1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电。以 E 表示事件“电炉断电”，而 T1T2T3T4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=( )（A）T 1t0。（B） T2t0。（C） T3t0。（D）T 4t0。2 设 A1，AV 和 B 是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1A2)B=P(A 1B)+P(A2B)，则 ( )（A）P(A 1A2)=P(A1)+P(A2
2、)。（B） P(A1A2)=P(A1B)+P(A 2B)。（C） P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)。（D）P(A 1A2)3 某射手的命中率为 p(0p1)，该射手连续射击 n 次才命中后次(kn)的概率为( )4 设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度。（B） F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数。（C） F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数。（D）f 1(x)f2(x)必为某一随机变量
3、的概率密度。5 设随机变量 X 服从正态分布 N(， )，Y 服从正态分布 N(， )，且 PX-11PY- 21。则必有( )（A） 1 2。（B） 1 2。（C） 1 2。（D） 1 2。6 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，边缘分布为 FX(x)和 FY(y)，则概率PXx，Yy等于( )（A）1-F(x，y)。（B） 1-FX(x)-FY(y)。（C） F(x，y)-F X(x)-FY(y)+1。（D）F X(x)+FY(y)+F(x，y)-1。7 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( )（A）PX+Y0=（B） P
4、X+Y1=（C） PX-Y0=（D）PX-Y1=8 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=144，则二项分布的参数 n，p 的值为( )（A）n=4，p=0 6。（B） n=6，p=04。（C） n=8，p=03。（D）n=24，p=0 1。9 已知随机变量 X 服从标准正态分布，Y=2X 2+X+3，则 X 与 Y( )（A）不相关且相互独立。（B）不相关且相互不独立。（C）相关且相互独立。（D）相关且相互不独立。10 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，依概率收敛于其数学期望，只要X n：n1( )（A）有相同的期望。（B）有相同的方
5、差。（C）有相同的分布。（D）服从同参数 p 的 0-1 分布。11 设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 是分别取自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从 t(n)分布，则 等于( )12 总体均值 置信度为 95的置信区间为 ，其含义是( )（A）总体均值 的真值以 95的概率落入区间（B）样本均值 以 95的概率落人区间（C）区间 含总体均值 的真值的概率为 95。（D）区间 含样本均值 的概率为 95。13 下列关于总体 X 的统计假设 H0 属于简单假设的是( )（A）X 服从正态分布，H 0：E(
6、X)=0。（B） X 服从指数分布，H 0：E(X)1。（C） X 服从二项分布，H 0：D(X)=5。（D）X 服从泊松分布，H 0：D(X)=3。二、填空题14 10 个同规格的零件中混人 3 个次品，现在进行逐个检查，则查完 5 个零件时正好查出 3 个次品的概率为_。15 设每次射击命中概率为 03，连续进行 4 次射击，如果 4 次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中 1 次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2 次以上，则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的概率 p=_。16 设随机变量 X 的密度函数 f(x)= 且 P1X 2=P2X3，则常数 A=_；B
7、=_；概率 P2X 4=_；分布函数 F(x)=_。17 若 f(x)= 为随机变量 X 的概率密度函数，则 a=_。18 设随机变量 X 和 y 的联合分布函数为则随机变量 X 的分布函数 F(x)为_。19 已知随机变量 X 服从(1，2)上的均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY)=_。20 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，其中 X1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2服从正态分布 N(0，2 2)， X3 服从参数为 3 的泊松分布，D(X 1-2X2+3X3)=_。21 设 X1，X 2，X 3，X 4 是取自正态总体 N(0，2 2)
8、的简单随机样本， Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4XV)4，则当 a=_，b=_ 时，统计量服从 2 分布，自由度为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)= 求：()A 和 B；( )X 的概率密度 f(x)。23 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为试求：()X 与 Y 的边缘分布律，并判断 X 与 Y 是否相互独立；()PX=Y。24 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为求：()系数 A；()(X ，Y)的联合分布函数；()边缘概率密度； ()(X，Y)落在区域 R：x0，y0，2x+3y 6 内的概率。
9、25 设随机变量 X 的概率密度为 令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y) 的分布函数。() 求 Y 的概率密度 fF(y)；()26 设随机变量 X 和 Y 的概率分布分别为P(X2=Y2)=1。()求二维随机变量(X，Y) 的概率分布；() 求 Z=XY 的概率分布；()求 X 与 Y 的相关系数 XY。27 设总体 X 的概率密度为 其中参数 (0)未知，X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。 ()求参数 的矩估计量； ()求参数 的最大似然估计量。考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
10、要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 T1T2T3T4，所以 T 1t0 T2t0 T3t0 T4t0。 因此，当有两个温控器显示温度大于等于 t0 时，E 发生，即当T 3t0和T 4t0发生时，E发生。又因为T 3t0发生时，T 4t0必发生，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知，P(A 1A2B)=0，但是这不能保证 P(A1A2)=0 和 P(A1A2)=0，故选项 A 和 D 不成立。由于 P(A1B)+P(A 2B)=P(A 1A2)B)未必等于P(A1+A2)，因此 B 一般也不成立。由 P(B)0 及 P(A1 A2)B)=
