两家影院竞争 1000 名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响，试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1?(2328)=0990)20 设总体 X 的分布函数为 其中 是未知参数且大于零，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本21 求 EX 与 EX2；22 求 的最大似然估计量 ；23 是否存在实数 a，使得对任何 0，都有24 为了研究施肥和不施肥对某
6、种农作物产量的影响独立地，选了 13 个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表：设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为 095 的置信区间(t0975 (11)=2201，下侧分位数)考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 P(AB)P(A)， P(AB)P(B)，两式相加即得：【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 AB=，得 0=P(AB)=P(A)P(B)，可见 P(A)与 P(B)中至少有
7、一个为0，故 minP(A)，P(B)=0【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 1= -+f(x)dx=20+f(x)dx， 0+f(x)dx=12，而 F(-a)=-af(x)dx=+af(-t)(-dt)=a+f(t)dt=0+f(x)dx=0af(x)dx= -0af(x)dx，故选(B)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知 UV=XY 故 E(UV)=E(XY)=EXEY，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由题意，X 2 与 Y 同分布，即|X|与 同分布，且由 0 05，可见 c0，故
8、 P(Yc 2)=P c)=P(|X|c)=P(X c)+P(X -c)=+=2(图中曲线为 X 的概率密度的大致图形)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 1-p【试题解析】 由 P(AB)= =1-P(AB)=1-P(A)+P(B)-P(AB)=1-p-P(B)+P(AB)故 P(B)=1-p【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 的密度为： 而方程 x2+x+1=0的判别式= 2-4故该方程有实根的概率为 P(0)=P(24)=P(|2)=|x|2f(x)dx=【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 由题意，X 的密度为：
9、且知 EX=1【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 3+2【试题解析】 由题意知 X 与 Y 独立同分布，且 XN( ， 2)， 故 EX=，E(Y 2)=DY+(EY)2=2+2 E(XY2)=EXE(Y 2)=(2+2)=3+2【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 由贝努里概型知 所求概率为 P(y=m|X=n)=Cnmpm(1-p)n-m(m=0，1，n)【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 P(X=n ，Y=
10、m)=P(Y=m|X=n)P(X=n)=C nmpm(1-p)n-m， ，m=0，1，n；n=0，1，2，【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 f Z(z)=-+f(x，z-x)dx于是，f Z(z)=01f(x，z-x)dxz0 时，f Z(z)=0；0z1 时，f Z(z)=(2-z)dx=z(2-z)1z2 时，f Z(z)=z-11(2-z)dx=(2-z)2；z2 时，f Z(z)=0 故【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 P(X=k)= ，k=0，1，2，3，而 Y=|X-(3
11、-X)|=|2X-3|，得(X，Y) 的分布如下表，并算出边缘分布列，P(X=0，Y=1)=0 =P(X=0)P(Y=1)，X 与 Y 不独立。【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 易算得 D1 的面积为 38，D 2 的面积为 18，故 D 的面积为 12，(X，Y)的概率章密度为fX(x)=-+y(x，y)dy 当 x0或 x1时，f X(x)=0而 fY(y)=-+f(x，y)dx当 y0或 y1时，fY(y)=0；【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 E(X Y)=EX-EY=0，D(X-Y)=DX+DY-2cov(X，Y)=1+1 2=2(1-)， X-YN(
12、0 ，2(1-)，【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 P(X=k)=P前 k-1 次试验中恰出现 1 次成功，第 k 次试验成功=，k=2，3，设出现第 1 次成功时进行了 次试验，从第 1 次成功(不含)到第 2 次成功(含) 进行了 次试验，则 X=+，且 与服从同一几何分布：P(=k)= ，k=1 ，2，可算得 E=E=43，故EX=E+E=83【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设甲影院(乙影院完全同理)应设 N 个座位才符合要求，而这 1000名观众中有 X 名选择甲影院，则 XB(1000，12)，由题意有：P(XN)099而由中心极限定理知：P(XN)=，N53【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 X 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 当x1，x n0时，lnL=nln2-nln+ln(x 1xn)-【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由 E(X2)=及辛钦大数定律知，n时， ，故知：取a=，则有 0，均有【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体 X 与 Y，XN( 1， 2)，YN( 2， 2)，本题中 n=6， =33，【知识模块】 概率论与数理统计
