1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 XN(，16)，YN(，25)，p 1=PX 一 4，p 2=PY+5，则：（A）对任意实数 ，有 p1=p2（B）对任意实数 ，有 p1p 2（C）对任意实数 ，有 p1p 2（D）只对部分实数 ，有 p1=p22 设随机变量 X，Y 独立同分布，P(X=一 1)=P(X=1)= ，则二、填空题3 设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= ，则 P(Y1)=_4 用一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 i 个零件是次品的概率为 ，(i=1，2，3)
2、设这 3 个零件中有 X 个合格品(非次品即为合格品 )，则 P(X=2)=_5 设随机变量 X 服从(-a,a)上的均匀分布(a 0)，且已知 P(X1)= ，则a=_，D(X)=_6 随机变量 X 的密度为： 且知 EX=6，则常数A=_，B=_7 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，Y N(一 2，9)，Z N(2，2)，则 P0X+YZ3=_( =07734)8 对随机变量 X，Y，Z，已知 EX=EY=1，EZ= 一 1，DX=DY=1，DZ=4 ， (X,Y)(X Y)=0， (X,Z)= ， (Y,Z)= ( 为相关系数)则 E(X+Y+Z)=_，D(X+Y+Z
3、)=_，cov(2X+Y，3Z+X)=_9 设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表) 其中 ， 未知，但已知 E(Y)= ，则 =_，=_ ，E(X)=_ ，E(XY)=_ 10 设(X，Y)在 D：|x|+|y|a(a0)上服从均匀分布，则 E(X)=_，E(Y)=_，E(XY)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设飞机引擎在飞行中正常运行的概率为 p，且各引擎是否正常运行是相互独立的如果有至少 50的引擎正常运行，飞机就能成功飞行问对于多大的 p 而言，4 引擎飞机比 2 引擎飞机更可取?12 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为问 X 与 Y 是否独立?|X|与
4、|Y|是否独立?13 设随机变量 X，Y，Z 独立，均服从指数分布，参数依次为 1， 2， 3(均为正)求 PX=min(X，Y，Z)14 函数 是否可以是某随机变量(X，Y) 的分布函数?为什么?15 设 XU(0，1) 且 X 与 Y 独立同分布，求 的分布函数(U(0，1)表示区间(0， 1)上的均匀分布 )F(u)16 设区域 D 为：由以(0，0)，(1，1) ， 为顶点的四边形与以为顶点的三角形合成而(X，Y) 在 D 上服从均匀分布，求关于 X 和 Y 的边缘密度 fX(x)和 fY(y)17 设 X 服从参数为 2 的指数分布，求 Y=1-e-2x 的概率密度 fY(y)18
5、设一电路装有 3 个同种电气元件，它们工作状态相互独立，且无故障工作时间均服从参数为 的指数分布( 0)，当 3 个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作求电路正常工作的时间 T 的密度 f(t).19 设随机变量 X 的密度为 f(x)= 一 x+ ，求 Emin(1，|X|)20 已知随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从2，4上的均匀分布，YN(2，16)求cov(2X+XY，(Y-1) 2)21 随机变量 X 可能取的值为一 1，0，1且知 EX=01，EX 2=09，求 X 的分布列22 在ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S 与 S1若已知S
6、=12，求 ES123 袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为 3：2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1 个记 X 为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数求 E(X)24 已知线段 AB=4，CD=1，现分别独立地在 AB 上任取点 A1，在 CD 上任取点C1，作一个以 AA1 为底、CC 1 为高的三角形，设此三角形的面积为 S，求 P(S1)和 D(S)25 设随机变量 X 在区间(一 1，1)上服从均匀分布， Y=X2，求(X ，Y)的协方差矩阵和相关系数26 现有 k 个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共 n+1 层电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入
7、电梯)现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值27 设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为 100 和 150(小时)，而成本分别为 c 和 2c 元如果制得的元件寿命不超过 200 小时，则须进行加工，费用为 100 元为使平均费用较低，问 c 取值时，用第 2 种方法较好 ?28 设做一次实验的费用为 1000 元，如果实验失败，则要另外再花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验设各次实验相互独立，成功的概率均为 02，并假定实验一定要进行到出现成功为止求整个实验程序的平均费用29
8、现有奖券 100 万张，其中一等奖 1 张，奖金 5 万元；二等奖 4 张，每张奖金2500 元；三等奖 40 张，每张奖金 250 元；四等奖 400 张，每张奖金 25 元而每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益30 设随机变量(X，Y) N(0，1；0，1；) ，求 Emax(X，Y)31 设随机变量 X1，X 2，X n 独立同分布且 DX1=2，令 ，试求相关系数32 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到两次成功为止设 X 为所需要进行的试验次数，求 X 的概率分布及 E(X)33 n 个小球和 n 个盒子均编号 1，2，n，将 n 个小球随机地投入 n 个盒
9、中去，每盒投 1 个球记 X 为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)34 在长为 a 的线段 AB 上独立、随机地取两点 C，D ，试求 CD 的平均长度35 设随机变量 X1，X n，X n+1 独立同分布，且 P(X1=1)=p，P(X 1=0)=1 一 p，记：(i=1，2，n)求考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题3 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 【知识
