1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是 ( )（A）（B）（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)=P(A)2 设 A，B 是任意两个随机事件，则（A）0（B）（C）（D）13 袋中有 5 个球，其中白球 2 个，黑球 3 个甲、乙两人依次从袋中各取一球，记A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球 ” 若取后放回，此时记 p1=P(A)，P 2=P(B)； 若取后不放回，此时记 P3=P(A)，P 4=P(B) 则( )（A）p
2、1p2p3p4（B） p1=p2p3p4（C） p1p2=p3p4（D）p 1=p2=p3=p44 设随机变量 X 服从正态分布 N(，4 2)，YN( ， 52)；记 p1=PX 一 4，p2=PY+5，则( )（A）p 1=p2（B） p1p 2（C） p1p 2（D）因 未知，无法比较 p1 与 p2 的大小5 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )（A）X 2（B） XY（C） X+Y（D）(X，Y)6 设随机变量 (i=1，2) 且满足 PX1X2=0=1，则 PX1=X2等于( )（A）0（B）（C）（D）
3、17 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X 一 2Y的方差是( )（A）8（B） 15（C） 28（D）448 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=1，i=1 ，2，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( )9 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，X，S 2 分别为容量是 n 的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量是 ( )10 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，记 E(X)=，D(X)= 2，D(S)0，则( )（A）S 是 的
4、无偏估计（B） S2 是 2 的无偏估计（C） 是 2 的无偏估计（D） 是 E(X2)的无偏估计二、填空题11 10 个同规格的零件中混人 3 个次品，现在进行逐个检查，则查完 5 个零件时正好查出 3 个次品的概率为_12 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为_13 设 X 是服从参数为 2 的指数分布的随机变量，则随机变量 的概率密度函数 fY(y)=_14 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则15 假设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，Y=|X|，则(X，Y) 的联合分布函数F(x，y)=_16 设平面区域 D 由曲线 及直线 y=0，x
5、=1 ，x=e 2 所围成，二维随机变量(X， Y)在区域 D 上服从均匀分布，则 (X，Y)关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为_17 已知随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y1=X1，Y 2=X2 则 Y1 一 Y2 服从_ 分布，参数为_18 相互独立的随机变量 X1 和 X2 均服从正态分布 ，则 D(|X1 一 X2|)=_19 已知随机变量 X 的概率密度为 一 x+，则 D(X2)=_20 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本 (n2)，记样本均值 的方差 D(Y)=_21 设 X1，X 2，X m 为来自二项
6、分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S2 分别为样本均值和样本方差若 +kS2 为 np2 的无偏估计量，则 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 证明：如果 P(A|B)=P(A| )，则事件 A 与 B 是独立的23 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 设 X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 X的分布律、分布函数和数学期望24 设(X，Y)的联合分布函数为 其中参数 0，试求 X 与 Y 的边缘分布函数25 已知(X，Y)的概率分布为 ()求 Z=XY 的概率分布；() 记 U1=XY，V
7、1= 求(U 1，V 1)的概率分布；()记U2=max(X，Y)，V 2=min(X，Y) ，求(U 2，V 2)的概率分布及 U2V2 的概率分布26 设 A，B 为随机事件，且 求：( )二维随机变量(X，Y) 的概率分布；()X 和 Y 的相关系数 XY27 从正态总体 N(34，6 2)中抽取容量为 n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(14， 54)内的概率不小于 095，问样本容量 n 至少应取多大?28 两批导线，从第一批中抽取 4 根，从第二批中抽取 5 根，测得其电阻()如下：第一批导线：0143，0142，0143，0137；第二批导线：0140，0142，0136，0
8、138，0140设两批导线的电阻分别服从正态分布N(1， 12)及 N(2， 22)，其中 1， 2 及 1， 2 都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差 1 一 2(假定 1=2)及方差比 的置信水平为 095 的置信区间29 某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)=其中 0 未知，现从这批器件中任取 n 只在时刻 t=0 时投人独立寿命试验，试验进行到预定时间 T0 结束此时有 k(0kn)只器件失效，试求 的最大似然估计30 对两批同类电子元件的电阻(Q)进行测试，各抽取 6 件，测得结果如下：第一批：0140 0138 0143 0141 0144 013
9、7；第二批：0135 0140 0142 0136 0138 0140设电子元件的电阻服从正态分布，检验：()两批电子元件电阻的方差是否有显著差异；(取显著性水平 =005)()两批电子元件电阻的均值是否有显著差异(取显著性水平 =005)考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB= ，所以 A 一 B=AAB=A 一 =A，从而 P(AB)=P(A)，故选项 D 正确对于选项 A、B 可用反例排除，如取 =1，2，3 ，A=1，B=2 ，则 故选项 A 不正确；如果取 A=1
10、，B=2，3 ，显然不相容，故选项 B 也不正确对于选项 C，由于 ，所以 P(AB)=0，但由题设可知，P(A)P(B)0，因此选项C 也不正确【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 依据取球方式知 p1=p2=p3，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得p3=p4，所以正确答案是选项 D【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 计算得知p1=p2，故选项 A 正确【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 根据由 X，Y 的独立性可知，(X，Y)的联合密度因此(X，Y)服
