1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 ，则必有：( )（A）P(C)P(A)+P(B)-1（B） P(C)P(A)+P(B)-1（C） P(C)=P(AB)（D）P(C)=P(A B)2 对事件 A，B，已知 P(A)=1，则必有：( )（A）A=（B）（C） A 与 B 独立（D）P(B)P(A)3 设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度
2、（B） f1(x) f2(x)必为某一随机变量的概率密度（C） F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F 1(x)F 2(x)必为某一随机变量的分布函数4 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，y 的概率分布为PY=0=PY=1= ，记 FZ(z)为随机变量 Z=XY 的分布函数，则函数 FZ(z)的间断点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 设随机变量 X，Y 独立同分布，P(x=-1)=P(x-1)=1 2，则( )（A）P(X=Y)=1 2（B） P(X=Y)=1（C） P(X+Y=0)=14（D）P(XY=1)=1 46
3、 设 XN(，16)，YN(，25)，p 1 一 PX-4，p 2=Py+5，则：( )（A）对任意实数 ，有 p1=p2（B）对任意实数 ，有 p1p 2（C）对任意实数 ，有 p1p 2（D）只对部分实数 ，有 p1=p27 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )（A）1（B） 12（C） -12（D）-1二、填空题8 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出 1 个球，这个球为白球的概率等于_，已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子
4、的概率为_9 袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第 2 个人取得黄球的概率是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数10 袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。11 求 PX=1|Z=0；12 求二维随机变量(X，Y)的概率分布。13 甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换后放人对方袋中，
5、共交换 3 次，用 X 表示 3 次交换后甲袋中的白球数，求 X 的分布列13 已知随机变量 XN(1，3 2)，YN(0 ，4 2)，而(X，Y)服从二维正态分布且 X 与Y 的相关系数14 求 EZ 和 DZ；15 求 X 与 Z 的相关系数 PXZ；16 问 X 与 Z 是否相互独立?为什么?16 设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为17 求 P(X=2Y)18 求 Cov(X-Y，Y)19 在长为 a 的线段 AB 上独立、随机地取两点 C，D ，试求 CD 的平均长度20 (1)设系统由 100 个相互独立的部件组成，运行期间每个部件损坏的概率为01，至少有 85 个部件是完好
6、时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率(2)如果上述系统由 n 个部件组成，至少有 80的部件完好时系统才能正常工作，问 n 至少多大才能使系统正常工作的概率不小于 095？(1645)=09521 设总体 XN(， 2)， X1，X n 为取自 X 的简单样本，记 |Xi-|，求 E(d)，D(d) 22 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 其中 0为未知参数，又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本观测值，求参数 的最大似然估计值23 设总体 X 的概率分别为 其中(012)是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3求 的矩估计值和最大似然估计值23
7、 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数，X1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本24 求 的矩估计量；25 求 的最大似然估计量26 某种清漆的 9 个样品的干燥时间(小时)为：65，58，7，65，7，63，56，61，5设干燥时间 XN(， 2)，求 的置信度为 095 的置信区间，在 (1)=06(小时)；(2) 未知，两种情况下作，(0975 =196，t 0975 (8)=23060，下侧分位数)考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 1P(AB)=P(A)+
8、P(B)-P(AB)， P(C)P(AB)P(A)+P(B)-1，可见应选(B) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 “概率为 0 或 1 的事件与任一事件独立”，可见应选(C)注意由“P(A)=1”推不出 “A=”，而有可能 B=呢!故另 3 个选项不行。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由已知， -+f1(x)dx=-+f2(x)dx=1，故 -+f1(x)+f2(x)dx=-+f1(x)dx+-+f2(x)dx=21，所以不选(A) ，若设 f1(x)=f2(x)= 则即 -+f1(x)f2(x)dx 有可能非 1，故不选(B)又
