1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是 ( )（A） 不相容。（B） 相容。（C） P(AB)=P(A)P(B)。（D）P(A-B)=P(A)。2 设 A 和 B 为任意两不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有( )3 设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C) 1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )4 设函数 F(x)= ，则 F(x)( )（A）不是任何随机变量的分布函数。（B）是某连续型随机变量的分布函
2、数。（C）是某随机变量的分布函数。（D）无法确定。5 设相互独立的两随机变量 X 与 Y 均服从分布 B(1， )，则 PX2Y=( )6 设随机变量 X1 与 X2 相互独立，其分布函数分别为则 X1+X2 的分布函数 F(x)=( )7 设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y ，则随机变量 U 与 V 必然( )（A）不独立。（B）独立。（C）相关系数不为零。（D）相关系数为零。8 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2，则可以作出服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是( )9 设 为未知参数 的无偏一
3、致估计，且 的( )（A）无偏一致估计。（B）无偏非一致估计。（C）非无偏一致估计。（D）非无偏非一致估计。二、填空题10 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=_。11 已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= ，设A=max(X，Y)0，B=max(X，Y) 0，min(X，Y) 0 ，C=max(X，Y)0，min(X，Y)0 ，则 P(A)=_，P(B)=_，P(C)=_。12 设随机变量 X 的概率分布 P(X=k)= ，k=1，2，其中 a 为常数。X的分布函数为 F(x
4、)，已知 F(b)= ，则 b 的取值应为_。13 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 PX =_。14 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，随机变量函数 Y=1-e-X 的分布函数为FY(y)，则 =_。15 设(X，Y)N(，； 2， 2；0) ，则 PXY=_。16 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ，-x+ ，则(X 2)=_。17 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= (-x+)，则随机变量 X 的二阶原点矩为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设事件 A 与 B 互不相容，P(A)=0 4，P(B)=0 3，求19 设离散型随机
5、变量 X 服从参数 p(0p1)的 0-1 分布。()求 X 的分布函数 F(x)；()令 Y=F(X)，求 Y 的分布律及分布函数 G(y)。20 袋中有 1 个红球，2 个黑球和 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。()求PX=1Z=0 ；()求二维随机变量 (X，Y) 的概率分布。21 设以 X 表示某一推销员一天花费在汽油上的款项 (以美元计)，以 Y 表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知 X 和 Y 的联合概率密度为()求边缘概率密度 fX(x)fY(y)；()求条件概率密度 fYX (yx)，f XY
6、 (x)；()求 x=12 时 Y 的条件概率密度；()求条件概率 PY8 X=12。22 设总体 X 的概率密度为 其中 0 是未知参数。从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，记 =minX1，X 2，X n。()求总体 X 的分布函数 F(x)；()求统计量 的分布函数 。23 设 和 是独立同分布的两个随机变量。已知 的分布律为 P=i= ，i=1，2， 3，又设 X=max，Y=min，。 ()写出二维随机变量(X， Y)的分布律； ()求 E(X)。24 设 X1，X 2，X n(n2)为取自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi=Xi- ，i=1，
7、2，n。求：()Y i 的方差 D(Yi)，i=1 ，2，n；()Y 1与 Yn 的协方差 Cov(Y1，Y n)。25 设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为 01kg，问 5000 只零件的总质量超过 2510kg 的概率是多少?26 设总体 X 的概率密度为 其中 -1 是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量。27 设总体 X 的概率密度为 其中 0 是未知参数。从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，记 =minX1，X 2，X
8、n。()求总体 X 的分布函数 F(x)；()求统计量 的分布函数 ；()如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性。考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB= ，所以 A-B=A-AB=A- =A，从而 P(A-B)=P(A)，故选项 D 正确。 对于选项 A、B 可举反例排除，如取 =1，2，3，A=1，B=2，则 AB= ，故选项 A 不正确；如果取A=1，B=2，3 ，显然 AB= 不相容，选项 B 也不正确。 对于选项 C，由于 AB= ，所以 P(AB)=0，
9、但由题设知 P(A)P(B)0，因此选项 C 不正确。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为故应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查多个随机事件间的独立性的关系。由 A、B 、C 相互独立可知，事件 A、B 的和、差、积(或其逆)与事件 C 或 必相互独立，因此选项A、C、D 均被排除，选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由函数 F(x)的表达式可知，F(x) 是单调非减的； F(x)是有界的；F(x)是右连续的(主要在 x=0 和 x=2 这两点处)，即 F(x)满足分布函数
