1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 21及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则 Y与 Z的相关系数仍为 的充要条件是( )（分数：2.00）A.a=1，b 为任意实数B.a0，b 为任意实数C.a0，b 为任意实数D.a0，b 为任意实数3.设 X是一随机变量，E(X)=，D(X)= 2 (， 2 0 常数)，则对任意常数 C必有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 =E(X) 2 一
2、 C 2 B.E(XC) 2 =E(X一 ) 2 C.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 D.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 4.假设随机变量 X与 Y的相关系数为 ，则 =1 的充要条件是( )（分数：2.00）A.Y=aX+b(a0)B.Coy(X，Y)=1，D(X)=D(Y)=1C.D.5.设随机变量 X和 Y的方差存在且不等于 0，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)是 X和 Y( )（分数：2.00）A.不相关的充分条件，但不是必要条件B.独立的充分条件，但不是必要条件C.不相关的充分必要条件D.独立的充分必要条件6.假设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的协方差矩阵为 （分数：
3、2.00）A.=0B.C.D.|=17.设二维正态随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =X 一 Y，不相关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X 2 )一 E 2 (X)=E(Y 2 )一 E 2 (Y)C.E(X 2 )=E(Y 2 )D.E(X 2 )+E 2 (X)=E(Y 2 )+E 2 (Y)8.已知随机变量 X与 Y有相同的不为零的方差，则 X与 Y的相关系数等于 1的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.Coy(X+Y，X)=0B.Cov(X+Y，Y)=0C.Cov(X+Y，XY)=0D.Coy(XY，X)=09.已
4、知随机变量 X与 Y的相关系数大于零，则( )（分数：2.00）A.D(X+Y)D(X)+D(Y)B.D(X+Y)D(X)+D(Y)C.D(XY)D(X)+D(Y)D.D(XY)D(X)+D(Y)10.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差 2 0，令 则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=，D(X)=D(Y)= 2 ，X 与 Y的相关系数 0，则 X与Y( )（分数：2.00）A.独立且有相同的分布。B.独立且有不同的分布C.不独立且有相同的分布D.不独立且有不同的分布12.设随机变量 X与 Y相互
5、独立，且方差 D(X)0，D(Y)0，则( )（分数：2.00）A.X与 X+Y一定相关B.X与 X+Y一定不相关C.X与 XY一定相关D.X与 XY一定不相关13.已知随机变量 X服从标准正态分布，Y=2X 2 +X+3，则 X与 Y( )（分数：2.00）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立14.随机变量 X一 N(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY =1，则( )（分数：2.00）A.PY=一 2X1=1B.PY=2X1=1C.PY=一 2X+1=1D.PY=2X+1=1二、填空题(总题数：13，分数：26.00)15.已知随机变量 X
6、的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，1)，YN(0，2)，则 E(X 2 +Y)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_18.设 X和 Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_19.将 10双不同的鞋随意分成 10堆，每堆 2只，以 X表示 10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 EX= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间0，6上
7、的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，2 2 )，X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D(X 1 一 2X 2 +3X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X与 Y相互独立，方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设随机变量 X和 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_23.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X一 1，则 Y与 Z的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_24.设随机变量 X和 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_25.已知随机变量 X在(1
8、，2)上服从均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_26.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分布，PX 1 +X 2 0=1e -1 ，则 E(X 1 +X 2 ) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_27.某车间生产的圆盘其直径在区间(a，b)上服从均匀分布，则圆盘面积的数学期望为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_29.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分
9、布为 （分数：2.00）_30.设随机变量 （分数：2.00）_31.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=一 1= （分数：2.00）_32.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的 01分布，即 PX=0=PX=1= PY=0=PY=1= 定义随机变量 Z= （分数：2.00）_33.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布 (I)求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)； ()求边缘密度函数 f X (x)f Y (y)及条件密度函数 f X|Y (x|y),f Y|X (y|x)；并问 X与 Y是否独立； ()计算概率
10、PX0，Y0， （分数：2.00）_34.已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_35.假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：2.00）_36.设随机变量 U服从二项分布 ，随机变量 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 21答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则 Y与 Z的相关系数仍为 的充
