1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 5 及答案与解析一、填空题1 设 X1，X 2，X 3 是来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 U=X1+X2 与 V=X2+X3，则(U ， V)的概率密度为 _2 设 X1，X 2 是来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，则查表得概率等于_3 设总体 X 的概率密度为 X1，X 2，X n 是来自 X 的样本，则未知参数 的最大似然估计值为_.4 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 XN(， 2)的样本，则统计量服从的分布是_5 设总体 XN(a，2)，Y N(b，2)，且独立，由分别来自总体 X 和 Y 的容量分别为 m 和 n
2、 的简单随机样本得样本方差 SX2 和 SY2，则统计量服从的分布是_6 设总体 X 的密度函数为 其中 0 为未知参数，又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本值，则参数 的最大似然估计值为_7 设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为_ 8 设总体 XN(，8)，X 1，X 2，X 36 是来自 X 的简单随机样本， 是它的均值如果 是未知参数 的置信区间，则置信水平为 _ 二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 X，Y 相互独立同分布，均服从几何分布 PX
3、=k=qk-1p，k=1，2，求E(max(X，Y)10 设连续型随机变量 X 的所有可能值在区间a，b之内，证明：(1)aEXb；(2)11 对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p1，p 2，p 3，求产生故障仪器的台数 X 的数学期望和方差12 一商店经销某种商品，每周进货量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1 000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500 元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值13 袋中有 n 张卡片，分别记有号码 1
4、，2，n，从中有放回地抽取志张，以 X表示所得号码之和，求 EX，DX14 设 X 与 Y 为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=EY 一(a+bX) 2，求 a，b使 Q(a，b)达到最小值 Qmin，并证明：Q min=DY(1 一 XY2)15 设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求X-Y 和 YZ 的相关系数16 将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，以 X 表示经重排后还在原位置上的数字的个数(1)求 X 的分布律； (2)计算 EX 和 DX17 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：(1)方差 D(XY)；(2)协方差Cov(3X+
5、Y，X 一 2Y)18 设随机变量 U 在一 2，2上服从均匀分布，记随机变量求：(1)Cov(X，Y) ，并判定 X 与 Y 的独立性；(2)DX(1+Y19 设 X 为随机变量，EX r(r0)存在，试证明：对任意 0 有20 若 DX=0004，利用切比雪夫不等式估计概率 PX 一 EX02) 21 用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于 0922 若随机变量序列 X1，X 2，X n，满足条件 试证明：Xn服从大数定律23 某计算机系统有 100 个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求
6、有 10 个或更多个终端在使用的概率24 设 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，E(X)=，D(X)= 2，求和 E(S2)25 从装有 1 个白球、2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取 5 次得样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5记 Y=X1，X 2，X 5，求：(1)y 的分布律，E(y)，E(Y 2)；(2) ，E(S 2)(其中 ，S 2 分别为样本 X1，X26 若 XX 1，X 2，X n(n)，证明：EX=n，DX=2n27 已知 Xt(n) ，求证：XX 1，X 2，X nF(1，n)28 设 X1，X 2，X m， Y1，Y 2，Y n 独立X i
7、N(a， 2)，i=1，2 ， m，Y iN(b，X 1，X 2，X n)，i=1，2，n，而 ， 为常数试求 的分布29 一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 a：1现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X 为所抽到的白球个数这样做了 n 次以后，获得一组样本：X 1，X 2，X n基于此，求未知参数 a 的矩估计 和最大似然估计 30 罐中有 N 个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 05)，其余 N 一 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复 n 次，若掷出 0 次、1 次、2 次正面的次
8、数分别为 n0，n 1，n 2，利用(1)矩法；(2) 最大似然法，求参数 的估计量考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 5 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 由(X 1，X 2，X 3)服从三维正态分布知，X 1，X 2，X 3 的线性函数组成的二维随机变量(U，V) 也服从二维正态分布，记为 N(1， 2， 12， 22，)，其中1=EU=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=0， 12=DU=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=22， 2=EV=E(X2 一 X3)=E(X2)一 E(X3)=0， 22=DVD(X2 一 X3)=D(X2)+D(X3)=22，
9、 所以(U ，V)的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 0.9【试题解析】 (X 1，X 2)服从二维正态分布，所以(X 1+X2，X 1 一 X2)也服从二维正态分布，并且由 X1+X2N(0，2 2)，X 1 一 X2N(0，2 2)知 Cov(X1+X2，X 1 一 X2)=D(X1)一 D(X2)=0，即 X1+X2 与 X1X 2 相互独立此外，【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 t(2)【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 r 2(m+n 一 2)【试题解析】
10、因为由题设条件知，T 1和 T2 分别服从自由度为 m 一 1 和 n1 的 2 分布且相互独立，所以 T 服从自由度为(m 一 1)+(n 一 1)=m+n2 的 2 分布【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 (4804，5196)(答(4 8，52) 也对)【试题解析】 设样本为 X1，X 2，X n，EX= ，DX= 2，由中心极限定理知，当 n 充分大时有：近似服从 N(0，1)，于是 即 的置信度近似为 1 的置信区间是【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 0.966【试题解析】 由题设可知，由此得
11、置信水平 1=0966【知识模块】 概率与数理统计二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 (1)因为 aXb，所以 EaEXEb，即 aEXb(2)因为对于任意的常数 C 有 DXE(XC)2，【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 X 的分布为由此计算 EX 和 DX 相当麻烦，我们利用期望的性质进行计算Xi 的分布如下：于是 EXi=pi，DX i=pi(1 一 pi)，i=1，2 ，3故【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 设 T 为一周内所得利润，则【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案
12、】 设 Xi 为第 i 张的号码，i=1 ，2，k，则 Xi 的分布为【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 (1)D(XY)=E(X 2Y2)一E(XY) 2，【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 (1)X ，Y 的全部可能取值为一 1，1，且所以(X，y)的分布律及边缘分布律为【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 若 X 为离散型，其概率分布为 PX=xi)=pi，i=1，2，则若 X 为连续型，其概率密度为 f(x)，
13、则【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 由切比雪夫不等式【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 设需掷 n 次，正面出现的次数为 Yn，则 依题意应有【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 由切比雪夫不等式，对任意的 0 有故X n服从大数定律【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 则同时使用的终端数所求概率为【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 (1)Y 是连续 5 次取球中取得黑球的个数，所以 从而(2)由于 X 的分布律为所以【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 因 X 2(n)，所以
14、X 可表示为 相互独立，且均服从N(0，1)，于是【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 Xt(n) ，则 X 可表示为 其中 ZN(0，1)，Y 2(n)且Z，Y 相互独立，又 Z2 2(1)，于是【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 由于 XiN(a ， 2)，i=1，2，m，Y iN(b ， 2)，i=1，2 ， n，且 X1，X 2，X m，Y 1，Y 2，Y n 相互独立，则也服从正态分布【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 由题意知，随机变量 X 的分布律为对于给定的样本X1，X 2，X n，似然函数为【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 设 X 为连掷两次正面出现的次数， A=取出的硬币为普通硬币 ，则【知识模块】 概率与数理统计