10、的三条基本性质，所以 F(x)一定是某个随机变量的分布函数。此外，因连续型随机变量的分布函数必为连续函数，而 F(x)在 x=2 处不连续，所以 F(x)不是连续型随机变量的分布函数，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 PX2Y=PX=0+PX=1，Y=1= +PX=1PY=1故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意知 X1 为离散型随机变量，其分布律为 F(x)=PX1+X2x =PX1=0PX1+X2xX 1=0+PX1=1PX1+X2xX 1=1故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计
11、7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov(U，V)=E(UV)-E(U).E(V) =E(X 2-Y2)-E(X-Y).E(X+Y)=E(X2)-E(Y2)-E2(X)+E2(Y) =D(X)-D(Y)=0。则 所以 U 与 V的相关系数为零，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，故各选项的第二项与 S2 独立，根据 2 分布可加性，仅需确定服从 2(1)分布的随机变量。因为。故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 根据无偏估计和一致估计的概念可得的非无偏一致估计。【知识模块】 概率论与数理统
12、计二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 由题设，有 由于 A 和 B 相互独立，所以 A 与 与 B 也相互独立，于是由 ，有即 P(A)1-P(B)=1-P(A)P(B)，可得 P(A)=P(B)。从而解得 P(A)=【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率。由于 A=max(X，Y)0=X，Y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，所以 P(A)=PX0+PY0-Px0，Y0= 又max(X，Y) min(X，Y)0，则 B=max(X ，Y) 0，min(X ，Y)0=max(X，Y)0=
13、。从而 P(B)= 根据全集分解式知：A=max(X，Y)0=max(X，Y)0，min(X ，Y)0+max(X，Y)0，min(X，Y)0=C+X0，Y0 ，故 P(C)=P(A)-PX0，Y0=【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 3b4【试题解析】 首先确定 a，由解得 a=1。又当 ixi+1 时，F(x)=，故 i=3，3b4。【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由题设，可知 D(X)= ，于是【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与
14、数理统计16 【正确答案】 20【试题解析】 由于 D(X2)=E(X4)-E2(X2)。所以 D(X2)=4!-(2!)2=24-4=20。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，即求 E(X2)。首先对所给概率密度作变换：对于 x(-x+)，有 由此可知随机变量 X服从正态分布，从而 E(X)= 。于是 E(X2)=D(X)+E2X=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 因 A 与 B 互不相容，所以 AB= ，故 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 ()F(x)=PXx= ()Y
15、=F(X)=PY=0=PX0=0， PY=1-P=P0X1=PX=0=1-P， PY=1=PX1=PX=1=p，于是 y 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 () 在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球。所以()X，Y 取值范围为 0，1，2，故【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 () 如图 3-3-5 所示()(1)当 10x20 时， fX(x)0，条件概率密度 fYX (yx)存在。(2) 当 10x20时，有 (3)当 5y10 或10y20，f Y(y)
16、0，f XY (xy)存在。当 5y10 时，(4)当10y20 时，fXY (xy)是单个自变量 x 的函数，y 是一个固定值。()当 x=12 时 Y 的条件概率密度为()PY8 X=12=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 ()X ， Y 可能的取值均为 1，2，3。PX=1，Y=1=P=1，=1=P=1P=1= 同理 PX=2，Y=2=PX=3，Y=3= PX=2，Y=1=P=2，=1+P=1 ，=2=2.P=1.P=2= 同理PX=3，Y=1=PX=3 ，Y=2= 由题意可知 XY始终成立，即XY是不可能事件，故 PX=
17、1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2 ，Y=3=0。(X，Y) 的联合分布律如下表：【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 根据题设，知 X1，X 2，X n(n2)相互独立，且 E(Xi)=0，D(X i)=1(i=1，2，n)， ()因为已知X1，X 2，X n(n2) 相互独立，【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 根据独立同分布中心极限定理，设 Xi 表示第 i 只零件的质量(i=1，2，5000)，且 E(Xi)=05，0(X i)=012。设总质量为 Y= ，则有E(Y)=500005=2500，D(Y)=500001 2=50，根据独立同分布中心极限定理可知Y 近似服从正态分布 N(2500，50)，而 近似服从标准正态分布 N(0，1)所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 总体 X 的数学期望是设x1，x 2，x 3 是相对于样本 X1，X 2，X n 的一组观测值，则似然函数为当 0x i1 时，L 0且 lnL= ，解得 的极大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()=PminX1，X 2，X nx=1-PminX1，X 2，X nx=1-PX1x，X 2x， Xnx=1-1-F(x) n所以 作为 的估计量不具有无偏性。【知识模块】 概率论与数理统计