11、要条件是( )（分数：2.00）A.a=1，b 为任意实数B.a0，b 为任意实数 C.a0，b 为任意实数D.a0，b 为任意实数解析：解析：直接计算 Y与 Z的相关系数来确定正确选项由于 Cov(Y，Z)=Coy(Y，aX+b)=aCov(X，Y)，D(Z)=D(aX+b)=a 2 D(x)，所以 3.设 X是一随机变量，E(X)=，D(X)= 2 (， 2 0 常数)，则对任意常数 C必有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 =E(X) 2 一 C 2 B.E(XC) 2 =E(X一 ) 2 C.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 D.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 解析：解析
12、：因为 E(XC) 2 =E(X一 + 一 C) 2 =E(X) 2 +2(C)E(X)+( 一 C) 2 ， 又 E(X一 )=E(X)一 =0，所以得 E(XC) 2 =E(X) 2 +( 一 C) 2 E(X 一 ) 2 故选项 D正确4.假设随机变量 X与 Y的相关系数为 ，则 =1 的充要条件是( )（分数：2.00）A.Y=aX+b(a0)B.Coy(X，Y)=1，D(X)=D(Y)=1C.D. 解析：解析：显然选项 A、B、C 是 =1 的充分条件但不是必要条件，因此选 D事实上，5.设随机变量 X和 Y的方差存在且不等于 0，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)是 X和 Y(
13、)（分数：2.00）A.不相关的充分条件，但不是必要条件B.独立的充分条件，但不是必要条件C.不相关的充分必要条件 D.独立的充分必要条件解析：解析：6.假设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的协方差矩阵为 （分数：2.00）A.=0B.C.D.|=1 解析：解析：7.设二维正态随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =X 一 Y，不相关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X 2 )一 E 2 (X)=E(Y 2 )一 E 2 (Y) C.E(X 2 )=E(Y 2 )D.E(X 2 )+E 2 (X)=E(Y 2 )+E 2 (Y)解析
14、：解析：根据随机变量 与 不相关的充分必要条件为 Cov(，)=0，有 Cov(，)=Coy(X+Y，XY)=Coy(X，X)一 Coy(Y，Y)， 注意到 D(X)=Cov(X，X)，D(Y)=Coy(Y，Y)， 可得 D(X)=D(Y)， 即 E(X 2 )一E(X) 2 =E(Y 2 )一E(Y) 2 ，故选 B8.已知随机变量 X与 Y有相同的不为零的方差，则 X与 Y的相关系数等于 1的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.Coy(X+Y，X)=0B.Cov(X+Y，Y)=0C.Cov(X+Y，XY)=0D.Coy(XY，X)=0 解析：解析：直接根据定义通过计算确定正确选项，已
15、知 D(X)=D(Y)，故 因为 Coy(X，Y)=Coy(X，X)Cov(X，XY)=0 Cov(XY，X)=0，选择 D其余选项均不正确，这是因为当 D(X)=D(Y)时，必有 Cov(X+Y，XY)=Cov(X，X)一 Cov(X，Y)+Cov(Y，X)一 Coy(Y，Y) =D(X)一 D(Y)=0， 选项 C成立，不能推出 =1选项 A、B 可推出 Cov(X，Y)=一 Cov(X，X)=一 D(X)或 Cov(X，Y)=一 Cov(Y，Y)=一 D(Y)，9.已知随机变量 X与 Y的相关系数大于零，则( )（分数：2.00）A.D(X+Y)D(X)+D(Y)B.D(X+Y)D(X)
16、+D(Y)C.D(XY)D(X)+D(Y)D.D(XY)D(X)+D(Y) 解析：解析：根据公式 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X，Y)确定正确选项10.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差 2 0，令 则( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因为 而由 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，可得 Cov(X 1 ，X i )=0，i=2，3，n 11.已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=，D(X)=D(Y)= 2 ，X 与 Y的相关系数 0，则 X与Y( )（分数：2.00）A.独立且有相同的分布。B.独立且有不同的
17、分布C.不独立且有相同的分布 D.不独立且有不同的分布解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，故 XN(， 2 )，YN(， 2 )，即 X与 Y有相同的分布，但是 0，所以 X与 Y不独立，选 C12.设随机变量 X与 Y相互独立，且方差 D(X)0，D(Y)0，则( )（分数：2.00）A.X与 X+Y一定相关 B.X与 X+Y一定不相关C.X与 XY一定相关D.X与 XY一定不相关解析：解析：直接根据计算协方差来判断， 已知 X与 Y独立，故 Cov(X，Y)=0， Cov(X，X+Y)=Cov(X，X)+Cov(X，Y)=D(X)0 所以 X与 X+Y一定相关，应选 A 又由于 C
18、oy(X，XY)=E(X 2 Y)一 E(X).E(XY) =E(X 2 ).E(Y)一(EX) 2 .E(Y) =E(X 2 )一 E 2 (X)E(Y) 13.已知随机变量 X服从标准正态分布，Y=2X 2 +X+3，则 X与 Y( )（分数：2.00）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立 解析：解析：通过计算 Cov(X，Y)来判定 由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=E(X 2 )=1，E(X 3 )=0，E(XY)=E(X)(2X 2 +X+3)=2E(X 3 )+E(X 2 )+3E(X)=1，Cov(X，Y)=E(XY)
19、一 E(X)E(Y)=10 X与Y相关 14.随机变量 X一 N(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY =1，则( )（分数：2.00）A.PY=一 2X1=1B.PY=2X1=1C.PY=一 2X+1=1D.PY=2X+1=1 解析：解析：设 Y=aX+b，因为 XY =1，得 X，Y 正相关，得 a0，排除选项 A、C由 XN(0，1)，YN(1，4)，可得 E(X)=0，E(Y)=1，所以 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a0+b=1，所以 b=1排除选项 B故选择D二、填空题(总题数：13，分数：26.00)15.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.0
20、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：由于 D(X 2 )=E(X 4 )一 E 2 (X 2 ) 16.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，1)，YN(0，2)，则 E(X 2 +Y)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 X和 Y相互独立，所以 X 2 与 Y相互独立， E(X 2 +Y)=E(X 2 )+E(Y)， 由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=1 因此 E(X 2 )=D(
