1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以 A 表示事件“ 甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件 为( )（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （B） “甲、乙两种产品均畅销”（C） “甲种产品滞销” （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 2 设 A，B，C 是任意三个事件，事件 D 表示 A， B，C 中至少有两个事件发生，则下列事件中与 D 不相等的是( )3 设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则( )（A）P(C)P(A)+P(B)一 1（B） P(C)P(A)+P(B)一 1（C
2、） P(C)=P(AB)（D）P(C)=P(A B)4 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，则事件( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立5 假设 X 是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y 的分布函数( )（A）是连续函数（B）是阶梯函数（C）恰有一个间断点（D）至少有两个间断点6 已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x
3、条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY)=( )（A）0（B）（C）（D）17 设(X，Y) 为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（A）若 X 与 Y 不相关，则 X2 与 Y2 不相关（B）若 X2 与 Y2 不相关，则 X 与 Y 不相关（C）若 X 与 Y 均服从正态分布，则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价（D）若 X 与 Y 均服从 01 两点分布，则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价8 假设随机变量 x 在区间一 1，1上均匀分布，则 U=arcsinX 和 V=arccosX 的相关系数等于( )（A）一 1（B） 0（C） 05（D）19
4、设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差 20，令则( )10 假设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， ，X n 是取自总体的简单随机样本(n 1)，其均值为 ，如果 P|X|a=P| 一 |b ，则比值 ( )（A）与 及 n 都有关（B）与 及 n 都无关（C）与 无关，与 n 有关（D）与 有关，与 n 无关11 已知总体 X 的期望 E(X)=0，方差 D(x)=2X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值为 X，则可以作出 2 的无偏估计量( )二、填空题12 甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而
5、乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p 与 05，则p=_时，甲、乙胜负概率相同13 假设 X 服从参数 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 ，则 =_14 设随机变量 x 服从指数分布，E(X)=5，令 Y=minX，2，则随机变量 Y 的分布函数 F(y)=_15 设随机变量 X 的分布函数为 已知 P一1X1= 则 a=_；b=_ ；f(x)=_ 16 设二维随机变量(X，Y)在 xOy 平面上由直线 y=x 与曲线 y=x2 所围成的区域上服从均匀分布，则17 已知随机变量 X 与 y 的联合概率分布为又 PX+Y=l
6、=04，则=_；=_ ；PX+Y1=_；PX 2Y2=1=_18 设 ， 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量，则随机变量| 一 |的数学期望 E(| 一 |)=_19 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 则X2 和 Y2 的协方差 Cov(X2，Y 2)=_20 设 X1，X 2，X 6 是来自正态分布 N(0， 2)的简单随机样本统计量 F=服从 F(n1，n 2)分布，其中 a 为常数，则参数 n1 和 n2 分别为_21 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度函数为 f(x)=一x+，则 的最大似然估计量 =_三、解答题解答应写出文字说明、
7、证明过程或演算步骤。22 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率23 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度24 袋中有 1 个红球，2 个黑球和 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数()求 Px=1|Z=0；()求二维随机变量 (X， Y)的概率
8、分布25 设以 X 表示某一推销员一天花费在汽油上的款项 (以美元计)，以 Y 表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知 X 和 Y 的联合概率密度为()求边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)；()求条件概率密度 fY|X(y|x)fX|Y(x|y)；()求 x=12 时 Y 的条件概率密度；()求条件概率 PY8|X=1226 已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ()试求(X，Y) 的边缘概率密度 fX(x)fY(y)，并问 X 与 Y 是否独立；()令 Z=XY，求 Z 的分布函数 fZ(z)与概率密度 fZ(z)27 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其
9、数学期望为 05kg，均方差为 01kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少?28 设总体 X 服从拉普拉斯分布： 其中参数 0，如果取得样本观测值为 x1，x 2，x n，求参数 的矩估计值与最大似然估计值29 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零，X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本()求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量30 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并给出检
10、验过程附：t 分布表 Pt(n)tp(n)=p考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 A1=甲种产品畅销，A 2=乙种产品滞销，则 A=A1A2，由德摩根定律得 =甲种产品滞销乙种产品畅销，即 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，故选 D选项 A、B 中的事件与事件 A 都是互斥但非对立( 互逆)的；选项 C 中事件的逆事件显然包含事件 A，故选项 A，B，C 都不正确【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 事件 D 表示 A、B、C 中至少有两个事件发生，即
