1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对于任意两个事件 A 和 B，有 P(A 一 B)=( )（A）P(A)一 P(B)（B） P(A)一 P(B)+P(AB)（C） P(A)一 P(AB)（D）2 设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B A，且 P(A)P(B)1，则一定有( )（A）P(AB)=P(A)+P(B)（B） P(AB)=P(A)一 P(B)（C） P(AB)=P(A)P(B|A)（D）P(A|B)P(A)3 将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次
2、”； C=“反面最多出现一次 ”，则下列结论中不正确的是( )（A）A 与 B 独立（B） B 与 C 独立（C） A 与 C 独立（D）B C 与 A 独立4 设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是 ( )（A）4 与 BC 独立（B） AB 与 AC 独立（C） AB 与 AC 独立（D）AB 与 AC 独立5 假设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，则下列结论不正确的是( )（A）如果 F(a)=0，则对任意 xa 有 F(x)=0（B）如果 F(a)=1，则对任意 xa 有 F(x)=1（C）（D）6 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对
3、给定的 (0，1) ，数 u满足 PXu =，若 P|X|x= ，则 x 等于( )7 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)，独立同分布，且方差 20，记的相关系数为( )（A）一 1（B） 0（C）（D）18 设相互独立的两随机变量 X 和 Y 分别服从 E()(0)和 E(+2)分布，则Pmin(X，Y)1 的值为( )（A）e 一(+1) （B） 1 一 e 一(+1) （C） e 一 2(+1)（D）1 一 e 一 2(+1)9 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于( )（A）一 1（B） 0（C）（D）110 已
4、知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 的相关系数等于 1 的充分必要条件是( )（A）Cov(X+Y，X)=0（B） Coy(X+Y，Y)=0（C） Cov(X+Y，XY)=0（D）Cov(XY，X)=011 设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从 t(n)分布，则 等于( )12 设 n 个随机变量 X1，X 2，X n 独立同分布，D(X i)=2，则( )（A）S 是 的无偏估计量（B） S 是 的最大似然估计量（C） S 是 的相
5、合估计量(即一致估计量)（D）S 与 相互独立二、填空题13 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球，第二个箱中有 3 个黑球和 3个白球，第三个箱子中有 3 个黑球与 5 个白球现随机地选取一个箱子，从中任取1 个球，则这个球为白球的概率是_；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是_14 如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8 次正反面出现的次数，则 t 的一元二次方程 t2+Xt+Y=0 有重根的概率是 _15 已知随机变量 Y 服从0，5上的均匀分布，则关于 x 的一元二次方程4x2+4Yx+Y+2=0 有实根的概率 p=_16 设随机变量 X 的概率
6、密度为 Y 表示对 X 三次独立重复观察中事件 出现的次数，则 P(Y=2)=_17 一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作，那么到 48 小时为止，系统仅更换一个元件的概率为_18 已知随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，记 Z=max(X，Y)，则(X ， Z)的联合分布函数 F(x，z)=_19 设随机变量 X 的概率密度为 则随机变量 X 的二阶原点矩为_20 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 则X 和 Y 的相关系数 =_21 设随机变量 X1，X 2，X n，Y 1，Y
7、2，Y n 相互独立，且 服从参数为 的泊松分布，Y i 服从参数为 的指数分布，i=1 ，2，n，则当 n 充分大时，近似服从_分布，其分布参数为_与_22 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，而 X1，X 2，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 服从_分布，分布参数为_23 假设 X1，X 2，X 16 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，X 为样本均值，S 2 为样本方差，如果 PX+aS=095，则 a=_(t 005 (15)=17531)24 Z 检验、t 检验都是关于_的假设检验当_已知时，用 Z 检验；当_未知时，用 t 检验三、解答题解答应写出文字说明
8、、证明过程或演算步骤。25 已知一本书中每页印刷错误的个数 X 服从泊松分布 p(02)，写出 X 的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1 个的概率26 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为()求 Px2Y；()求 Z=X+Y 的概率密度27 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0yx3 一 y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 fX(x)及在 X=x 条件下，关于 Y 的条件概率密度28 已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 0 一 1 分布，即 Px=0=PX=1= 求Z 的分布；(X ，Z) 的联合分布；并问 X 与 Z 是否独立29 设总体 X 服从几
9、何分布：p(x；p)=p(1 一 p)x 一 1(x=1，2，3，)，如果取得样本观测值为 x1，x 2，x n，求参数 p 的矩估计值与最大似然估计值30 设 x1，x 2，x n 为来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其中 0 已知，20 未知，x 和 S2 分别表示样本均值和样本方差()求参数 2 的最大似然估计；() 计算考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 如图 11 所示，可知 A=(AB)+AB，(AB)(AB)= 所以P(A)=P(A 一 B)+P(AB)，进而
10、 P(AB)=P(A)=P(AB)故 C 选项正确【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 B A，则 AB=B，AB=A当 P(A)0，选项 A 不成立；当P(A)=0 时，条件概率 P(B|A)不存在，选项 C 不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B) ，故选项 B 不成立对于选项 D，根据题设条件 0P(A)P(B)1，可知条件概率 P(A|B)存在，并且 故应选D【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 试验的样本空间有 8 个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反)显然 B 与 C 为对立事件，且依古
