1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以 A 表示事件“ 甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件 为( )（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” 。（B） “甲、乙两种产品均畅销”。（C） “甲种产品滞销” 。（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 。2 对于任意两事件 A 和 B，若 P(AB)=0，则( )（A）（B） AB（C） P(A)P(B)=0。（D）P(A-B)=P(A)。3 将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”； C=“反面最多出现一次 ”，
2、则下列结论中不正确的是( )（A）A 与 B 独立。（B） B 与 C 独立。（C） A 与 C 独立。（D）B C 与 A 独立。4 假设 X 是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y 的分布函数( )（A）是连续函数。（B）是阶梯函数。（C）恰有一个间断点。（D）至少有两个间断点。5 设随机变量 XN(0，1)，其分布函数为 (x)，则随机变量 Y=minX，0的分布函数为( )6 设随机变量 X 与 Y 相互独立，XB(1， )，Y 的概率密度 f(y)=的值为( )7 设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（A）是连
3、续函数。（B）至少有两个间断点。（C）是阶梯函数。（D）恰好有一个间断点。8 对于任意两随机变量 X 和 Y，与命题“X 和 Y 不相关” 不等价的是( )（A）E(XY)=E(X).E(Y)。（B） Cov(X，Y)=0。（C） D(XY)=D(X).D(Y)。（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)。9 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)， ，S 2 分别为容量是 n 的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是 ( )二、填空题10 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_
4、。11 已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P(A)+P(B)=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为_。12 设 X 服从参数为 的泊松分布， PX=1=PX=2，则概率 P0X 23=_。13 设 X 是服从参数为 2 的指数分布的随机变量，则随机变量 Y=X- 的概率密度函数 fY(y)=_。14 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 N(， 2)，则 Pmax(X，Y) -Pmin(X，Y)=_。15 相互独立的随机变量 X1 和 X2 均服从正态分布 ，则 D(X 1-X2)=_。16 设随机变量 X 概率分布为 PX=k= (k=0，1，2)，则 E(X2)=_。
5、17 已知一批零件的长度 X(单位：cm) 服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信区间是_。(196)=0975，(1645)=095)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 P(A)0，P(B)0，将下列四个数：P(A)，P(AB)，P(A B)，P(A)+P(B)，按由小到大的顺序排列，用符号“”联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。19 设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记 X 为至少有一只球的盒子的最小号码。()求 X 的分布律；()若当
6、 X=k(k=1，2，3，4)时，随机变量 Y 在0 ，k上服从均匀分布，求PY2。20 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 (0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立。Y 为中途下车的人数，求：()在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；()二维随机变量 (X， Y)的概率分布。21 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X 取到 x(0x1)时，随机变量 Y 等可能地在(x，1) 上取值。试求：()(X，Y)的联合概率密度；()关于 Y 的边缘概率密度函数；()PX+Y1。22 假设随机变量 X 与 Y 相互独立
7、，如果 X 服从标准正态分布，Y 的概率分布为PY=-1= 。求：( )Z=XY 的概率密度 fZ(z)；()V=X-Y的概率密度 fV(v)。23 将 3 个球随机地放入四个盒子中，以随机变量 X 表示有球的盒子数，求 E(X)，D(X)。24 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 Y2 的数学期望。25 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布。现随机地取 16 只，设它们的寿命是相互独立的。求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率。26 设总体 XN(0， 2)，参数 0 未知，X 1，X
8、 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n 1) ，令估计量 ()求的数学期望；()求方差27 设总体 X 服从参数为 p 的几何分布，如果取得样本观测值为 x1，x 2，x n，求参数 p 的矩估计值与最大似然估计值。考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 A1=甲种产品畅销，A 2=乙种产品滞销，则 A=A1A2。 由德摩根定律得 即 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，故选项 D 正确。 选项 A，B 中的事件与事件 A 都是互斥但非对立(互逆) 的；选项 C 中事件的
9、逆事件显然包含事件 A，故选项A，B，C 都不正确。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)。故应选 D。 不难证明选项A、B、C 不成立。设 XN(0，1)，A=X0，B=X0，则 P(AB)=0，P(A)P(B)0 且 ，从而 A 项和 C 项不成立。若 A 和 B 互为对立事件，则 为对立事件， ，故选项 B 也不成立。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 试验的样本空间有 8 个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反)。显然 B 与 C 为对立事件，且依古典型概率公式
10、有P(BC)= =0， P(BC)=P()=1。由于 P(A)P(B)= ，即P(AB)=P(A)P(B)。因此 A 与 B 独立，类似地 A 与 C 也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此 BC 与 A 也独立，用排除法知，应选 B。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 对任意实数 t，根据概率性质得 0PX+Y=t=PX+Y=t，X=a+PX+Y=t，X=b =PY=t-a，X=a+PY=t-b ，X=b PY=t-a+PY=t-b， 又 Y是连续型随机变量，所以对任意实数 c，有 PY=c=0。故对任意实数t，PX+Y=t=0 X+Y 的分布函数是连续函数，
11、因此选 A。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 F(y)=PYY=Pmin(X ，0)y=1-Pmin(X，0)y=1-PXy,0y 。当 y0 时，PXy，0y=PXy ，F(y)=1-PXy=PXy=(y)。当 y0 时，PXy，0y=0，F(y)=1，故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 XB ，X 取值只能是 X=0 或 X=1，将 X=0 和 X=1 看成完备事件组，用全概率公式有故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 考虑分布函数的连续性问题，需求出其分布函数。因为 X
