1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为随机事件，P(B)0，则( )（A）P(AUB)P(A)+P(B) （B） P(AB)P(A)一 P(B)（C） P(AB)P(A)P(B)（D）2 设 A1，A 2 和 B 是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1A2)|B)=P(A1|B)+P(A2|B)，则( )（A）P(A 1A2)=P(A1)+P(A2)（B） P(A1A2)=P(A1|B)+P(A2|B)（C） P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)（D）3 设 0P(A)1，0P(B)1
2、，P(A|B)+ =1，则事件 A 和 B( )（A）互不相容（B）相容（C）不独立（D）独立4 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随 的增大，概率 P|X 一 |应该( )（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定5 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，边缘分布为 FX(x)和 FY(y)，则概率PXx，Yy等于( )（A）1 一 F(x，y)（B） 1 一 FX(x)一 FY(y)（C） F(x，y)一 FX(x)一 FY(y)+1（D）F X(x)+FY(y)+F(x，y)一 16 设相互独立两随机变量 X 和 Y 均服从 则可以作出服从二项分布的
3、随机变量是( )（A）X+Y+2 （B）（C） XY+2（D）7 设随机事件 A 与 B 互不相容，0P(A)1，0P(B) 1，记X 与 Y 的相关系数为 P，则( )（A）=0（B） =1（C） 0（D）08 设 X1，X 2，X n，相互独立且都服从参数为人( 0)的泊松分布，则当n时，以 (x)为极限的是( )9 假设两个正态分布总体 XN( 1，1)，YN( 2， 1)，X 1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 分别是取自总体的相互独立的简单随机样本，X 与 Y 分别是其样本均值，S 12 与 S22 分别是其样本方差，则 ( )10 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X
4、的一个简单随机样本，D(X)= 2，X 是样本均值，则 2 的无偏估计量是( )二、填空题11 已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P(A)+P(B)=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为_12 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=_13 设随机变量 X 的概率分布 ，k=1，2，其中 a 为常数，X 的分布函数为 F(x)，已知 F(b)= ，则 b 的取值应为_14 设随机变量 X 一 N(， 2)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 05，则=_15 设随机变量 X1
5、 和 X2 相互独立，它们的分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，已知则 X1+X2 的分布函数 F(x)=_16 设 X 和 Y 为两个随机变量，且 PX0，Y0= ，PX0=P(Y0)= ，则Pmax(X，Y)0=_17 设相互独立的两个随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布，则随机变量 XY 的概率密度函数的最大值等于_18 设连续型随机变量 X 的分布函数为 已知 E(X)=1，则D(X)=_19 设随机变量 X1 的分布函数为 F1(x)，概率密度函数为 f1(x)，且 EX1=1，随机变量 X 的分布函数为 F(x)=04F 1(x)+06F 1(2x+1)，则 E(X)=_
6、20 设 X1，X 2，X n 为来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其中参数 2 未知记 对假设 H0： 2=02，在 已知时使用，检验统计量为_；在 未知时使用 2 检验统计量为_21 设总体 X 的数学期望和方差都存在，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 是样本均值，则对于任意 i，j(ij)， 的相关系数ij=_22 已知一批零件的长度 X(单位：cm) 服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40(cm)，则 的置信度为 095 的置信区间是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 袋中有 a 个白球与
7、b 个黑球每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率24 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y=eX 的概率密度 fY(y)25 设二维离散型随机变量只取(一 1，一 1)，(一 1，0)，(1，一 1)，(1 ，1)四个值，其相应的概率分别为 ()求(X，Y) 的联合概率分布； ()求关于 X 与关于 Y 的边缘概率分布；()求在 Y=l 条件下关于 X 的条件分布与在 X=1 条件下关于 Y 的条件分布26 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为()试求 X 的概率密度 f(x)；()试求事件 “X 大于 Y”的概率 PXY；()求条件概
8、率 PY1|X0527 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：()乙箱中次品件数的数学期望；()从乙箱中任取一件产品是次品的概率28 进行 30 次独立测试，测得零件加工时间的样本均值 =55s ，样本标准差s=17s设零件加工时间服从正态分布 N(， 2)，求零件加工时间的均值 及标准差 的置信水平为 095 的置信区间29 已知总体 X 的概率密度 X1，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，Y=X 2( )求 Y 的期望 E(Y)(记 E(Y)为 b)；()求 的矩估计量 和最大似然估
9、计量 ；()利用上述结果求 b 的最大似然估计量30 某工厂生产的铜丝的折断力(N)服从正态分布 N(2820，40 2)某日抽取 10 根铜丝进行折断力试验，测得结果如下： 2830 2800 2795 2785 2820 2850 2830 2890 2860 2875 是否可以认为该日生产的铜丝折断力的方差也是 402(N2)?(取显著性水平=005)考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 根据概率运算性质可知，P(AUB)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B)，故