10、模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 3【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 02734【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1，D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2cov(X，Y)+2coy(X，Z)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 0,0,0【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 设 4 引擎与 2 引擎飞机分别有 X 与 Y 个引擎正常工作，则XB(4，p)
11、 ，YB(2，p)，P(X2)=1 一(1 一 p)4 一 4p(1 一 p)3，P(Y1)=1 一(1 一p)2，由 P(X2)P(Y1)，而 0p1，可解得 p 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 关于 X 的边缘密度为 fX(x)=-+f(x，y)dy若|x|1，则 fX(x)=0；若|x|1，则 fX(x)= 关于 Y 的边缘密度为 f Y(y)=-+f(x，y)dx即 X 与 Y 不独立 而(|X|，|Y|) 的分布函数为 F(x，y)=P|X|x，|y|y当 x0或y0时，f(x，y)【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 由已知可得：(X，Y，Z)的概率密
12、度为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 令 a=c=0，b=d=2，则 ab，cd，但F(bd)一 F(a，d)-F(b ，c)+F(a，c)=11-1+0=一 10，可见 F(x，y)不是随机变量的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由题意，(X，Y)的概率密度为u0时，F(u)=0；u1 时，F(u)=1； 其中 G 见图 1 中阴影部分； 其中 D 见图 2 中阴影部分【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 易算得 D1 的面积为 ，D 2 的面积为 故 D 的面积为 (X，Y)的概率密度为 fX(x)=-+f(x，y)dy 当 x0或 x1
13、时，fX(x)=0； 而 fY(y)=-+f(x，y)dx 当 y0或 y1时，f Y(y)=0；【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 记 X1，X 2，X 3 为这 3 个元件的无故障工作的时间，则T=min(X1，X 2，X 3)的分布函数为 FT(t)=P(Tt)=1 一 Pmin(X1，X 2，X 3)t=1 一P(X1t) 3=1-1 一 P(X1t)【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 cov(2X+XY，(Y 一 1)2)=cov(2X+XY，Y 2 一 2
14、Y+1)=cov(XY，Y 2一 2Y)=cov(XY，Y 2)一 2cov(XY，Y)=E(XY 3)一 E(XY)E(Y2)一 2EE(XY2)一 E(XY).EY=EX.EY3-EXEYEY2-2EXE(Y2)一 EX(EY)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由题意，X 的分布列可设为： 且知：a+b+c=1，01=EX=一 a+c，09=E(X 2)=(一 1)2.a+12.c=a+c可解得a=04，b=01，c=05，代回分布列表达式即可【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 如图建立坐标系，设 AB 长为 r， ABC 高为 h，c 点坐标为(u，h)设A
15、BC 所围区域为 G，则 G 的亩积 =12又设 P 点坐标为(X， Y)，则随机变量 (X，Y)在 G 上服从均匀分布，其概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 记 AA1 长度为 X，CC 1 长度为 Y，则知 X 与 Y 为二相互独立的随机变量，分别服从区间0，4和0，1 上的均匀分布，(X，Y) 的概率密度为其中 D=(x,y)|0x4,0y1【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 X 的概率密度为： 故 EX=0，EX 2=DY=E(Y2)一(EY) 2=E(X4)一(EX 2)2= ，cov(X ，Y)
16、=coy(X，X 2)=E(X3)-EX.EX2=0，故知 (X，Y)的相关系数 (X,Y)=0，协方差阵为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 i=2,3, ,n+1,而 为电梯停的次数，故知平均停的次数为 EX=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为 X、Y ，费用分别为 、，则知 X、Y 的概率密度分别为：E=(c+100)P(X200)+c.P(X200)=c+100p(X200)，E=(2c+100)P(Y200)+2cP(Y200)=2c+100P(Y200)，于是 E一 E=c+100P(Y200)一 P(X200
17、)=c+100 ，可见 c 时，EE，用第 2 种方法较好(平均费用较低)【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设需进行 X 次试验，则所需费用为 Y=1 000+300(X1)而P(X=k)=08 k-1.02，k=1，2，记 g(x)=于是 EX= ，故 EY=1 000+300(EX 一 1)=2 200(元)【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 记 X 和 分别为买 1 张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则 =X一 2，而 X 的概率分布为：【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 E(X Y)=EXEY=0，D(X Y)=DX+DY 一 2cov
18、(X，Y)=1+12=2(1一 )，X 一 Y N(0,2(1-),【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 P(X=k)=P前 k 一 1 次试验中恰出现 1 次成功，第 k 次试验成功= k=2 ，3，设出现第 1 次成功时进行了次试验，从第 1 次成功( 不含)到第 2 次成功(含)进行了 次试验，则 X=+，且与 服从同一几何分布：P(=k)= ，k=1，2，可算得 E=E= 故EX=E+E=【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 设 AC、AD 的长度分别为 X、Y ，由题意知 X 与 Y 独立同分布，均服从区间(0，a)上的均匀分布，故(X，Y)的概率密度为：f(x，y)=其中 D=(x，y)|0 xa ，0ya，而 CD 的长度为|XY|，故知【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 EY i=P(Xi+Xi+1=1)=P(Xi=0，X i+1=1)+P(Xi=1，X i+1=0)=2p(1 一 p)，i=1， ，n =2np(1 一 p)，而 E(Yi2)=P(Xi+Xi+1=1)=2p(1 一 p)，DYi=E(Yi【知识模块】 概率论与数理统计
