1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 随机事件 A 与 B 互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是( )（A）AB=。（B）（C） A=B。（D）2 设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则( )（A）P(C)P(A)+P(B)-1 。（B） P(C)P(A)+P(B)-1。（C） P(C)=P(AB)。（D）P(C)=P(A B)。3 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，则事件( )
2、（A）A 1，A 2，A 3 相互独立。（B） A2，A 3，A 4 相互独立。（C） A1，A 2，A 3 两两独立。（D）A 2，A 3，A 4 两两独立。4 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随 的增大，概率 PX- 应该( )（A）单调增大。（B）单调减少。（C）保持不变。（D）增减不定。5 设随机变量 X 和 Y 独立同分布，已知 PX=k=p(1-p)k-1，k=1 ，2， ，0p1，则 PXY 的值为( )6 已知随机变量 X 与 Y 均服从 0-1 分布，且 E(XY)= ，则 PX+Y1=( )7 假设二维随机变量(X 1，X 2)的协方差矩阵为= ，其中 ij=
3、Cov(Xi，X j)(i，j=1，2)，如果 X1 与 X2 的相关系数为 ，那么行列式 =0 的充分必要条件是( )（A）=0。（B） =（C） =（D）=1。8 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 D(Xi)=1，i=1，2， ，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( )9 设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n(n2)为取自总体的简单随机样本，则对应的统计量 有( )（A）E(T 1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)。（B） E(T1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)。（C） E(T1)E(T 2)，D
4、(T 1)D(T 2)。（D）E(T 1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)。10 设 是取自总体 X 中的简单随机样本 X1，X 2，X n 的样本均值，则 是 的矩估计，如果( )（A）XN(， 2)。（B） X 服从参数为 的指数分布。（C） PX=m=(1-)m-1，m=1 ，2，。（D）X 服从0，上均匀分布。二、填空题11 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为_。12 每箱产品有 10 件，其中次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为
5、2，一件次品被误判为正品的概率为 10。则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p=_。13 设离散型随机变量 X 的分布律为 PX=i=pi+1，i=0，1，则 p=_。14 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=E(X2)=_。15 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 则PX+Y1=_。16 已知随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且都服从标准正态分布，Y1=X1，Y 2=X2 ，则 Y1-Y2 服从_分布，参数为_。17 将 10 双不同的鞋随意分成 10 堆，每堆 2 只，以 X 表示 10 堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 E(X)=_。18 设二维随
6、机变量(X，Y)服从 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_。19 设总体 X 的概率密度函数为 f(x)= (-x+)，X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，其样本方差为 S2，则 E(S2)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设有两箱同类零件，第一箱内装 5 件，其中 1 件是一等品，第二箱内装 5 件，其中 2 件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取出 2 件零件。求：()先取出的零件是一等品的概率；()在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率。21 已知连续型随机变量 X 的概率密度
7、为 又知 E(X)=0，求 a，b 的值，并写出分布函数 F(x)。22 已知随机变量 X 的概率密度 ()求分布函数 F(z)。()若令 y=F(X)，求 Y 的分布函数 FY(y)。23 设随机变量 Yi(i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数 p 的 0-1 分布，令求随机变量(X 1，X 2)的联合分布。24 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求：()(X，Y) 的边缘概率密度 fX(x)fY(y)； ()Z=2X-Y 的概率密度 fZ(z)。25 设 A，B 为随机事件，且 ()求二维随机变量(X，Y) 的概率分布；() 求 X 和 Y 的相关系数 XY。26 设某种元件的使用
8、寿命 X 的概率密度为 其中 0 为未知参数。又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本观测值，求参数 的最大似然估计值。27 设 X1，X 2，X n 是取自总体为 N(，) 的简单随机样本。记()证明 T 是 2 的无偏估计量；()当 =0，=1 时，求 D(T)。考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 AB= ，应选 B。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件可知 C AB，于是根据概率的性质、加法公式，有 P(C)P(AB)=P(A
9、)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)-1。 故 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 显然 P(A1)=P(A2)= ，且 A1 与 A2 相互独立。故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 若 XN(， 2)，则 因此该概率值与 无关，故选项C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性得知 PXY=PXY= 1-PX=Y。故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X 与 Y 均服从 0-1 分布，所以可以列出(X，Y) 的联合
