1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若事件 A1，A 2，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） 两两独立（C） P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)（D） 相互独立2 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函数3 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（A）X+Y 一定服从正态分布（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C）
2、 X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立（D）若 X 与 Y 相互独立，则 XY 服从正态分布4 设(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X，Y的相关系数为 XY=05，且 P(aX+bY1)=05，则 ( )（A）a=1 2 ，b=14（B） a=14，b=12（C） a=14，b=12（D）a=1 2 ，b=145 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 XN( ， 2)的简单随机样本，记则服从 t(n1)分布的随机变量是( )二、填空题6 设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05，P(A|B)=P(A| )=_7 三
3、次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 1927，则一次试验中 A 发生的概率为_8 设随机变量 X 的概率密度为 fX(x)= (x+)，Y=X 2 的概率密度为_9 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为令 U=X+Y，则 U 的分布函数为_10 设 X 的分布函数为 F(x)= ，且 Y=X21，则 E(XY)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的概率(1ka+b)11 设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t) 12 求相继两次故障之间时
4、间间隔 T 的概率分布；13 求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率14 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明： Y=1e 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布15 设随机变量 X，Y 相互独立，且 又设向量组1， 2， 3 线性无关，求 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的概率15 设 D=(x， y)|0x1，0y1，且变量(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，令Z=16 令 U=X+Z，求 U 的分布函数17 判断 X，Z 是否独立18 设随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)|0x2 ，0y1 上服从均匀分布，令(1)求(U，V) 的联合分布；
5、(2)求 UV18 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从N(0，1)，Yi=Xi (i=1，2，n)求：19 D(Yi)(i=1， 2，n)；20 Cov(Y1，Y n)；21 P(Y1+Yn0)22 电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)23 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(Xk)=ak(k=1，2，3，4) 证明：当 n 充分大时，随机变量 Zn=1n Xi2 近似服从正态分布，并指出其分布参数24 设总体 X 服从正态分布 N
6、(， 2)(0)从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2，X 2n(n2) 令 Xi，求统计量 U= 的数学期望25 设总体 XF(x，)= ，样本值为1，1，32，1，2，3，3，求 的矩估计和最大似然估计26 某种食品防腐剂含量 X 服从 N(， 2)分布，从总体中任取 20 件产品，测得其防腐剂平均含量为 =102，标准差为 s=05099，问可否认为该 f 生产的产品防腐剂含量显著大于 10(其中显著性水平为 =005)?考研数学一（概率统计）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A1，A 2，A
7、3 两两独立，所以 也两两独立，但不一相互独立，选(B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=P(minX，2y)=1P(minX，2y)=1 P(Xy，2y)=1P(Xy)P(2 y)当 y2 时，F Y(y)=1；当 y2 时，F Y(y)=1 P(Xy)=P(Xy)=F X(y)，而 FX(x)= 所以当 0y2 时，F Y(y)=1 ey ；当 y0 时，F Y(y)=0，即 显然 FY(y)在 y=2处间断，选(B)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态
8、分布，选(D) 【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aX+bY 服从正态分布， E(aX+bY)=a+2b， D(aX+bY)=a 2+4b2+2abCov(X， Y)=a2+4b22ab ， 即aX+bYN(a+2b ，a 2+4b22ab)， 由 P(aX+bY1)=05 得 a+2b=1，所以选(D)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 D【试题解析】 选(D)【知识模块】 概率统计二、填空题6 【正确答案】 02【试题解析】 因为 P(A|B)=P(A| )，所以 A，B 相互独立，从而 A， 相互独立，故 P(A )=P(A
9、)1P(B)=0405=02【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 13【试题解析】 设一次试验中 A 发生的概率为 p，B=三次试验中 A 至少发生一次，则 P(B)=1927，又 P(B)=1P( )=1(1 p) 3，所以有 1(1p) 3=1927，解得p=13，即一次试验中 A 发生的概率为 13【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=P(X2y)当 y0 时，F Y(y)=0；当 y0 时，F Y(y)=P(X2y)=P( )【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【试题解析】 F U(u)=P(Uu)=P(X+Yu)，当 u0 时，F U(
