1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是（ ）（A） 不相容（B） 相容（C） P（AB）=P（A）P（B）（D）P（A 一 B）=P （A）2 对于任意两事件 A 和 B，若 P（AB ）=0 ，则（ ）（A）（B）（C） P（A）P （B ）=0（D）P（AB ）=P （A）3 袋中有 5 个球，其中白球 2 个，黑球 3 个。甲、乙两人依次从袋中各取一球，记A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球 ”。 若取后放回，此时记 P1=P（A
2、 ），P2=P（ B）； 若取后不放回，此时记 p3=P（A），p 4=P（B）。 则（ ）（A）p 1p2p3p4（B） p1=p2p3p4（C） p1=p2=p3p4（D）p 1=p2=p3=p44 在全概率公式 P（B）= P（A i）P（B|A i）中，除了要求条件 B 是任意随机事件及 P（A i） 0（i=1， 2，n）之外，还可以将其他条件改为（ ）（A）A 1，A 2，A n 两两独立，但不相互独立（B） A1，A 2，A n 相互独立（C） A1，A 2，A n 两两互不相容（D）A 1，A n，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即5 设 X1 和 X2 是任意两个相互
3、独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1（x）和 f2（ x），分布函数分别为 F1（x）和 F2（x），则（ ）（A）f 1（x）+f 2（x）必为某一随机变量的概率密度（B） F1（x）F 2（x）必为某一随机变量的分布函数（C） F1（x）+F 2（x）必为某一随机变量的分布函数（D）f 1（x）f 2（x）必为某一随机变量的概率密度6 设随机变量 XN（， 42），YN（ ，5 2）；记 p1=PX 一 4，p2=PY+5，则（ ）（A）p 1=p2（B） p1p 2（C） p1p 2（D）因 未知，无法比较 p1 与 p2 的大小7 已知随机变量（X，Y）在区域 D=（x，y）
4、| 1 x 1，1 y1上服从均匀分布，则（ ）8 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则（ ）（A）X+Y 一定服从正态分布（B） X 和 Y 不相关与独立等价（C）（ X，Y）定服从正态分布（D）（X，Y）未必服从正态分布9 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布。记 Y=maxX，1，则 E（Y ）=（ ）（A）1（B） 1+e1（C） 1e1（D）e 110 设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=XY， V=X+Y，则随机变量 U 与 V 必然（ ）（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零11 设 X1，X 2，X n，相互独立且都服从参数为 （0）的
5、泊松分布，则当n时，以 （x）为极限的是（ ）12 设总体 X 服从正态分布 N（0， 2），X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，统计量 （1i10）服从 F 分布，则 i 等于（ ）（A）5（B） 4（C） 3（D）2二、填空题13 甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p 与 05，则p=_时，甲、乙胜负概率相同。14 设离散型随机变量 X 的分布律为 PX=i=pi+1，i=0，1，则 p=_。15 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则概率16 设随机变量 X 服从参数为
6、 1 的指数分布，随机变量函数 y=1eX 的分布函数为 FY（y），则17 假设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且都服从 01 分布：PX i=1=p，PX i=0=1p（i=1，2，3，4，0p1），已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 ，则 p=_。18 相互独立的随机变量 X1 和 X2 均服从正态分布 N（0， ），则 D（|X 1 一 X2|）=_。19 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为 04，则 X2 的数学期望 E（X 2）=_ 。20 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y 与 Z 的相关系数为
7、_。21 设总体 X 的概率密度函数为 f（x）= （ x+ ），X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，其样本方差为 S2，则 E（S 2）=_。22 设总体 X 的概率分布为 为未知参数，对总体抽取容量为 10 的一组样本，其中五个取 1，三个取 2，一个取0。则 的矩估计值为_，最大似然估计值为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 已知在 10 件产品中有 2 件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率：（）两件都是正品；（）两件都是次品；（）一件是正品，一件是次品；（）第二次取出的是次品。24 设有四个编号分别为 1，2，3；4 的盒子
