1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(BlA)=P(B|A)，则必有( )（A）P(A|B)=P(A|B)（B） P(A|B)P(A|B)（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B) 2 下列事件中与 A 互不相容的事件是( )3 连续抛掷一枚硬币，第 k 次(kn)正面向上在第 n 次抛掷时出现的概率为( )4 设随机变量 X 的密度函数为 则概率 PX +a(a 0)的值( )（A）与 a 无关随 的增大而增大（B）与 a
2、 无关随 的增大而减小（C）与 无关随 a 的增大而增大（D）与 无关随 a 的增大而减小5 设 F1(x)与 F2(x)分别是随机变量 X1 与 X2 的分布函数，为使 F(x)=aF1(x)一 bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取( )6 设随机变量 X1 与 X2 相互独立，其分布函数分别为则 X1+X2 的分布函数 F(x)=( )7 设随机变量 X 和 Y 相互独立同分布，已知 PX=k=p(1 一 p)k 一1，k=1 ，2， ，0p1，则 PXY 的值为( )8 设随机变量 X 的方差存在，并且满足不等式 P|XE(X)|3 ，则一定有( )（A）D(
3、X)=2 （B） P|XE(x)|3 （C） D(X)2（D）P|XE(X)|3 9 设 X 是一随机变量，E(X)=，D(X)= 2(， 20 常数)，则对任意常数 C 必有( )（A）E(XC) 2=E(X)2 一 C2（B） E(XC)2=E(X 一 )2（C） E(XC)2E(X 一 )2（D）E(XC) 2E(X 一 )210 假设 X1，X 2，X 10 是来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，Y 2=则( )（A）X 2 一 2(1)（B） Y2 2(10)（C）（D）11 总体均值 置信度为 95的置信区间为 ，其含义是( )二、填空题12 将一枚硬币重复掷五次，则正、反
4、面都至少出现两次的概率为_13 已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= ，设A=max(X，Y)0，B=max(X，Y) 0，min(X，Y) 0 ，C=max(X，Y)0，min(X，Y)0 ，则 P(A)=_，P(B)=_，P(C)=_ 14 已知随机变量 X 的概率分布为 PX=k= 则 PY25=_ 15 设离散型随机变量 X 的概率函数为 Px=i=pi+1，i=0，1，则 p=_16 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y) N(_)17 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0
5、，3上的均匀分布，则PmaxX，Y1=_18 已知随机变量 X 的分布函数 F(x)在 x=1 处连续，且 F(1)= 若Y= abc0，则 E(Y)=_19 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y N(0 ，2)，则 E(X2+Y)=_20 假设随机变量 X1，X 2，X 2n 独立同分布，且 E(Xi)=D(Xi)=1(1i2n)，如果则当常数 c=_时，根据独立同分布中心极限定理，当 n充分大时，Y n 近似服从标准正态分布21 设总体 X 一 P()，则来自总体 X 的样本 X1，X 2，X n 的样本均值 的概率分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤。22 已知连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)为 又知 E(X)=0，求 a，b 的值，并写出分布函数 F(x)23 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y) 联合分布率及关于 X 和关于 Y 的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处24 编号为 1，2，3 的三个球随意放人编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 求(X 1，X 2)的联合分布25 设随机变量 X 和 Y 的概率分布分别为P(X2=Y2)=1()求二维随机变量(X，Y) 的概率分布；() 求 Z=XY 的概率分布；()求 x 与 y 的相关系数XY26 已知样本观测
7、值为 x1，x 2，x n，设 a 及 b0 为常数，作变换证明：() 分别是样本均值的观测值；( )sx2=b2sy2，其中 sx2 及 sy2 分别是样本方差的观测值27 设总体 X 的概率密度为 其中 一 1 是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量28 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数(01) ，X 1，X 2， Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值x1，x 2，x n 中小于 1 的个数，求 的最大似然估计29 已知总体 X 的密度函数为 X1，X n 为简单随机样本，
8、求 的矩估计量30 在某段公路上，观测每 15s 内通过的汽车辆数，得到数据如下：利用 2 拟合检验准则检验该段公路上每 15s 内通过的汽车辆数是否服从泊松分布(取显著性水平(=0 05)考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 根据题设条件可知，无论事件 A 发生与否，事件 B 发生的概率都相同，即事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，因此可以确认 A 与 B 是相互独立的，应该选 C【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计
9、3 【正确答案】 D【试题解析】 依据题意，总共抛掷 n 次，其中有k 次出现正面，余下的为 n 一 k 次反面第 n 次必是正面向上，前 n 一 1 次中有n 一 k 次反面，k 一 1 次正面(如图 1 一 3 所示)根据伯努利公式，所以概率为【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 概率 PX+a(a0)，显然与 a 有关，固定 随 a 的增大而增大，因而选 C事实上，由于 1=一 +f(x)dx=A+e 一 xdx=Ae 一 A=e，概率PAX+a=A +ae 一 xdx=e(e 一 e 一 一 a)=1 一 e 一 a，与 无关随 a 的增大而增大，故选项 C 正