10、u)=0；当 0u1 时，FU(u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0，Yu)=P(X=0)P(Yu) 当1u2 时， FU(u)=P(X=0，Yu)+P(X=1，Yu1) 当 u2时，F U(u)=1所以 FU(u)【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 06【试题解析】 随机变量 X 的分布律为 E(XY)=EX(X21)=E(X3 X)=E(X3)E(X)，因为 E(X3)=803+105+802= 03，F(X)=203+105+202=03，所以 E(XY)= 06【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 方法一基本事件数 n
11、=(a+b)!，设 Ak=第 k 次取到黑球，则有利样本点数为 a(a+b1)!，所以 方法二把所有的球看成不同对象，取 k 次的基本事件数为 n=Aa+bk，第 k 次取到黑球所包含的事件数为aAa+b1 k1 ，则 P(Ak)【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 T 的概率分布函数为 F(t)=P(Tt)，当 t0 时，F(t)=0；当 t0 时，F(t)=P(Tt)=1P(Tt)=1P(N=0)=1e t ，所以 F(t)= 即TE()【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 所求概率为 p=P(T16|T8)=e8【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 因为
12、 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为 FX(x)Y 的分布函数为 FY(y)=P(Yy)=P(1e 2X y)，当 y0 时，F Y(y)=P(X0)=0；当 y1 时，F Y(y)=P(X+)=1；当 0y1 时，F Y(y)=P(1e 2X y)=P(X12ln(1y)1=F X12ln(1 y)=y 即 FY(y)所以 Y=1e 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 令 k1(1+2)+k2(2+X3)+k3Y1=0，整理得(k 1+Yk3)1+(k1+k2)2+Xk23=0因为 1， 2， 3 线性无关，所以有 又1+2， 2+X3
13、，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即=0，从而 XY=0，即 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的充分必要条件是XY=0注意到 X，Y 相互独立，所以 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的概率为P(XY=0)=p(X=0，Y= 12)+P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(X=0)P(Y=12)+P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=0)=12【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y) U 的分布函数为 F(x)=P(Ux)，当 x0 时，F(x)=0 ；当 x2 时，F(x)=1；当
14、0x1 时，F(x)=P(X+Zx)=P(Z=0，Xx)=P(XY，Xx)= 0xdxx1dy=0x(1x)dx=x 当 1x2时，F(x)=P(Z=0 ，Xx)+P(Z=1，Xx1)=P(XY，X1)+P(XY ，Xx1)故 U 的分布函数为 F(x)【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 设(X，Z)的分布函数为 F(x，z) ， F(12，0)=PX12，Z0)=PX12，Z=0 =PX12，XY= 012 dxx1dy=012 (1x)dx=3 8； FX(12)=PX1 2=1 2，F Z(0)=PZ0)=PZ=0)=PXY)=12， 因为F(12，0)F X(12)F Z(0)，
15、所以 X，Z 不相互独立【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 (1)P(XY)=14，P(X2Y)=1 2，P(Y X2Y)=1 4，(U ，V)的可能取值为(0，0) ，(0，1) ，(1，0)，(1，1)P(U=0，V=1)=P(XY，X2Y)=0；P(U=1，V=0)=P(XY，X2Y)=P(YX2Y)=14；P(U=0，V=0)=P(XY，X2Y)=P(XY)=14；P(U=1，V=1) (U，V)的联合分布律为 (2)由(1)得E(U)=34，D(U)=3 16，E(V)=12， D(V)=14，E(UV)=12，Cov(U，V)E(UV)E(U)E(V)=18【知识模块】 概率
16、统计【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 D(Y i)=Cov(Yi，Y i)=D(Xi)+D( ) 2Cov(Xi， )【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 Cov(Y 1，Y n)=Cov(X1)=1n【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 Y 1+Yn=X1+Xn因为 X1，X 2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y1+Yn 服从正态分布，E(Y 1+Yn)=0 P(Y1+Yn0)=12【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 令 Ai=第 i 个人收到自己的电话资费单)，i=1，2，n，X ii=1，2， ，n，则 X=X1+X2+XnP(X i=0)=(n1)n，P(X
17、 i=1)=1n E(Xi)=E(Xi2)=1n，D(X i)=(n1)n 2(i=1，2，n)E(X)= E(Xi)=1；当 ij 时， P(Xi=1，X j=1)=P(AiAj)=P(Ai)P(Aj|Ai)=Cov(Xi，X j)=E(XiXj)E(X i)E(Xj)【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立同分布，所以 X12，X 22，X n2 也独立同分布且 E(Xi2)=2，D(X i2)=4 22，当 n 充分大时，由中心极限定理得近似服从标准正态分布，故 Zn 近似服从正态分布，两个参数为 =2， 2=(4 22)n【知识模块】 概率统计24 【
18、正确答案】 令 Yi=Xi+Xn+i(i=1，2，n)，则 Y1，Y 2，? ，Y n 为正态总体N(2，2 2)的简单随机样本，=(n1)S 2，其中 S2 为样本 Y1，Y 2，Y n 的方差，而 E(S2)=22，所以统计量 U=的数学期望为 E(U)=E(n1)S 2=2(n1) 2【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 (1)X 为离散型随机变量，其分布律为 E(X)=33(2)L(1，1，3，2，1，23，3；)=P(X=1)P(X=1)P(X=3)= 32(12) 3，lnL()=5ln+3ln(12)，令 得 的最大似然估计值为=5 16【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 令 H0：10，H 1： 10选统计量 查表得临界点为 t(n1)=t 005 (19)=17291，而 拒绝 H0，即可以认为该 f 产品防腐剂显著大于 10 毫克【知识模块】 概率统计