8、和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记 X 为至少有一只球的盒子的最小号码。（）求 X 的分布律；（）若当 X=k（k=1 ，2，3，4）时，随机变量 Y 在0，k 上服从均匀分布，求PY2。25 设随机变量 X 且 P|x|Y|=1。（）求 X 与 Y 的联合分布律，并讨论 X 与 Y 的独立性；（）令 U=X+Y，V=XY，讨论 U 与 V 的独立性。26 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为求：（）系数 A；（）（X ，Y）的联合分布函数；（）边缘概率密度；（）（X， Y）落在区域 R:x0，y0，2x +3y6 内的概率。27 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（）求 PX2
9、Y；（）求Z=X+Y 的概率密度。28 假设二维随机变量（X，Y）在矩形区域 G=（x，y）|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （）求 U 和 V 的联合分布；（）求 U 和 V 的相关系数 。29 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本。（）求 的矩估计量；（）求 的最大似然估计量。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB= ，所以 AB=AAB=A =A，从而 P（A B）=P（A），故选项 D 正确。
10、对于选项 A、B 可举反例排除，如取 =l，2，3，A=1，B=2 ，则 AB= ，所以P（AB）=0，但由题设知 P（A）P（B）0，因此选项 C 不正确。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P（AB）=P（A）P（AB）=P（A ）。故应选 D。不难证明选项 A、B、C 不成立。设 XN（0，1），A=X0，B=X0，则P（AB=0 ， P（A）P（B）0 且 从而 A 项和 C 项不成立。若 A 和 B 互为对立事件，则 故选项 B 也不成立。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 依据取球方式知 p1=p2=p3，又因为“抽签结
11、果与先后顺序无关”，得p3=p4，所以正确答案是 D。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A1，A 2，A n 两两互不相容，则 A1B，A 2B，A nB 亦两两互不相容，且因 应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，有 F 1（x）F 2（x）=PX 1xPX2x =PX1x，X 2x（因 X1 与 X2 相互独立）。 令 X=maxX1，X 2，并考虑到 PX 1x，X 2x=P max（ X1，X 2）x，可知，F 1（x）F 2（x）必为随机变量 X 的分布函数，
12、即FX（x） =PXx。 故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 P 1=PX4= =（一 1）=1 一 （1），p2=Py+5=1一 PY+5=1 一 =1（1）。计算得知 P1=P2，故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 根据题设知（X，Y）的概率密度函数为所以选项 A、B、C 都不正确。故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 不成立，例如，若 Y=X，则 X+Y=0 不服从正态分布。选项 C 不成立，（X，Y）不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分
13、布。选项 B 也不成立，因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y独立”与“X 和 Y 不相关”二者等价。故应选 D。虽然随机变量 X 和Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故（X ，Y ）未必服从正态分布。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 随机变量 X 的密度函数为 f（x）= E（Y ）=EmaxX， 1=+maxx，1f（x）dx= 0+maxx，1e Xdx=01exdx+1+xexdx=1+ex。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov（U，V）=E（UV）E（U ）E（V
14、）=E（X 2Y2）E（XY）E（X + Y）=E（X 2）E（Y 2）E 2（ X）+E 2（Y ）=D（X）D（Y）=0 。则 所以 U 与 V 的相关系数为零，故选D。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X 2n，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E（ Xi）=，D（X i）=，根据方差与期望的运算法则，有（x）为极限，故应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，统计量 YF（m，n），所以 4=解得 i=2，选择 D。故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题13 【正确答案】
15、【试题解析】 根据题意，如果要使得甲、乙的取胜概率相同，则必定有 p=（1p）0 5+ （1p）0505 解得 p= 。所以只有当 p= 时，甲、乙胜负的概率相同。【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 由于 PX=0+PX=1=p+p2=1，所以 p2 +p 一 1=0，解得 p=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 一 e2【试题解析】 根据题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 记 =X1X4X2X3，则 p 应使 P
