1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 21及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.对任意两个互不相容的事件 A与 B，必有( )（分数：2.00）A.如果 P(A)=0，则 P(B)=0B.如果 P(A)=0，则 P(B)=1C.如果 P(A)=1，则 P(B)=0D.如果 P(A)=1，则 P(B)=13.对于任意两事件 A和 B，若 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.B.C.P(A)P(B)=0D.P(AB)=P(A)4.设 A，B 为随机
2、事件，P(A)0，则 P(B|A)=1不等价于( )（分数：2.00）A.P(A一 B)=0B.P(B一 A)=0C.P(AB)=P(A)D.P(AB)=P(B)5.对于任意两事件 A和 B( )（分数：2.00）A.若 BB.若 ABC.若 AB=D.若 AB=6.假设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点7.假设随机变量 X与 Y相互独立，X 服从参数为 的指数分布，Y 的分布律为 PY=1=PY=一 1= （分数：2.00）A.是连续函数B.恰有一个间断点的阶梯函数C.恰
3、有一个间断点的非阶梯函数D.至少有两个问断点8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 均服从分布 B(1， （分数：2.00）A.X 1 +X 2 与 X 3 +X 4 同分布B.X 1 一 X 2 与 X 3 一 X 4 同分布C.(X 1 ，X 2 )与(X 3 ，X 4 )同分布D.X 1 ，X 2 2 ，X 3 3 ，X 4 4 同分布9.设随机变量 （分数：2.00）A.0B.C.D.110.已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=，D(X)=D(Y)= 2 ，X 与 Y的相关系数 0，则 X与Y( )（分数：2.00）A.独立且有相同的分布B.独立且有不同的
4、分布C.不独立且有相同的分布D.不独立且有不同的分布11.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X 2n 一 X 2n一 1 (n1)，根据大数定律，当 （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布12.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：2.00）A.Y 2 (n)B.Y 2 (n一 1)C.YF(n，1)D.YF(1，n)13.设 为未知参数 的无偏一致估计，且 （分数：2.00）A.无偏一致估计B.无偏非一致估计C.非无偏一致估计D.非无偏非一致估计二、填空题(总题数：11，分数：22.00)14.设
5、工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 l和 2，现从由 A和 B的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 4生产的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_16.假设 X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1一 X已知 PX029=075，则满足PYk=025 的常数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X服从正态分布 N(，2 2 )，已知 3PX15=2pX15，则 P|X一 1|2= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X与 Y都
6、服从正态分布 N(， 2 )，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则Pmin(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0， 2 )，X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D(X 1 一 2X 2 +3X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.已知随机变量 X与 Y均服从 0一 1分布，且 E(XY)= （分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X概率分布为 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_22.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自
7、总体 X的简单随机样本，而 （分数：2.00）填空项 1:_23.设总体 X的密度函数 S 2 分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则 （分数：2.00）填空项 1:_24.已知总体 X服从参数为 的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2 ，如果 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.设 P(A)0，P(B)0，将下列四个数：P(A)，P(AB)，P(AB)，P(A)+P(B)，按由小到大的顺序排列，用符
8、号联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立（分数：2.00）_27.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_28.假设随机变量 X与 Y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 PY=一 1= （分数：2.00）_29.某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1个不合格产品时即停机检修设开机后第 1次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X的数学期望 E(X)和方差D(X)（分数：2.00）_30.设总体 X服从伽玛分布： （分数：2.00）_31.已知总体 X服从瑞利分布，其密度函数为 X 1 ，X n 为取自总体 X的简
9、单随机样本，求 的矩估计 （分数：2.00）_32.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布 N(440，005 2 )，某日测得 5炉铁水的含碳量如下： 434 440 442 430 435 如果标准差不变，该日铁水含碳量的均值是否显著降低?(取显著性水平 =005)（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 21答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.对任意两个互不相容的事件 A与 B，必有( )（分数：2.00）A.如果
10、P(A)=0，则 P(B)=0B.如果 P(A)=0，则 P(B)=1C.如果 P(A)=1，则 P(B)=0 D.如果 P(A)=1，则 P(B)=1解析：解析：3.对于任意两事件 A和 B，若 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.B.C.P(A)P(B)=0D.P(AB)=P(A) 解析：解析：因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)=P(A)故应选 D 不难证明选项 A、B、C 不成立设XN(0，1)，A=X0，B=X0，则 P(AB)=0， 从而 A项和 C项不成立若 A和 B互为对立事件，4.设 A，B 为随机事件，P(A)0，则 P(B|A)=1不等价于( )（分数：2.