10、确【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 对任何 x，为保证 F(x)0，a 与一 b 均应大于 0，又 F(+)=aF(+)一 bF(+)=ab=1，故选项 A 正确【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意知 X1 为离散型随机变量，其分布律为【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 因为事件|XE(X)| 3是事件|XE(x)|3的对立事件，且题设P|XE(X)|3 ，因此一定有 P|XE(X)|3 ，选项 D 正确进一步分析，满足不等式 P|XE(X)|3
11、 的随机变量，其方差既可能不等于 2，亦可以等于2，因此选项 A 与 C 都不能选若 X 服从参数 n=8，p=05 的二项分布，则有E(X)=4，D(X)=2但是 P|XE(X)|3=P|X 一 4|3=PX=0+PX=1+PX=7+PX=8= 因此选项 B 也不成立【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(xC) 2=E(X 一 + 一 C)2 =E(X)2+2(C)E(X)+(一 C)2， 考虑到 E(X 一 )=E(X)一 =0，因此得 E(XC) 2=E(X)2+(C)2E(X 一 )2 故选 D【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 C【试题解
12、析】 根据题设知，XN(0， 2)，X iN(0， 2)，且相互独立，由 2 分布，t 分布，F 分布的典型模式知，选项 A、B 不成立，事实上，选项D 不成立，所以选择 C【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 根据置信区间的概念，应选 C均值 是一个客观存在的数，说“以 95的概率落入区间 ”是不妥的，所以不选 A，而 B、D 均与 无关，无法由它确定 的置信区间【知识模块】 概率与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 该试验为独立重复试验序列概型，记 A=“正、反面都至少出现两次”，X 为将硬币投掷五次正面出现的次数，则 ，而 Y=5 一 X 为 5
13、 次投掷中反面出现的次数，那么 A=2X5，2Y5=2X5 ，25 一 X5=2X5，0X3=X=2X=3 ，所以 P(A)=PX=2+PX=3=【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率由于 A=max(X，Y)0=X，Y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，所以 P(A)【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 由于 PX=0+PX=1=p+p2=1，所以 p2+p 一 1=0，解得【知识模块】 概率与数理统计16 【正
14、确答案】 【试题解析】 (X，Y) 的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，所以可知 X，Y 独立由正态分布XN(， 2)的标准化可知【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 根据题设可知，X 与 Y 具有相同的概率密度【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据离散型随机变量期望公式计算由于 F(x)在 x=1 处连续，故E(Y)=aPX1+6PX=1+cPX 1=a1 一 PX1+bPX=1+cPX1=a1 一F(1)+bF(1)一 F(1 一 0)+cF(1 一 0)【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 1【试题解析】 因为 X 和
15、 Y 相互独立，所以 X2 与 Y 相互独立，E(X 2+Y)=E(X2)+E(Y)，由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=1，因此 E(X2)=D(X)+E2(X)=1， YN(0，2)，故 E(Y)=0，所以 E(X2+Y)=1【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 记 Zi=X2i 一 X2i 一 1，则 Zi(1in)独立同分布，且 E(Zi)=0，D(Z i)=2由独立同分布中心极限定理可得，当 n 充分大时，【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 根据分布的可加性可知，当 X1，X 2 独立时，有 X1+X2P(2) ，同理
16、，X1，X 2，X n 为相互独立且同为 P()分布时，有【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 先求出 Xi 的分布，而后再求得联合分布的部分值，从而求得联合分布如果将 3 个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为3!=6，PX 1=1=P1 号球落入 1 号盒又PX1=1，X 2=1=P1 号球落入 1 号盒，2 号球落入 2 号盒= 依次可求得(X 1，X 2)的联合分布为【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 () 由
17、于 P(X2=Y2)=1，因此 P(X2Y2)=0由 P(X=0，Y=1)=0，因此 P(X=1，Y=1)=p(X=1，Y=1)+P(X=0 ，Y=1)=P(Y=1)= 再由 P(X=1，Y=0)=0 可知 P(X=0，Y=0)=p(X=1，Y=0)+P(X=0 ，Y=0)=P(Y=0)= 同理，由 P(X=0，Y=一1)=0 可知 P(X=1，Y=1)=P(X=1，Y= 一 1)+P(X=0，Y=一 1)=P(Y=一 1)= 这样，就可以写出(X，Y) 的联合分布如下：【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 根据变换 可得xi=byi+a，i=1 ，2，n() 将上式代入 xi 均值
18、观测值计算公式，有()将 xi=byi+a 代入 xi 的方差的观测值计算公式，有【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 总体 X 的数学期望是【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 记似然函数为 L()，则【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 如果总体服从泊松分布 P()，则其概率函数为利用最大似然估计求得参数 的估计值为 =18 原假设为总体 X 服从泊松分布 XP(18)，备择假设为不服从泊松分布 XP(18)，如果原假设成立，概率函数为列表计算统计量 2 的观测值如下：由上表得到统计量 2 的样本值 256516，自由度为因子区间的个数(合并之后)6减去利用样本观测值估计的参数的个数 1 减去 1，因此 k=611=4在显著性水平 =005 的条件下查询 2 分布表得 2(k)=005 2(4)=949因为 2 005 2(4)，所以接受原假设，即该段公路上每 15s 内通过的汽车辆数服从泊松分布【知识模块】 概率与数理统计
