1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (一 z)=(x)，F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有（A）F(一 a)=1 一 0a(x)dx（B）（C） F(一 a)=F(A)（D）F(一 a)=2F(A)一 12 设随机变量 XN(， 2)，则随着 的增大，概率 P(|X 一 |)（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定3 设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布，P(X=一 1)=P(Y=一 1)= ，P(X=1)=P(Y=1)= ，则下列各式
2、成立的是（A）（B） P(X=Y)=1（C）（D）4 设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数。为使 F(x)=a1F1(x)一 bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取5 设随机变量 且满足 PX1X2=0=1，则 PX1=X2)等于（A）0（B）（C）（D）16 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 a(0，1)，数 u满足 Pxu )=，若 P|X|x=a，则 x 等于7 设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，随机变量 y 服从正态分布 N(2， 22)，且 P|X1|1)P|Y 一 2|1 则必有（A） 1
3、 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 28 设随机变量 X，y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为（A）F 2(x)（B） F(x)F(y)（C） 1 一1 一 F(x)2（D）1 一 F(x)3-1 一 F(y)9 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1)= 。记 Fz(z)为随机变量 Z=xy 的分布函数，则函数 Fz(z)的间断点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）310 设随机变量 X 的分布函数 ，则 PX=1)=（A）0（B）（C）（D）1 一 e-111 设
4、 f1(x)为标准正态分布的概率密度，f 2(x)为一 1，3上均匀分布的概率密度，若 为概率密度，则 a，b 应满足（A）2a+3b=4（B） 3a+2b=4（C） a+b=1（D）a+b=2二、填空题12 设随机变量 X 的概率密度为 以 y 表示对 x 的三次独立重复观察中事件x )出现的次数，则 PY=2=_。13 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2=_。14 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 若随机事件X=0与X+Y=1相互独立，则 a=_，b=_。15 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，
5、则Pmax(X，Y)1=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布。(1)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q。17 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且同分布，P(X i=0)=06，P(X i=1)=04(i=1 ，2，3，4)。求行列式 的概率分布。18 已知随机变量(X，Y) 的联合概率密度为求(X，Y) 的联合分布函数。19 设随机变量 x 的绝对值不大于 1， 。在事件一 1
6、X1出现的条件下，X 在区间(一 1，1) 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求 X 的分布函数 F(z)=P(Xx)。20 设随机变量 X 的概率密度为21 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(x，y)：1x3，1y3上的均匀分布，试求随机变量 U=|XY|的概率密度 p(u)。22 设随机变量 X 的概率密度为 F(x)是 X 的分布函数，求随机变量 Y=F(X)的分布函数。23 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u)。23 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
7、求：24 (X， Y)的边缘概率密度 fx(x)，f y(y)；25 Z=2XY 的概率密度 fz(z)；26 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为()求 PX2Y)；()求 Z=X+Y 的概率密度 fz(z)。27 设随机变量 x 与 y 相互独立，X 的概率分布 ，Y 的概率密度为 ，记 Z=X+Y。()求P(Z |X=0；()求 Z 的概率密度 fz(z)。28 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ()求条件概率密度 fY(y|x)；()求条件概率 PX1|y1。29 袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球。以 X，Y，Z 分别表示两次取球所
8、取得的红球、黑球与白球的个数。()求 P(X=1|Z=0；()求二维随机变量 (X， Y)的概率分布。考研数学三（概率统计）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由概率密度的性质和已知，可得【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 P(X=Y)=P(X=一 1，Y=一 1)+P(X=1，Y=1)=P(X=一 1)P(Y=一 1)+P(X=1)P(Y=1)【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 F 1(x)和