9、由分布函数的性质和 F1(+)=F2(+)=1，故F1(x)+F2(x)=2，故不选(C)。若令 g(x)=F2(x)F 2(x)，由 F1(-)=F2(-)=0、 F1(+)=F2(+)=1，可得 g(-)=0，g(+)=1；又由 F1(x)和 F2(x)均非降，可得g(x)非降(设 x1x 2，由 0F1(x1)F1(x2)，0F 2(x1)F2(x2)，可得 g(x2)g(x2)；再由F1(x)和 F2(x)右连续(本题由于 X1 和 X2 为连续型随机变量，所以 F1(x)和 F2(x)是连续的)，可见 g(x)也是右连续的( 本题中 g(x)是连续的) ，故证得 g(x)=F1(x)
10、F 2(x)是分布函数，故选(D) 。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=P(XYz)=P(XYz|Y=0)PY=0+PXYz|Y=1PY=1在 z0 和 z0 上，F Z(z)显然连续；在 z=0 上，可见 FZ(z)只有 1个间断点(z=0 处， )，故选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可得(X，Y) 的分布列如左表，可算得 P(X=Y)= ，故选(A)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 p 1= =(-1)，p 2= =1-(1)，可见P1=P2，(1)+(-1)
11、=1)选 (A)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 设这两段的长度分别为 X 和(是随机变量)，则 X+Y=1 即 Y=1-XDY=D(1-X)=DXCov(X，Y)=Cov(X ，1-X)=-Coy(X，X)=-DX 故(X，Y) 的相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 A i=(取的是第 i 个箱子) ，i=1 ，2，3B=( 从箱中取出的是白球)第一问由全概率公式：P(B)=P(A 1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)第二问由贝叶斯公式：【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】
12、 【试题解析】 记 Ai=(第 i 人取得黄球) ，i=1 ，2【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 Z 的分布函数为(见图 44)z0 时，F(z)=0【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 X 和 Y 可能取得值均为：0，1，2得：【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 记 Ai=经过 2 次变换后甲袋中有 i 个白球，i=0，1，2则 P(A0)= ，P(A 1)= ，P(A 2)=1 4，P(X=0|A 0)=0，P(X=0|
13、A 1)=14， P(X=0|A2)=0，P(X=1|A 0)=P(X=1|A2)=1，P(X=1|A 1)=12，P(X=2|A 0)=P(X=2|A2)=0，P(X=2|A 1)=14 故 P(X=0)= P(X=0|Ai)P(Ai)=18，P(X=1)= P(X-0|Ai)P(Ai)=34， P(X=2)= P(X=2|Ai)P(Ai)=18，故 X 的分布列为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 显然 EX=1，DX=9 ，EY=0 ，DY=16【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】
14、由 XZ=0，知 X 与 Z 不相关【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 P(X=2Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=2 ，Y=1)=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由(X，Y)的分布可得 X，Y 及 XY 的分布分别为：【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设 AC、AD 的长度分别为 X、Y ，由题意知 X 与 Y 独立同分布，均服从区间(0，a)上的均匀分布，故(X，Y)的概率密度为：其中 D=(x，y)|0 xa，0ya，而 CD 的长度为|X-Y|，故知【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 (1)设
15、有 X 个部件完好，则 XB(100，09)，EX=90，DX=9 ， P系统正常工作=PX85=(2)设有 Y 个部件完好，则YB(n，9)，EX=09n，DX=009n，PX08n=，由题意，P(X08n)095， 095，故 1645，得 n24 35 即 n25【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 似然函数 L(x1，x n；)为=2n0，可见lnL(或 L)关于 0 单调增欲使 lnL(或 L)达最大，则应在 限制下让 取得最大值，这里应为 = ，故 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 先求
16、矩估计E(X)=0 2+120(1-)+22+3(1-2)=3-4由题目所给的样本值算得 (3+1+3+0+3+1+2+3)=2 代入得 又求最大似然估计，本题中 n=8，样本值 x1，x 8 由题目所给，故似然函数为 L()= PXi=xi=PX=0P(X=1)2P(X=2)P(X=3)4=220(1-) 2 2(1-2) 4=46(1-)2(1-2)4lnL()=ln4+6ln+2ln(1-)+4ln(1-2)令 lnL()=0，得 242-28+6=0，解得 =不合题意，舍去，故得 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 似然函数为可见， 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 可算得 =62，n=9 ，=005(1)=06 时， 的置信下限为=5808， 的置信上限为=6592；(2) 未知时，S 2=043， 的置信下限为=56960， 的置信上限为【知识模块】 概率论与数理统计