21、X)+(EX) 2 =1，YN(0，2)，故 E(Y)=0，所以 E(X 2 +Y)=118.设 X和 Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：本题是考查数字特征计算的基础题，所以19.将 10双不同的鞋随意分成 10堆，每堆 2只，以 X表示 10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 EX= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 将第 i堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的 19只中唯一的一只才有可能，故 PX i =1= 也就有 E(X i
22、)= 20.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，2 2 )，X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D(X 1 一 2X 2 +3X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析：解析：根据题设可知，D(X 1 )= 21.设随机变量 X与 Y相互独立，方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：44）解析：解析：因 X与 Y独立，故 3X与一 2Y也独立，所以 D(3X 一 2Y)=D(3X)+D(一 2Y)
23、=9D(X)+4D(Y)=36+8=4422.设随机变量 X和 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：根据题意 X与 Y的边缘分布分别为 23.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X一 1，则 Y与 Z的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09）解析：解析：Cov(Y，Z)=Coy(Y，2X 一 1)=2Cov(X，Y)，D(Z)=D(2X 一 1)=4D(X) Y 与 Z的相关系数 YZ 为 24.设随机变量 X和 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
24、一 002）解析：解析：由 X和 Y的联合概率分布得 25.已知随机变量 X在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设知 f Y|X (y|x)= 所以(X，Y)的联合密度函数 26.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分布，PX 1 +X 2 0=1e -1 ，则 E(X 1 +X 2 ) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：已知 X i P( i )且相互独立，所以 E(X
25、 i )=D(X i )= i ，i=1，2 E(X 1 +X 2 ) 2 =E(X 1 2 +2X 1 X 2 +X 2 2 )=E(X 1 2 )+2E(X 1 )E(X 2 )+E(X 2 2 ) = 1 + 1 2 +2 1 2 + 2 + 2 2 = 1 + 2 +( 1 + 2 ) 2 因为 PX 1 +X 2 0=1 一 PX 1 +X 2 0=1 一 PX 1 +X 2 =0 =1一 PX 1 =0，X 2 =0=1一 PX 1 =0PX 2 =0 = 27.某车间生产的圆盘其直径在区间(a，b)上服从均匀分布，则圆盘面积的数学期望为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确
26、答案：正确答案：*）解析：解析：设圆盘直径为 X，其概率密度为 设圆盘面积为 Y，所以三、解答题(总题数：9，分数：18.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：29.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以 假如随机变量 X与 Y相互独立，就应该对任意的 i，j 都有 p ij =p i .p j ，而本题中 p 14 =0，但是 p 1 与 p 4 均不为零，所以 P 14 p 1 p 4 故 X与 Y不是相互独立的 )解析：30.设
27、随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由 P|X|Y|=1 知，P|X|=|Y|=0由此可得 X与 Y的联合分布律为因为 PX=一 1，Y=一 1PX=一 1PY=一 1，所以 X与 Y不独立 ()由(X，Y)的联合分布律知所以 U与 V的联合分布律与边缘分布律为 )解析：31.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=一 1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)根据题设 PX+Y=1=1，即 PX=一 1，Y=2+PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=1，故其余分布值均为零，即 PX=一 1，Y=0=PX=一 1，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2
28、=PX=1，Y=1=PX=1，y=2=0，由此可求得联合分布为 ()因为 PX=一 1，Y=0=0PX=一 1PY=0= )解析：32.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的 01分布，即 PX=0=PX=1= PY=0=PY=1= 定义随机变量 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立 由题设知 将其改写成矩阵形式，求 Z、(X，Z)的分布： 由此可得 Z服从参数 p= 的 0一 1分布；所以(X，Z)的联合概率分布为 因 PX
29、=i，Z=j= )解析：33.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布 (I)求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)； ()求边缘密度函数 f X (x)f Y (y)及条件密度函数 f X|Y (x|y),f Y|X (y|x)；并问 X与 Y是否独立； ()计算概率 PX0，Y0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由于以(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形面积为 1，如图 42所示，故 由于 f X (x)f Y (y)f(x，y)所以 X与 Y不独立 )解析：34.已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为
30、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：画出 f(x，y)非零定义域，应用定义、公式进行计算 因为 f X (x)f Y (y)f(x，y)，所以 X与 Y不独立 由于 F Z (z)为 z的连续函数，除 z=0外，导函数存在且连续，故 )解析：35.假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)已知(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且 PU=0，V=0=PXY，X2Y=PXY= PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y= PU=1，V=1=PXY，X2Y=PX2Y= 于是(U，V)的联合分布为 ()从(I)中分布表看出 )解析：36.设随机变量 U服从二项分布 ，随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 X与 Y的概率分布及 XY的概率分布即 其次计算 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)与 E(XY)即 最后应用公式可得 )解析：