16、0=PX 1X4X2X30=PX 1X4X 2X3= ，因为 Xi 仅能取 1 或 0，且相互独立，故事件X1X4X 2X3=X1X4=1，X 2X3=0，所以 =PX1=1，X 4=1，X 2=0，X 3=0+PX1=1，X 4=1，X 2=o， X3=1+PX1=1，X 4=1，X 2=1，X 3=0=p2（1 一 p） 2 +p3（1 一 p） +p3（1 一 p）=p 2（1 一 p2）=p 2 一 p4，则 p 4 一 p2+【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据题意随机变量 X1 和 X2 相互独立，且服从正态分布 N（0， ），设 Z=X1X2，则
17、ZN（0，1），其概率密度函数为 （z）= D（|X 1X2|）=D（|Z|）=E（|2| 2）E 2（|Z|）=E（Z 2） E2| Z|=D（Z） + E2（2）E 2| Z|显然，D（Z）=1 ，E（Z）=0。E（|Z|）= +|z|（z） dz【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 184【试题解析】 根据题意可知，X 服从 n=10，p=0 4 的二项分布，因此有 E（X）=np=4，D（ X）=np（1p）=24， 因此 E （X 2）=D（X） +E 2（X）=184。【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 09【试题解析】 Cov（Y，Z）=Cov（Y，2X
18、1）=2Cov（X ，Y），D（Z）=D（2X1）=4D （X ）。y 与 Z 的相关系数 YZ 为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 2【试题解析】 显然 E（S 2）=D （X），而 D（X ）=EXE（X ） 2。E（X）= +xf（x）dx= +x e|x|dx= xe xdx+xexdx= e（xe xex|+e（xe xex）| =。D（X）= +（x 一 ） 2 e|x|dx=0+t2etdt=20+tetdt=2。【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 根据矩估计，最（极）大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结果。事实上，设 E（X）=
19、E（X ） =2（10） +2（1） 2=2（1 一 ） 。令 2（1）= 解得 的矩估计量 由样本值，可得 （51 +3 2 +2 0） = ，故 矩估计值为 1 又样本似然函数 L（ ）= p（x i； 0） = 2（1 ） 5（1） 23 22=259（1）11，则有 InL=5ln2 + 9ln + 11ln（l） ，【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 令事件 Ai 表示“ 第 i 次取出正品”，则其对立事件 Ai 表示“第 i 次取出次品”（ i=1，2）。依题意可知：（ ）A 1A2 表示“两件都是正品”，且由概率乘法
20、公式可得：P （A 1A2） =P （A 1）P（A 2|A1） = （）X 表示“ 两件都是次品” ，且由概率乘法公式可得：【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 （）随机变量 X 可能取值为 1，2，3，4，设事件 Ai （i=1， 2，3 ，4）表示第 i 个盒子是空的，则PX=4 =P（A 1A2A3） =P（A 1）P（A 2 |A1）P（A 3|A1A2）于是 X 的分布律为（）由于当 X=k 时，随机变量 Y 在0，k 上服从均匀分布，故 PY2|X=1=PY2|X=2 =1,P Y2|X=3= 由全概率公式既得【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 （）由
21、P|X|Y|=1 知，P|X|=|Y|=0 。由此可得 X 与 y 的联合分布律为因为 PX=1，Y= 1PX=1PY=1，所以 X 与 Y 不独立。（）由（X，Y）的联合分布律知 所以U 与 V 的联合分布律与边缘分布律为即可验证 U 与V 独立。【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 （）根据分布函数的性质 +f（x，y）dxdy= 0+0+Ae 一（2x+3y） dxdy=A ，解得 A=6。（）将 A=6 代入得（X ，Y）的联合概率密度为 所以当 x0，y0 时，F（x，y）=0+0+Ae 一（2x+3y） dxdy=60xe2xdx0ye3ydy=（1e 2x）（1e 3
22、y），而当 x 和y 取其它值时，F （x，y） =0。综上所述，可得联合概率分布函数为（）当 x0 时，X 的边缘密度为 fX（x ） =6e （2x+3y） dy=2e2x，当 x0 时， fX（x）=0。因此 X 的边缘概率密度为 同理可得 Y 的边缘概率密度函数为（）根据公式 已知 R:x0，y0，2x+3y6，将其转化为二次积分，可表示为e3ydy=203（e 2x-6）dx=17e60983。【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 （）已知 X，Y 的概率密度，所以（4）当 z2 时，F Z（z ） =1。故 Z=X+Y 的概率密度为 fZ（z）=F Z（z ）=【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 （）已知（U，V）是二维离散型随机变量，只取（0，0），（1，0），（1，1）各值，且【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 （）对于总体 X 的样本值 x1，x 2，x n，其似然函数为L（x 1，x 2，x n；）=f （x 1；）f（x 2；）f（x n； ）=2n（x 1，x 2，x n） 3 ln=2n，ln31n（x 1x2xn）一得到最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计