10、分布如下：又已知 E(XY)= ，从而 PX+Y1=P11+P12+P21=1-P22= ，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 选择D。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知 E(Xi)=0，i=1，2，n。记。根据切比雪夫不等式，有故选C。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 X 服从参数为 (0)的泊松分布，那么 E(Xi)=，D(X i)=，i=1，2，n， 则所以 E(T1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 A
11、【试题解析】 若 XN(， 2)，则 E(X)=， 的矩估计为 ，应选 A。对于选项 B，X 服从参数为 的指数分布，则 E(X)= 对于选项C，X 服从参数为 的几何分布， E(X)=【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 这是一个几何概型，设 x，y 为所取的两个数，则样本空间=(x，y)0x，y1，记 A=(x，y) (x，y)，x-y 。所以 P(A)=，其中 SA， S分别表示 A 与 的面积。【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 0892【试题解析】 设事件 A=“一件产品能够通过验收”，则 P(A)=p。事件 B=“任取一件产品为正品
12、”， =“任取一件产品为次品”，则 A=BA ，根据题设可知 P(AB)=1-0 02=0 98， =01， 所以 P=P(A)=P(AB)+ =P(B)P(AB)+ =098P(B)+1-P(B)0 1 =0 1+088P(B)。 显然 P(B)与该箱产品中有几件次品有关，利用全概率公式计算 P(B)。设 Ci=“每箱产品含 i件次品”(i=0，1，2)，则 C0，C 1，C 2 是一完备事件组，P(C i)= ，故B=C0BC1BC2B，且 P(B)=P(C0)P(BC 0)+P(C1)P(BC 1)+P(C2)P(BC 2)故 p=01+0880 9=0892。【知识模块】 概率论与数理
13、统计13 【正确答案】 【试题解析】 由于 PX=0+PX=1=p+p2=1，所以 p2+p-1=0，解得 P=【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1。从而由 D(X)=E(X2)-E2(X)得 E(X2)=2。故 PX=E(X2)=PX=2=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，求满足一定条件的概率 Pg(X，Y)z 0，一般可转化为二重积分 Pg(X，Y)z 0= 进行计算。根据题设可得，如图 3-3-1 所示，【知识模
14、块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 正态；【试题解析】 Y 1-Y2=X1-X2+ ，所以 Y1-Y2 为多个相互独立正态变量和，且服从正态分布。又 E(Y1-Y2)=0，D(Y 1-Y2)=故 Y1-Y2【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 设 Xi= 则将第 i 堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的 19 只中唯一的一只才有可能，故 PXi=1= ，也就有【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 3+2【试题解析】 由于 =0，根据二维正态分布的性质可知随机变量 X，X 独立，所以 E(XY 2)=E(X).E(Y2
15、)。 已知(X ，Y)服从 N(，； 2， 2；0)，则 E(X)=，E(Y 2)=D(Y)+E2(Y)=2+2，所以 E(XY 2)=(2+2)=3+2。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 2【试题解析】 显然 E(S2)=D(X)，而 D(X)=EX-E(X)2。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设 Hi 表示“ 被挑出的是第 i 箱”，i=1，2，则 H1，H 2 为完备事件组。A 表示“先取的一件是一等品” ，B 表示“ 在同一箱中取的第二件是一等品”。 ()由全概率公式得： P(A)=P(H 1)P(AH
16、 1)+P(H2)P(AH 2) ()P(BA)表示的是“ 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率” 。由条件概率和全概率公式可得【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 解方程组【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 直接根据 F(x)=PXx，F Y(y)=PF(X)y求解。()令Y=F(X)，则由 0F(x)1及 F(x)为 x 的单调不减连续函数知 (如图 3-2-6 所示)，当y0 时，F Y(y)=0；当 y1时，F Y(y)=1；当 0y 时，F Y(y)=PF(X)y =PF(X)0+P0F(X)y【知识模块】 概率论与数理统计23
17、【正确答案】 根据题意随机变量(X 1，X 2)是离散型的，它的全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0) 。题目中是要计算出取各相应值的概率。注意事件Y1，Y 2，Y 3 相互独立且服从同参数 P 的 0-1 分布，所以它们的和 Y1+Y2+Y3 Y，服从二项分布 B(3，p)。于是 PX 1=0，X 2=0=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y32=PY=0+PY=3=(1-p3)+p3， PX 1=0，X 2=1=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y3=2=PY=2=3p2(1-p)， PX 1=1，X 2=0=PY1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y32=PY=1=3p(1-
18、p)2， PX 1=1，X 2=1=PY1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y3=2= =0。 计算可得(X1，X 2)的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 已知(X，Y) 的概率密度，所以关于 X 的边缘概率密度所以，关于 Y 的边缘概率密度(11)设FZ(z)=PZz=P2X-Yz，(1)当 z0 时，F Z(z)=P2X-Yz=0；(2) 当 0z2 时，FZ(z)=P2X-YZ= (3)当 z2时，F Z(z)=P2X-Yz=1。所以 FZ(z)的即分布函数为：F Z(z)= 故所求的概率密度为：f Z(z)=【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答
19、案】 () 因为 P(AB)=P(A)P(BA)= ，所以 PX=1，Y=1=P(AB)= PX=1，Y=0= PX=0，Y=1=P(AB)=P(B)-P(AB)=PX=0，Y=0= =1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)= (或 PX=0，Y=0= 故(X，Y) 的概率分布为()X，Y 的概率分布分别为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 似然函数为当xi(i=1，2，n)时，L() 0，取对数得由于 必须满足xi(i=1，2，1)，所以当 取 x1，x 2，x n 中的最小值时，L()取最大值，所以 的最大似然估计值为 =minx1，x 2，x n。【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () 首先 T 是统计量。其次对一切 ， 成立。所以 T 是 2 的无偏估计量。【知识模块】 概率论与数理统计