11、从区域 D=(x，y)|0x 1，0 y1 上的二维均匀分布，故选项 D 正确【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 由 PX1X2=0=1 得知，PX 1X20=0于是根据 X1，X 2 的分布律，有 PX1=一 1，X 2=一 1=0，PX 1=一 1，X 2=1=0PX 1=1，X 2=一 1=0， PX1=1，X 2=1=0再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X1，X 2)的联合分布律如下表由上表显然可见，X1=X2 有三种情况，每种情况的概率均为 0，因此 PX1=X2=0，故选项 A 正确【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】
12、 本题考查方差的运算性质，是一道纯粹的计算题可根据方差的运算性质 D(C)=0(C 为常数)，D(CX)=C 2D(X)以及相互独立随机变量的方差性质D(XY)=D(X)+D(Y)自行推演所以选项 D 正确【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 根据排除法逐项分析，可知【知识模块】 概率与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 记 A=“查完 5 个零件正好查出 3 个次品”，现要求的是 P(A)的值事实上，事件 A 由两个事件合成：B
13、=“前 4 次检查，查出 2 个次品”和 C=“第5 次检查，查出的零件为次品”，即 A=BC，由乘法公式 P(A)=P(BC)=P(B)P(C|B)，事件 B 是前 4 次检查中有 2 个正品 2 个次品所组合，所以 已知事件 B 发生的条件下，也就是已检查了 2 正 2 次，剩下 6 个零件，其中 5 正 1次，再要抽检一个恰是次品的概率【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 这是一个几何概型，设 x，y 为所取的两个数，则样本空间=(x，y)|0 x，y1 ，记 A ，所以其中 SA，S 分别表示 A 与 的面积【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 【试题
14、解析】 【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 根据题意 X 的概率密度函数为 所以 PX0=1，则 F(x，y)=PXx ， |X|y=PXx，Xy，X0【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 区域 D 的面积为 因此(X ，Y)的联合概率密度是 且其关于 x 的边缘概率密度为【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 正态；【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，随机变量 X1，和 X2 相互独立，且服从正态分布设 Z=X1X2，则 Z
15、N(0，1)，其概率密度函数为【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 20【试题解析】 由于 D(X2)=E(X4)一 E2(X2)所以 D(X2)=41 一(21)2=244=20【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 8(n 一 1)4【试题解析】 构造新的简单随机样本：X 1+Xn+1， X2+Xn+2，X n+X2n，显然Xi+Xn+iN(2，2 2)所以，新的样本均值和新样本方差为【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 一 1【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 利用互逆事件概率和为 1
16、 可证明如果 A 与 B 是独立的，则满足P(A|B)=P(A)由于 B 与 B 是互逆事件，因此满足 P(B)+P( )=1，P(A|B)=P(A|B)P(B)+P(B)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)已知 P(A|B)=P(A| )成立，且由全概率公式可得，P(B)P(A|B)+P( )P(A| )=P(A)，因此 P(A|B)=P(A)，所以事件 A 与 B 是独立的【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 根据题意，X 服从二项分布 因此 X 的分布律为X 的数学期望是【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 当 x0 时，F X(x)=PXx=F(x，+)=1
17、 一 e 一 x；当 x0 时，FX(x)=0，所以关于 X 的边缘分布函数为 同理，关于 Y的边缘分布函数为【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 根据矩阵法求解，由题设得()(U 2，U 2)的概率分布【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 已知 n1=4，n 2=5，根据已知可得两个样本的均值和方差分别为=0 14125，s 12=82510 一 62； =01392，s 22=52010 一 62当1， 2 未知，且假定 1=2，置信水平为 095，则 =005，自由度为 k
18、=4+52=7，查询 t 分布表可得 S的观测值 S，为 S25510一 3，可以得到 所以均值差 1 一 2(假定 1=2)的置信水平为 095 的置信区间为=(01412501392000404，01412501392+000404)=(一 0002，0006) 1， 2，未知时，置信水平为 095，则 =005，自由度为 n1 一 1=3，n 2 一1=4，查询 F 分布表得【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 考虑事件 A：“试验直至时间 T0 为止，有 k 只器件失效，而有 n一 k 只未失效” 的概率，设 T 的分布函数为 F(t)，即有 一只器件在 t=0 时投入试验，
19、则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0=F(T0)=1 一；而在时间 T0 未失效的概率为 PTT 0=1 一 F(T0)= 因为各只器件的试验结果是相互独立的，所以事件 A 的概率为【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 两批电子元件的电阻分别服从正态分布 N1(1， 12)和N2(2， 22)它们的样本均值和样本方差的观测值分别为()根据题意，原假设和备择假设分别为H0： 12=22，H 1： 1222，选择 F 统计量，因为 s12s 22，所以将样本方差的观测值代入得，显著性水平 =005，所以临界值为由于 FF 0025 (55)，因此接受原假设，认为两批电子元件电阻的方差没有显著差异()根据题意，原假设和备择假设分别为 H0： 1=2，H 1： 02 1， 2 未知但是相等的情况下，选取统计量根据 S的计算公式可得 S27010 一 3，将相关数据代入得 显著性水平 =005，因此临界值为 因为|T|t 005 (10)，所以接受原假设，认为两批电子元件电阻的均值没有显著差异【知识模块】 概率与数理统计