11、A、B、C 三个事件恰好只有两个发生或者三个事件同时发生而选项 A 仅表示三个事件只有两个发生与事件 D 不相等，应选 A【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件可知 C AB，于是根据概率的性质、加法公式，有 P(C)P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B)一 1，故 B 正确【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 对任意实数 t，根据全概率公式及概率性质得 0PX+Y=t=PX+Y=t，x=0+PX+Y=t，X=b=PY=t 一 a， X=a+Py=t
12、一 b，X=bPY=t一 a+PY=t 一 b=0，(因为 P(AB)P(A)，又 Y 是连续型随机变量，所以对任意实数 c，有 PY=c=0)故对任意实数 t，PX+Y=t=0 X+Y 的分布函数是连续函数，因此选 A【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 D：设 xB(1，p)，YB(1，g) ，当 X 与 Y 独立时 X 与Y 不相关反之，当 X 与 Y 不相关，即 E(XY)=E(X)E(Y)=pq 时，可得下列分布律 由此可知 X 与 Y 独立故此时 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等
13、价，故选项 D 正确根据不相关的性质可排除选项 A 和 B对于选项 C，当 X 与 Y 均服从正态分布时，(X，Y) 未必服从二维正态分布，故选项 C 不正确【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 U=arcsinx 和 V=arccosX 满足下列关系：即 由于 U 是 V 的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数 =一 1应选 A【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 因为 E(X)=0，D(X)=E(
14、X 2)=2，【知识模块】 概率与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，如果要使得甲乙的取胜概率相同，则必定有 p=(1 一 p)0 5+(1 一 p)0505，解得 所以只有当 时，甲乙胜负的概率相同【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 根据独立试验序列概型，可求得结果事实上，已知记 A=X2|，Y 为对 X 作三次独立重复观察事件 A发生的次数，则 YB(3，p)，其中 p=P(X2)= 2+e 一 2dx=e 一 2，依题意【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 当 X2 时，Y=X2；当 X2时，Y=2因此随机变量
15、Y 的取值为01，2，则 e0Y2=1，由于 X 服从参数 的指数分布，因此当 x0 时，PXx= 当 0Y2 时，PYy=Pmin(X，2)y=PXy= 于是，Y 的分布函数为【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(一 1+0)=F(一 1)，即【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 由直线 y=x 与曲线 Y=x2 所围成的区域面积为所以(X，Y)的概率密度函数为【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 03；01；04；03【试题解析】 根据题意得知，01+02+0+B+0 1+02=1，
16、(1) 及 PX+Y=1=PX=0，Y=1+PX=1 ， Y=0=+01=04，(2)联立(1)和(2)，解得=03，=01，于是 =PX=0，Y=1+PX=0，Y=0+PX=1 ， Y=一 1=01+02+0 1=04，PX 2Y2=1=PX=1，Y=一 1+PX=1，Y=1=01+02=03【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 因为 ， 相互独立且均服从正态分布 因此 Z=一 也服从正态分布，且【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 一 002【试题解析】 由 X 和 Y 的联合概率分布得于是有 E(X2)=120 5=05，E(Y 2)=1206=06，E
17、(X 2Y2)=12028=028，所以Cov(X2，Y 2)=E(X2Y2)一 E(X2)E(Y2)=028030=一 002【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 2 和 4【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 设甲乙两艘船到达的时间分别为 x，y，并把(x，y)视为直角坐标系里的一个点的坐标，则 x，y 满足条件 Ox24，Oy24 所以总的基本事件数为坐标系中边长为 24 的正方形的面积，如图 1 一 5 所示用事件 A 表示 “两艘船中任何一
18、艘都不需要等候码头空出” ，则 x，y 满足不等式 y 一 x1x 一 y2则上述不等式组表示的区域为图中阴影部分的面积，即事件 A 的基本事件数容易求得正方形面积为S=242，阴影部分面积为 根据几何概型，可得【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 设先后开动的两台自动记录仪无故障工作的时间分别为 X1 与X2，则 T=X1+X2，X 1，X 2 的密度函数均为 直接根据两个独立的连续型随机变量之和的卷积公式，可得 fT(t)=一 +f(x)f(t 一 x)dx=0t=5e 一5x5e 一 5(t 一 x)dx=25te 一 5t(t0)从而其概率密度为 fT(t)=FT(t)=【知
19、识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 () 在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 () 如图 36 所示()(1)当 10x20 时 fX(x)0，条件概率密度 fY|X(y|x)存在；(2)当 10x20 时，有【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 画出 f(x，y)非零定义域，应用定义、公式进行计算(2)当 z0 时，如图 44 所示，有【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 根据独立同分布中心极限定理，设置表示第 i 只零件的重量(i=1
20、，2，5000)，且 E(X2)=05，D(X 2)=01 2设总重量为 则有E(Y)=500005=2500，D(Y)=500001 2=50 根据独立同分布中心极限定理可知Y 近似服从正态分布 N(2500，50)，而 近似服从标准正态分布 N(0，1)，所求概率为【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 样本的一阶原点矩为两边同时取对数，并对参数 求导，令结果为 0，解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 假设该次考试的考生成绩为 X， XN(， 2)，把从 X 中抽取的容量为 n 的样本均值记为 ，样本标准差为 S，则本题是在显著性水平 =005 的条件下检验假设 H0：=70，H 1：70 ，其拒绝域为因为 n=36，X=665，S=15，t 0975 (361)=20301 ，计算可得 所以接受假设H0：u=70，即在显著性水平 005 条件下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分【知识模块】 概率与数理统计