9、F2(x)均为分布函数，F 1(+)=F2(+)=1 要使 F(x)为分布函数，也有 F(+)=1对该式令 x，即得 ab=1，只有(A) 符合。【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 由 P(X1X2=0)=1 可知 P(X1=一 1，X 2=一 1)=P(X1=一 1，X 2=1)=P(X1=1，X 2=一 1)=P(X1=1，X 2=1)=0 由联合、边缘分布列(多维离散型) 的性质和关系得(X 1，X 2)的联合、边缘分布列如左表。得：P(X 1=X2)=P(X1=一 1，X 2=一 1)+P(X1=0，X 2=0)+P(X1=1，X 2=1)=0+0+0=0 故
10、选(A)。【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 设 (x)=P(Xx)为服从标准正态分布的 X 的分布函数，有结果：【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 Z 的分布函数 fZ(x)=PZx)=Pmax(X，Y)x)=PXx，Yx)=PXxPYx=F 2(x)，故选 (A)。【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 P(X=1)=F(1)一 F(1 一 0)=(1 一 e-1)一 一 e-1，故选(C)。
11、【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知： 所以2a+3b=4，故选(A) 。【知识模块】 概率与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由题意，X 的概率分布为【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 a=04，b=01【试题解析】 由题意知 04+a+b+01=1，a+b=05而 PX=0=04+a ，PX+Y=1)=P(X=0，Y=1)+PX=1 ，Y=0)=a+b=0 5，PX=0，X+Y=1)=PX=0，Y=1=a由 PX=0，X+Y=1)=PX=0)PX+Y=1)a=(0
12、 4+n)05，得 a=04，从而 b=01。【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 由题意知 X 与 Y 的概率密度均为：【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 由题意，X=X 1X4 一 X2X3，可能取的值为一 1，0，1 P(X=一 1)=P(X1X4 一 X2X3=一 1)=P(X1X4=0，X 2X3=1) =P(X1X4=0)P(X 2X3=1)=1 一P(X1X4=1)P(X 2X3=1) =1 一 P(X1=1，X 4=1)P(X2=1，X 3=1)
13、 =1 一 P(X1=1)P(X4=11)P(X2=1)P(X3=1) =1 一 04 204 2=01344 同理，P(X=1)=P(X1X4=1， X2X3=0)=P(X1X4=1)P(X2X3=0)=01344 而 P(X=0)=1 一 P(X=一 1)一P(X=1)=1013442=07312【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 (X，Y) 的联合分布函数为【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 由 F(z)一 P(Xz)，以及 P(1Xl1)：l 所以，当 x一 1 时，F(x)=0；而 F(一 1)=P(X一 1)=P(X=一 1)= 当 x1 时，F(x)=1当
14、一1x1 时，由题意知：P一 1Xx| 一 1X1)=K(x+1)其中 K 为比例系数，为一常数。由已知可得【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 1，3【试题解析】 P(Xk)= k+f(x)dx。可见：若 k0，则 P(Xk)=1综上，可知 K1，3。【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 G 的面积显然为 4，(X，Y)的联合概率密度为【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 X 的分布函数 F(x)=-xf(t)dt。【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 设 Y 的分布函数为 FY(y)，由全概率公式，知 U 的分布函数为 G(u)=PUu) =PX+Y
15、u)=PX=1PX+Yu|X=1|+PX=2PX+Yu|X=2 =03P1+Yu|X=1+07P2+Yu|X=2 因为 X 与 Y 相互独立，故 G(u)=03PYu 一 1)+07PYu 一 2=03F Y(u 一 1)+07F y(u 一 2) 故 g(U)=G(U)=03F Y(u 一 1)+07F Y(u 一 2)=03f(u 一 1)+0 7f(u 一 2)。【试题解析】 本题主要考查全概率公式(用在随机变量上)及随机变量独立性的用法。对离散型随机变量 X“赋值”(即用全概率公式的一步)，然后又扔掉条件中的(X=1)、(X=2)(由 X 与 Y 独立，当然X=1) 与Yu 一 1二事
16、件独立，注意Yu 一 1中没有X)，是概率论中一常用手法，这里不要套“卷积公式”，不好用。审清题意，f(y)可看作“已知的”，允许出现在最终的答案中，但 FY(y)却不行。如果不引 FY(y)，用PYu 一 1=-u-1(t)dt，然后求导也行。【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 f X(x)=-+f(x，y)dy 当 x0 或 x1 时，f X(x)=0；当 0x1 时，fX(x)=02x1dy=2x。故 同理，f Y(y)=-+f(x，y)dx 当 y0或 y2 时，f Y(y)=0；(积分的讨论和定限可参考图(A)。【知识模块】 概率与数理统计25
17、 【正确答案】 Z 的分布函数为：【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 于是，f Z(x)=01f(x，zx)dxz0 时，f Z(z)=0；0z1 时，f Z(z)=0z(2z)dx=z(2 一z)1z2 时，f Z(z)=z-11(2 一 z)dx=(2z)2z2 时，f Z(z)=0 故【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 () 由题意，关于 X 的边缘概率密度为： fX(x)=-+f(x，y)dy 当x0 时，f X(x)=0；当 x0 时，f X(x)=0x=xe-x【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 ()X 和 Y可能取得值均为：0，1，2得：【知识模块】 概率与数理统计
