1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， Xn(n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ( )（A）与 及 n 都有关（B）与 及 n 都无关（C）与 无关，与 n 有关（D）与 有关，与 n 无关2 设 X1，X 2，X n(n1)是来自总体 N(0，1)的简单随机样本，记，则( )（A）（B）（C）（D）3 设 X1，X 2，X 8 是来自总体 N(2，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A） 2(2)（B） 2(3)（C） t(2)（D）t(3
2、)4 设 X1，X 2，X n 是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A）Y 2(n 一 1)（B） Yt(n 一 1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n 一 1)5 设随机变量 XF(n，n)，记 p1=PX1)，p 2=PX1，则 ( )（A）p 1p 2（B） p1p 2 （C） p1=p2（D）p 1，p 2 大小无法比较6 设 X1，X 2，X 8 和 Y1，Y 2，Y 10 分别是来自正态总体 N(-1，4)和 N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，S 12，S 22 分别为这两个样本的方差，则服从F(7，9)分布的统计量是 ( )（A）（B）（C
3、）（D）7 设总体 XN(a， 2)，Y N(b， 2)相互独立分别从 X 和 Y 中各抽取容量为 9和 10 的简单随机样本，记它们的方差为 SY2 和 SY2，并记则这四个统计量 SX2，S Y2，S 122，S XY2 中，方差最小者是 ( )（A）S X2（B） SY2（C） S122（D）S XY28 设 x1，x 2，x n 是来自总体 XN(， 2)(， 2 都未知)的简单随机样本的观察值，则 2 的最大似然估计值为 ( )（A）（B）（C）（D）9 设总体 XP()( 为未知参数)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值与方差分别为 是 的无偏估计量，常
4、数 a应为 ( )（A）-1（B） 0（C）（D）1二、填空题10 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则随机变量 U=X+2Y，V= 一 X 的协方差 Cov(U，V)为_11 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则随机变量 Z=XY 的方差 DZ 为_12 设随机变量 X 的数学期望EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得PX 一 75k005，则 k=_13 设 X1，X 2，X n，是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布，则14 设总体 XP()，X 1， X2，X n 是来自 X 的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和 S2，则 和 E(S2)分别为_1
5、5 设总体 X 和 y 相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X1，X 2，X 8 和 Y1，Y 2，Y 14 分别来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 的数学期望和方差分别为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为 2n， p 的二项分布17 设 ， 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为i=1，2，3，又设 X=max，Y=min，试写出二维随机变量(X ， Y)的分布律及边缘分布律，并求 P=.18 设随机变量 X 与 Y
6、 相互独立，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=X Y的概率密度及19 设(X，Y)的概率密度为 问 X，Y 是否独立?20 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求Z=X2+Y2 的概率密度 fz(z)21 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且 Xi 服从参数为 i 的指数分布，其密度为 求 PX1=minX1，X 2，X n22 设 X 关于 Y 的条件概率密度为 而 Y 的概率密度为求 23 设(X，Y)服从 G=(x，y)x 2+y21)上的均匀分布，试求给定 Y=y 的条件下 X的条件概率密度函数 fX Y(xy)24 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到成
7、功两次为止，试求试验次数的数学期望25 市场上有两种股票，股票 A 的价格为 60 元股，每股年收益为 R1 元，其均值为 7，方差为 50股票 B 的价格为 40 元股，每股年收益为 R2 元，其均值为32，方差为 25，设 R1 和 R2 互相独立某投资者有 10 000 元，拟购买 s1 股股票A，s 2 股股票 B，剩下的 s3 元存银行，设银行 1 年期定期存款利率为 5，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于 800 元，并使投资收益26 设随机变量服从几何分布，其分布律为 PX=k)=(1 一 p)k-1，0p1，k=1，2，求 EX 与 DX27 设随机变量 X 的概率密度为
8、已知，求(1)a，b，c 的值； (2)随机变量 Y=ex 的数学期望和方差28 设(X，Y)的概率密度为 求 的数学期望29 在长为 L 的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差30 设 X，Y 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量，求 EXY与 DXY31 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，均服从正态分布 N(， 2)，求：(1)max(X，Y的数学期望；(2)minX，Y的数学期望考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，(0，1)，于是所以比值 与 无关，与 n 有
9、关【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 ，Q 2 2(n)因此本题选 C【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由总体 XN(0，1)知 ，且它们相互独立，所以 因此本题选 B【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由 XF(n，n)知 ，所以因此本题选 C【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 因此本题选 D【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 所以，方差最小者为 SXY2因此本题选 D【知识模块】 概率与数理统计8
10、【正确答案】 B【试题解析】 在 未知时， 2 的最大似然估计值为 ，因此本题选 B【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 要使 是 的无偏估计量，应有，因此本题选 C【知识模块】 概率与数理统计二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 10【试题解析】 即K=10【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 (x)【试题解析】 由列维一林德伯格中心极限定理即得【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计15 【正
11、确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 X 的可能值为 1，2，3，Y 的可能值为 1，2，3以此类推可求出(X， Y)的分布律及边缘分布列如下：【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 U=XY 的密度为【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 边缘密度为【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 设 Z 的分布函数为 FZ(z)，则【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 (X，Y) 的概率密
12、度为【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 因为(X，Y)服从 G=(x，y)x 2+y21)上的均匀分布，所以【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 设 X 表示所需试验次数，则 X 的可能取值为 2，3，于是【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 设投资策略为(s 1，s 2，s 3)，则该投资策略的收益为 平均收益及方差为：ES=s 17+s232+(10 00060s140s2)5，DS=50s 12+25s22，问题为求 DS=50s12+25s22 的最小值约束条件为：ES=s 17+s232+(10 00060s 1一 40s2)5800,用拉格朗日乘数法
13、求解该问题，令 L=50s1+25s2+(800 一 s17s232 一(10 00060s 1 一 40s2)5)，其中 是待定系数，最优解应满足的一阶条件为： 解此方程组得：s1=6356 元，s 2=3814 元，s 3=4 6608 元该投资策略的方差和标准差分别为：DS=506356 2+253814 2238 360， 【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为X，Y，则它们均在0，L上服从均匀分布，且 X，Y 相互独立所以【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 设 Z=X 一 Y，则 ZN(0，1)故【知识模块】 概率与数理统计31 【正确答案】 (1)设 ，则 U 和 V 独立同服从正态分布N(0，1)，【知识模块】 概率与数理统计