11、典型概率公式有即 P(AB)=P(A)P(B)因此A 与 B 独立，类似地 A 与 C 也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此BC 与 A 也独立，用排除法应选 B【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 经观察，即可知由选项 A 能够推得所需条件事实上，若 A 与 BC独立，则有P(ABC)=P(A)P(BC)，而由题设知 P(BC)=P(B)P(C) 从而 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 故选 A【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 F(x)是单调不减且 0F(x)1， F(x)=Pxx，因此 A、B、C 都成立，而选项 D 未
12、必成立，因此选 D【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 根据标准正态分布上 分位数的定义及条件 PXu = 与P|X| X=，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图 23 所示图形 由图(b)，根据标准正态分布的上 Q 分位数的定义，可知 故选项 C 正确【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 Pmin(X，Y) 1=Px1，Y1=PX1PY1 =e 一 e 一(+2) =e 一 2(+1) 故选项 C 正确【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 根据
13、题意，Y=n 一 X，故 XY=一 1应选 A一般来说，两个随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY 满足| XY|1若 Y=aX+b(a，b 为常数)，则当 a0 时，XY=1，当 a0 时， XY=一 1【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 直接根据定义通过计算确定正确选项，已知 D(X)=D(Y)，故选择 D其余选项均不正确，这是因为当 D(X)=D(Y)时必有 Coy(X+Y，XY)=Coy(X，X)一Coy(X，Y)+Cov(Y，X)一 Cov(Y，Y)=D(X)一 D(Y)=0，选项 C 成立，不能推出=1选项 A、B 可推出 Cov(X，Y)=一 Coy(
14、X，X)=一 D(X)或 Cov(X，Y)=一Coy(Y，Y)=一 D(Y)，【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 根据 t 分布典型模式来确定正确选项由于N(0，1)且相互独立，所以，U 与 V 相互独立，根据 t 分布典型模式知，【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查统计量的评价标准因为 S2 是 2 的无偏估计，即E(S2)=2，但未必有 E(S)=，故排除选项 A若 X1，X 2，X n 来自正态总体，则 是 的最大似然估计，又排除选项 B同样，当 X1，X 2，X n 来自正态总体时，S 与 才相互独立，选项 D 也不正
15、确因而应选 C下面证明选项C 正确设 X 表示总体，根据切比雪夫大数定律此时显然有 S 依概率收敛于 ，即 S 是 的相合估计量因而选 C【知识模块】 概率与数理统计二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“取到第 i 箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，则第一个空应为 P(B)，第二个空应为 显然 A1，A 2， A3 是一完备事件组，由题意可得根据全概率公式和贝叶斯公式，可得【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 所以所求的概率为 P=P方程有实根=PA0=P16Y 216(Y+2)0
16、=P16(Y 一 2)(Y+1)0=P(Y2)(Y一 1)=PY2+PY一 1【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 48e 一 48【试题解析】 记事件 A=“到 48 小时为止，系统仅更换一个元件”，用元件的寿命来表示 A如果用 Xi 表示第 i 个元件的寿命，根据题意 Xi 相互独立且有相同的密度函数 即事件 A=“第一个元件在 48 小时之前已经损坏，第一个、第二个元件寿命之和要超过 48 小时”=“0X，48，X 1+X248”，所以题意要求 P(A)，如图 31 所示，P(A)=P0X 148，X 1+
17、X248【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 已知 X 与 Y 独立且有相同分布 F(x)，所以(X ，Z)的联合分布函数F(x，z)=PXx，max(X，Y)z=PXx，Xz ，Yz【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 依题设，即求 E(X2)首先对所给概率密度作变换：对于 x(一x+)，有【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 0【试题解析】 根据题意 X 与 Y 的边缘分布分别为E(X)=06，D(X)=024，E(Y)=0 2， E(Y2)=05，D(Y)=046，E(XY)=一 0 08+020=012，Cov(X，Y)=0 1
18、2060 2=0所以 =0【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 X 1+Y1，X 2+Y2，X n+Yn 相互独立同分布因 E(Xi)=D(Xi)=，E(Y i)=，D(Y I)=2，故 E(Xi+Yi)=2，D(X i+Yi)=+2，则当 n 充分大时，近似服从正态分布，其分布参数【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 F ；(10 ，5)【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X 15 相互独立，且均服从正态分布 N(0， 2)，所以 X12+X22+X102 与 X112+X122+X152，相互独立，由于所以【知识模块】 概率与数理统计23
19、 【正确答案】 一 04383【试题解析】 因此由 可知，4a 是 t(15)分布上 =095 的分位点为 t095 (15)，所以 4a=t095 (15)，由于 t 分布密度函数是关于 x=0 对称的，故一 t=t1 一 a，4a=t 095 (15)=一 t005 (15)=一 17531，解得 a=一 04383【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 均值；方差 2；方差 2【试题解析】 根据 Z 检验、t 检验的概念可知，Z 检验、t 检验都是关于均值的假设检验，当方差 2 为已知时，用 Z 检验；当方差 2 为未知时，用 t 检验【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应
20、写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 由题意可知，Xp(02)，X 的概率函数为 p(x；02)=，x=0，1，2，3，将 x=0，1，2，3代入函数，可得 p(0)08187，p(1)01637，p(2)00164，p(3)00011，p(4)00001，p(5)0X 的概率分布表如下：一页上印刷错误不多于 1 个的概率 p=p(0)+p(1)09824 【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 () 已知 X，Y 的概率密度，所以()先求 Z 的分布函数：(1)当 Z 0 时，F Z(0)=0；(4)当 z2 时，FZ(z)=1故 Z=X+Y 的概率密度为【知识模块】
21、 概率与数理统计27 【正确答案】 如图 34 所示，区域 D 是一个底边平行于 x 轴的等腰梯形，(4)当 x0 或 x3 时，由于 fX(x)=0，因此条件密度 fY|X(y|x)不存在注意在 x0 或 x3 时，f Y|X(y|x)不是零，而是不存在【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z 及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立由题设知【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 已知总体 X 的概率函数的未知参数为 p，且总体 X 的一阶原点矩为【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 () 似然函数【知识模块】 概率与数理统计
