1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（A）F 2(x)（B） F(x)F(y)（C） 1-1-F(x)2（D）1-F(x)1-F(y)2 设 X1，X n 为相互独立的随机变量，S n=X1+Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X1，X n( )（A）有相同的数学期望；（B）有相同的方差；（C）服从同一指数分布；（D）服从同一离散型分布二、填空题3 设在一次
2、试验中 A 发生的概率为户，现进行，n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为_；而事件 A 至多发生一次的概率为 _4 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A 厂和 B 厂的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是 A 厂生产的概率是_5 对事件 A，B，已知 ，则 P(A)=_，P(B)=_ ， =_。6 对二事件 A、B，已知 P(A)=06，P(B)=0 7，那么 P(AB)可能取到的最大值是_，P(AB)可能取到的最小值是_7 已知随机变量 X 的概率密度函数 ，- x+，则 X 的概率分布函数 F(x)=_8 设随机变量
3、 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 ，则 =_9 设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)=59，则 P(y1)_10 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数，X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，若 是 2 的无偏估计，则c=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布 PX=i= (i=-1，0，1) ，Y 的概率密度为11 求12 求 Z 的概率密度 fZ(z)12 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为：F(x，y)=A(B+arctan )(
4、C+arctan)，- x+，-y+求：13 常数 A，B，C ；14 (X， Y)的概率密度 f(x，y)；15 关于 X 和 Y 的边缘密度 fX(x)和 fY(y)16 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 独立同分布，P(X 1=0)=06，P(X 1=1)=04求X= 的概率分布。16 设随机变量 X 的概率密度为17 求 EX 和 DX；18 求 X 与|X|的协方差，并问 X 与|X| 是否不相关?19 问 X 与|X|是否相互独立?为什么?19 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 且PX2=Y2=120 求二维随机变量(X，Y)的概率分布；21 求 Z=XY 的概率分
5、布；22 求 X 与 Y 的相关系数 (XY)23 n 个小球和 n 个盒子均编号 1，2，n，将 n 个小球随机地投入 n 个盒中去，每盒投 1 个球记 X 为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)24 设总体 X 具有概率密度： 从此总体中抽得简单样本X1，X 2，X 3，X 4，求 T= 的密度24 设总体 X 的概率密度为 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本25 求 的矩估计量26 求 D( )考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 Z 的分布函数 F
6、Z(x)=PZx=Pmax(X，Y)x)=PXx，Yx)=PXx)PYx)=F 2(x)，故选(A)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 列维一林德贝格中心极限定理要求诸 Xi 独立同分布，因此(A)、(B)不能选(无法保证同分布) ，而选项(D) 却保证不了EX i 及 DXi 存在，甚至排除不了Xi 为常数(即退化分布 )的情形，而中心极限定理却要求 Xi 非常数且 EXi 与 DXi 存在，故不选(D) ，只有(C)符合要求，可选【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题3 【正确答案】 1-(1-p) n； (1-p)n+np(1-p)n-1【试题解析】 由贝努
7、里概型的概率计算公式，A 至少发生一次的概率为 1-P(A 发生 0 次)=1-C n0p0(1-p)n-0 =1-(1-p)n 而 P(A 至多发生 1 次)=P(A 发生 0 次)+P(A 恰发生 1 次) =C n0p0(1-p)n-0+Cn1p1(1-p)n-1 =(1-p)n+np(1-p)n-1【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 【试题解析】 记 C=(取的产品是 A 厂生产的)，D=(取的是次品)，由题意知：P(C)=0 6， =04，P(D|C)=001， =002【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确
8、答案】 06，03【试题解析】 注意 ，P(AB)P(A)=0 6，而若 (这与 P(A)=0 6 P(B)=07 不矛盾)，则 P(AB)=P(A)=06，可见 P(AB)可能取的最大值是06；又1P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1 3-P(AB)，P(AB)03 而当 AB=时，P(AB)=03，或见 P(AB)可能取的最小值是 03。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 4【试题解析】 该二次方程的判别式=4 2-4X，故【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 19/27【试题解析】
9、 由 =1-P(X=0)=1-C20p0(1-p)2-0=1-(1-p)2，解得 p=13，故 P(Y1)=1-P(Y=0)=【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由题意得： 2=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 Y 的分布函数为： Z 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】
10、 关于 X 和 Y 的边缘分布函数分别为 FX(x)=F(x，+)=和 FY(y)=F(+，y)= ，故 fX(x)=FX(x)= ， fY(y)=FY(y)= ，这里，xR 1，yR 1【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 X=X 1X4-X2X3 可能取的值为：-1，0，1P(X=-1)=P(X 1X4-X2X3=1)=P(X1X4=0)P(X2X3=1)=1-P(X1=1，X 4=1P(X2=1)P(X3=1)=(1-04 2)04 2=01344 ，同理 P(X=1)=01344，得 P(X=0)=1-201344=07312【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率
11、论与数理统计17 【正确答案】 本题出现的积分，可验证均收敛【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 EX=0，E|X|存在，故 cov(X，|X|)=E(X|X|)-EXE|X|=E(X|X|)故可见 X 与|X|不相关【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 故P(X1，|X|1)=P(|X|1)P(|X|1)P(X1)可见 X 与|X|不独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由 P(X2=Y2)=1，可得：P(X=0，y=-1)=P(X=1 ，Y=0)=P(X=0，Y=1)=0 由联合分布律、边缘分布律之间的关系，可得(X ，
12、Y)的联合(含边缘)分布列如表所示【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由(X，Y)的联合分布列易知 Z=XY 可能取的值为-1，0，1，易得：【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由(X，Y)的分布(及 X，Y 的分布 )，易知：【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 T 的分布函数为 FT(t)=P(Tt)= =P(X1t，X 4t)：P(X1t)4=【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计