11、00）A.P(A一 B)=0B.P(B一 A)=0 C.P(AB)=P(A)D.P(AB)=P(B)解析：解析： ， 然而 P(BA)=P(B)一 P(AB)，所以选项 B正确容易验证其余三个选项与已知条件是等价的事实上，5.对于任意两事件 A和 B( )（分数：2.00）A.若 BB.若 AB C.若 AB=D.若 AB=解析：解析：由 AB 不能推得 P(AB)=P(A)P(B)，因此推不出 A、B 一定独立，排除选项 A若 AB=6.假设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间
12、断点 解析：解析：由于 Y=minX，2= 所以 Y的分布函数为 7.假设随机变量 X与 Y相互独立，X 服从参数为 的指数分布，Y 的分布律为 PY=1=PY=一 1= （分数：2.00）A.是连续函数 B.恰有一个间断点的阶梯函数C.恰有一个间断点的非阶梯函数D.至少有两个问断点解析：解析：依题意要通过确定 Z=X+Y分布函数 F Z (z)有几个间断点来确定正确选项由于 F Z (z)在Z=a间断 F Z (a)一 F Z (a0)0 8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 均服从分布 B(1， （分数：2.00）A.X 1 +X 2 与 X 3 +X 4 同分布B.X 1
13、 一 X 2 与 X 3 一 X 4 同分布C.(X 1 ，X 2 )与(X 3 ，X 4 )同分布D.X 1 ，X 2 2 ，X 3 3 ，X 4 4 同分布 解析：解析：9.设随机变量 （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：10.已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=，D(X)=D(Y)= 2 ，X 与 Y的相关系数 0，则 X与Y( )（分数：2.00）A.独立且有相同的分布B.独立且有不同的分布C.不独立且有相同的分布 D.不独立且有不同的分布解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，故 XN(， 2 )，YN(， 2 )，即 X与 Y有相同的分布，但是
14、0，所以 X与 Y不独立，选 C11.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X 2n 一 X 2n一 1 (n1)，根据大数定律，当 （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差 C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布解析：解析：因为 X n 相互独立，所以 Y n 相互独立，选项 A缺少“同分布”条件；选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以选择 B事实上，若 E(X n )=，D(X n )= 2 存在，则 根据切比雪夫大数定理：对任意 0 有 12.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：2.00）A.Y
15、2 (n)B.Y 2 (n一 1)C.YF(n，1) D.YF(1，n)解析：解析：因 Xt(n)，故根据 t分布定义知 其中 UN(0，1)，V 2 (n)于是 13.设 为未知参数 的无偏一致估计，且 （分数：2.00）A.无偏一致估计B.无偏非一致估计C.非无偏一致估计 D.非无偏非一致估计解析：解析：根据无偏估计，一致估计概念，通过简单计算便可选出正确选项，事实上已知二、填空题(总题数：11，分数：22.00)14.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 l和 2，现从由 A和 B的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 4生产的概率是 1（分数：2
16、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=抽到的产品为工厂 A生产的，事件 B=抽到的产品为工厂 B生产的，事件C=抽到的产品是次品，则 P(A)=06，P(B)=04，P(C|A)=001，P(C|B)=002，15.已知 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16.假设 X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1一 X已知 PX029=075，则满足PYk=025 的常数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：071）解析：解析：由于 PYk=P1 一 Xk=P
17、X1 一 k=1一 PX1 一 k=025，所以 PX1 一 k=1025=075又因 PX029=075，得 1一 k=029，即 k=07117.设随机变量 X服从正态分布 N(，2 2 )，已知 3PX15=2pX15，则 P|X一 1|2= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：06826）解析：解析：求正态分布随机变量 X在某一范围内取值的概率，要知道分布参数 与 ，题设中已知=2，需先求出 18.已知随机变量 X与 Y都服从正态分布 N(， 2 )，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则Pmin(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
18、确答案：a）解析：解析：Pmax(X，Y)=PX13Y =PX+Py一 PX，Y =19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0， 2 )，X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D(X 1 一 2X 2 +3X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析：解析：由题设可知，D(X 1 )= 20.已知随机变量 X与 Y均服从 0一 1分布，且 E(XY)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X与 Y均服从 01分布，可以列出(X，Y)的
19、联合分布如下： 又已知 E(XY)= 即 P 22 = 从而 PX+Y1=P 11 +P 12 +P 21 =1一 P 22 = 21.设随机变量 X概率分布为 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：22.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，而 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： X i 是一次伯努利试验结果，X i 相互独立所以 X 1 +X 2 +X n 可以看成 n次独立重复试验即 23.设总体 X的密度函数 S 2 分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则 （分数：2
20、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：24.已知总体 X服从参数为 的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2 ，如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：8，分数：16.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.设 P(A)0，P(B)0，将下列四个数：P(A)，P(AB)，P(AB)，P(A)+P(B)，按由小到大的顺序排列，用符号联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立（分数：2.00）_正确答案
21、：(正确答案：A、AB、AB 之间的所属关系为 )解析：27.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据概率密度的性质 一 + 一 + f(x，y)dxdy=1，可知 X的边缘概率密度为 )解析：28.假设随机变量 X与 Y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 PY=一 1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意 且 X与 Y相互独立，所以 Z=XY的分布函数为 即 Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为 )解析：29.某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1个不合格产品时
22、即停机检修设开机后第 1次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X的数学期望 E(X)和方差D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 q=1一 p，所以 X的概率分布为 PX=k=q k一 1 p，(k=1，2，) 故 X的数学期望为 )解析：30.设总体 X服从伽玛分布： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()伽玛分布的一阶和二阶原点矩分别为 分别用样本的一阶原点矩的观测值 和二阶原点矩的观测值 作为上述两个等式的观测值，得 解上述方程组，并结合二阶中心矩的实际值 得到参数 与 的矩估计值 ()根据题意，当 = 0 时，密度函数为 两边同时取对数，并对参数 求导，令结果为
23、0， 解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为 )解析：31.已知总体 X服从瑞利分布，其密度函数为 X 1 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本，求 的矩估计 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 E(X)=，D(X)= 2 ，则 )解析：32.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布 N(440，005 2 )，某日测得 5炉铁水的含碳量如下： 434 440 442 430 435 如果标准差不变，该日铁水含碳量的均值是否显著降低?(取显著性水平 =005)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，原假设和备择假设分别为 H 0 ：=440，H 1 ：440 根据已知数据计算得样本均值为 X=4362，选取的 统计量为 已知 0 =440， 0 =005，n=5，并将样本均值 =4362 代入得 )解析：