10、选项 A 不成立P(A B)=P(A)一 P(AB)P(A)一 P(B)，故正确选项为 B而，所以选项 D 不成立至于选项 C，它可能成立也可能不成立，如果 则 P(AB)=P(A)P(A)P(B)【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知，P(A 1A2|B)=0，但是这不能保证 P(A1A2)=0 和 P(A1A2|B)=0，故 A 和 D 不成立由于 P(A1|B)+P(A2|B)=P(A1A2)|B)未必等于 P(A1+A2)，因此 B 一般也不成立由 P(B)0 及 P(A1A2)|B)=P(A1|B)+P(A2|B)，可见选项 C成立：【知识模块】 概率
11、与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 若 xN(， 2)，则该概率值与 无关，选项 C 正确【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 记事件 A=Xx，B=yy ，则 PXx，Yy= =1 一P(AB)=1 一 P(A)一 P(B)+P(AB)=1 一 PXx一 PYy+PXx，Yy=1F X(x)一 FY(y)+F(x，y)，故选项 C 正确【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 选项 B 不能选，否则选项 D 必成立因此
12、仅能在选项 A、C、D 中考虑，即考虑 P 的符号，而相关系数符号取决于 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，根据题设知 E(X)=P(A)，E(Y)=P(B) ，XY (因为 P(AB)=0)，所以 Cov(X，Y)=一 E(X)E(Y)0，故选 C。【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X n，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E(Xi)=，D(X i)=，根据方差与期望的运算法则，有以 (x)为极限，故应选 C【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 C【试
13、题解析】 【知识模块】 概率与数理统计二、填空题11 【正确答案】 09【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 由题设，有【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 3b4【试题解析】 首先确定 a，由【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 4【试题解析】 设事件 A 表示“二次方程 y2+4y+X=0 无实根”，则 A=164X0=X 4，依题意，有【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 X 1 的分布函数为 F1(x)，则根据全概率公式，可得 F(x)=PX1+X2x=PX1=0PX1+X2xX1=0+PX1 一 1PX
14、1+X2x|X1=1【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 设 A=X 0，B=Y0 ，因此【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可知，XYN(0，2)，其概率密度函数【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 1【试题解析】 根据题意，已知连续型随机变量 X 的分布函数为【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 04【试题解析】 根据题意，已知随机变量 X1 的分布函数为 F1(x)，概率密度函数为f1(x)，可以验证 F1(2x+1)为分布函数，记其对应的随机变量为 X2，其中 X2 为随机变量 X1 的函数，且 记随机变量
15、X2 的分布函数为 F2(x)，概率密度函数为 f2(x)，所以 X 的分布函数为 F(x)=04F 1(x)+06F 2(x)，两边同时对 x 求导得f(x)=04f 1(x)+06f 2(x)，于是 一 +xf(x)dx=04 一 +xf(x)dx+06 一 +xf2(x)dx，【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 在 已知时，选用 2 检验统计量为在 未知时，选用 2 检验统计量为【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 设 =E(X)， 2=D(X)，对任意 i,j(ij)因 Xi 和 Xj 独立同分布，所以【知识模块】 概率与数理统计22
16、【正确答案】 (3951，4049)(注：标准正态分布函数值 (196)=0975 ，(1645)=095)【试题解析】 根据题设，1 一 =095，可见 =005于是查标准正态分布表知=1 96本题 n=16，【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 设事件 A1 表示第一次取出的是白球，事件 A2 表示第二次取出的也是白球，事件 B1 表示第一次取出的是黑球，事件 B2 表示第二次取出的也是黑球如果两次取出的球颜色相同，则用 A1A2+B1B2 表示不放回抽取属于条件概率，【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 根据分布函数的
17、定义，有【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 () 根据题意，(X，Y) 的联合概率分布如下表所示()关于X 与关于 Y 的边缘概率分布分别为表中最右一列与最下一行【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 () 设 X 为 Z 箱中次品的件数 X 的可能取值为 0，1，2，3，所以X 的概率分布为()设 A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品” ，由于X=0 ，X=1，X=2 ，X=3构成完备事件组，因此根据全概率公式，有【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 已知 n=30， =55s，s=17s， 未知，置信水平为 0
18、95，则=005，查询 t 一分布表得 (n 一 1)=t0025 (29)=204，总体均值的置信区间为【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 () 直接根据公式 Eg(X)=一 +g(x)f(x)dx 计算【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 根据题意，原假设和备择假设分别为H0： 2=402，H 1： 2402根据已知数据计算得样本方差为 S21228(N2)，选择 2统计量 已知 0=40，n=10，并将样本方差代入得显著性水平 =005，因此临界值为因为 0975 2(9) 2 0075 2(9)，所以接受原假设，可以认为该日生产的铜丝折断力的方差也是402(N2)【知识模块】 概率与数理统计