12、 服从指数分布，则其概率密度为 其中 0 为参数。由分布函数的定义 F Y(y)=PYy=Pmin(X，2)y，当 y0 时，F Y(y)=0；当 y2 时，F Y(y)=1；当 0y 2 时，F Y(y)=PminX，2y=PXy= 故因为 =1-e-2FY(2)=1，所以 y=2 是FY(y)的唯一间断点，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 是“X 和 Y 不相关”的充分必要条件，所以 A 与 B 等价。由 D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是 Cov(X，Y)=0，可见选项 B 与
13、 D 等价。于是，“X 和 Y 不相关”与选项 A，B 和 D 等价。故应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 根据题设知，X iN(0 ， 2)，故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品。事件 B：所取的两件都是不合格品。因为 P(A)=，且 P(A)P(B)，所以【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 09【试题解析】 由题设 P(A)+P(B)=0 5，于是解得 P(AB)=01，所以所求的概率为 =1-P(AB)=1-0.1=0.9。【知识模块
14、】 概率论与数理统计12 【正确答案】 2e -2【试题解析】 已知 PX=k= (k=0，1，)，由于 PX=1=PX=2，即，解得 =2，所以 P0X 23=PX=1=2e -2。【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 XE(2)，所以其概率密度函数为 fX(x)= 令 Y=X-，所以 FY(y)=PYy=所以 fY(y)=FY(y)=【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 0【试题解析】 Pmax(X ， Y)-Pmin(X，Y)=1-Pmax(X，Y)-1-Pmin(X，Y)=-Pmax(X，Y)+Pmin(X，Y)=-PX，Y+PX，Y=-PX+PX
15、 ，Y+PX，Y =-PX+PY。因为 X 与 Y 均服从正态分布 N(， 2)，所以 PX= ，故Pmax(X，Y)-Pmin(X，Y)=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 根据题意随机变量 X1 和 X2 相互独立，且服从正态分布 ，设 Z=X1-X2，则 ZN(0 ，1)，其概率密度函数为 D(X 1-X2)=D(Z )=E(Z 2)-E2(Z) =E(Z 2)-E2Z=D(Z)+E 2(Z)-E2Z，显然，D(Z)=1，E(Z)=0。【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 2【试题解析】 由概率密度的性质 即 PX=k= ， k=0，1，2，为参数
16、为 1 的泊松分布，则有 E(X)=1，D(X)=1，故 E(X2)=D(X)+E2(X)=2。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (3951，4049)【试题解析】 根据题设，1-=095，可见 =0 05。于是 =196。本题n=16， =40，将其代入，即P39514049=095，故 的置信度为 095 的置信区间是(3951 ，4049) 。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 A、AB、AB 之间的所属关系为 故有 P(AB)P(A)P(AB)， 根据概率的加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB
17、)，得 P(AB)P(A)+P(B)， 因此四个数由小到大排列为 P(AB)P(A)P(AB)P(A)+P(B)。 P(AB)=P(A)成立的条件是 AB=A，即 A B。 P(A)=P(AB)成立的条件是A=AB，即 B A。 P(AB)=P(A)+P(B)成立的条件是 P(AB)=0。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 () 随机变量 X 可能取值为 1，2 ，3，4，设事件Ai(i=1，2，3，4)表示第 i 个盒子是空的，则PX=4=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2A 1)P(A3A 1A2) 于是 X 的分布律为 ()由于当 X=k 时随机变量 Y 在0 ，k 上
18、服从均匀分布，故 PY2X=1=PY2X=2=1，PY2 X=3= ，PY2X=4= 由全概率公式即得【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 ()PY=mX=n= ，0mn，n=0，1，2，。( )PX=n，Y=m=PX=nPY=mX=n= ，0mn，n=0，1，2，。【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 () 根据题设 X 在(0，1) 上服从均匀分布，因此其概率密度函数为 而变量 Y，在 X=x 的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度()根据求得的联合概率密度，不难求出关于 Y 的边缘概率密度()如图
19、 3-3-4 所示【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 () 根据题意 PY=-1= ，PY=1= ，X N(0，1)且 X 与 Y 相互独立，所以 Z=XY 的分布函数为 FZ(z)=PXYz=PY=-1PXYzY=-1+PY=1PXYzY=I =PY=-1P-XzY=-1+PY=1PXzY=1 =PY=-1PX-z+PY=1PXz即 Z=XY 服从标准正态分布，所以其概率密度为 ()由于 V=X-Y只取非负值，因此当 v0 时，其分布函数 FV(v)=PX-Yv=0；当 v0 时，F V(v)=P-vX-Yv =PY=-1P-vX-YvY=-1+PY=1P-vX-Yv Y=1综
20、上计算可得， 由于 FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以 V 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 X 可能的取值是 1，2，3，其中【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 因为 ，根据题意，Y 服从二项分布 ，则有 E(Y2)=D(Y)+E2(Y)=npg+(np)2=【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 根据独立同分布中心极限定理，假设 X 表示电器元件的寿命，则X 的概率密度为 随机取出 16 只元件，其寿命分别用X1，X 2，X 16 表示，且它们相互独立，同服从均值为 100 的指数分布，则 16只元件的寿命的总和近似
21、服从正态分布。设寿命总和为 Y= ，其中 E(Xi)=100， D(Xi)=1002，由此得 E(Y)= =16100=1600，D(Y)= =161002，由独立同分布中心极限定理可知，Y 近似服从正态分布N(1600，16100 2)，于是【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () 因为 X1，X 2，X n 相互独立且与总体 X 同分布，所以()根据抽样分布有关结论知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2(n)，则 D(Y)=2n。 所以【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 因为总体 X 服从参数为 p 的几何分布，所以总体 X 的一阶原点矩为 v1(x)=E(X)= 用样本一阶原点矩的观测值 作为 v1(X)的估计值，则可得参数 p 的估计值为 所以参数 p 的矩估计值为 参数 p 的似然函数为 两边同时取对数，并对参数p 求导，令导函数取值为 0，即 解得 p 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计