11、P(A 1B)+P(A2B)，可见选项 C 成立：【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 n 次射击视为 n 次重复独立试验，每次射击命中概率为 p，没有命中的概率为 1-p，设事件 A=“射击 n 次命中 k 次”=“ 前 n-1 次有 k-1 次击中，且第 n次也击中”，则 应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，有 F 1(x)F2(x)=PX1xPX2x =PX1x，X 2x(因 X1与 X2 相互独立)。 令 X=maxX1，X 2，并考虑到 PX 1x，X 2x=Pmax(X1，X 2)x， 可知， F1(x)F
12、2(x)必为随机变量 X 的分布函数，即 F X(x)=PXx。 故选项 B正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 根据题干可知即 。其中 (x)是服从标准正态分布的分布函数。因为 (x)是单调不减函数，所以 ，即 1 2。故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 记事件 A=Xx，B=Yy ，则 PXx，Y y= =1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-PXx-PYy+PXx，Yy,=1-F X(x)-FY(y)+F(x，y)，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析
13、】 由于 XN(0，1)与 YN(1 ，1)以及 X 与 Y 相互独立，得 X+YN(1，2)，X-Y N(-1，2)。 因为，若 ZN(， 2)，则必有比较四个选项，只有选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XB(n，P)，所以 E(X)=np，D(x)=np(1-P) ，将已知条件代入，可得 解此方程组，得 n=6，p=04，故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 通过计算 Cov(X，Y)来判定。 由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0， D(X)=E(X2)=1，E(X 3)=0，E(XY)=E
14、(X)(2X 2+X+3)=2E(X3)+E(X2)+3E(X)=1， Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=10 X 与 Y 相关 X 与 Y 不独立，应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1，X 2，X n，相互独立的条件之外，还要求 X1，X 2，X n，同分布与期望存在。只有选项 D 同时满足后面的两个条件，应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 根据 t 分布典型模式来确定正确选项。由于N(0，1)且相互独立，所以 V= 2(n)，U 与 V 相互独立，根据 t 分
15、布典型模式知，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 C【试题解析】 根据置信区间的概念，应选 C。 均值 是一个客观存在的数，说“以 95的概率落入区间 ”是不妥的，所以不选 A，而 B、D 均与 无关，无法由它确定 的置信区间。【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A、B、C 的假设都不能完全确定总体的分布，所以是复合假设，而选项 D 的假设可以完全确定总体分布，因而是简单假设，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 记 A=“查完 5 个零件正好查出 3 个次品”，现要求的是 P(A)的值。
16、事实上，事件 A 由两个事件合成：B=“前 4 次检查，查出 2 个次品”和 C=“第 5 次检查，查出的零件为次品”，即 A=BC，由乘法公式 P(A)=P(BC)=P(B)P(CB)，事件 B 是前 4 次检查中有 2 个正品 2 个次品所组合，所以 P(B)= 已知事件 B 发生的条件下，即已检查了 2 正 2 次，剩下 6 个零件，其中 5 正 1 次，再要抽检一个恰是次品的概率 P(CB)=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 04071【试题解析】 设事件 Ak=“射击 4 次命中 k 次”，k=0，1，2，3，4，B=“ 目标被摧毁”，则根据 4 重伯努利试验概型公式
17、，可知 P(Ai)= ，i=0 ，1， 2，3，4，则 P(A0)=07 4=02401，P(A 1)=0 4116，P(A 2)=02646， P(A 3)=0075 6，P(A 4)=00081。由于A0，A 1，A 2，A 3，A 4 是一完备事件组，且根据题意得 P(BA 0)=0，P(BA 1)=0 4， P(BA 2)=06，P(BA 3)=P(BA 4)=1。应用全概率公式，有=P(A1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)+P(A3)+P(A4)=0 4071。【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 由于 1= ，又 P1X2=P2X3，【知识模块】
18、 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 依题意有【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据题意分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数，所以 F(x)=F(x，+)=F(x，1) ，因此【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 1【试题解析】 根据题设知 fYX (yx)= 所以(X，Y) 的联合密度函数【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 46【试题解析】 根据题设可知，D(X 1)= =3，D(X 2)=22=4，D(X 3)=3，于是D(X1-2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+44+93=46。
19、【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 根据题意 XiN(0 ，2 2)且相互独立，所以 X1-2X2N(0，20)，3X 3-4X4N(0 ，100)，故 且它们相互独立，根据 2 分布典型模式及性质知 所以a= ，Y 2(2)，所以自由度为 2。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 () 因 X 是连续型随机变量，所以分布函数 F(x)连续，故 F(-a-0)=F(-a)，且 F(a+0)=F(a)，即 ()【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 () 因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中
20、诸元素之和，所以假如随机变量 X 与 Y 相互独立，就应该对任意的 i，j 都有 pij=pi.p.j，而本题中p14=0，但是 p1.2 与 p.4 均不为零，所以 p14p1.p.4 故 X 与 Y 不是相互独立的。()PX=Y=【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 根据分布函数的性质()将A=6 代入得(X，Y)的联合概率密度为 所以当x0，y0 时，而当 x 和 y取其它值时，F(x，y)=0。 综上所述，可得联合概率分布函数为()当 x0 时，X 的边缘密度为当 x0 时，f X(x)=0。因此 X 的边缘概率密度为同理可得 Y 的边缘概率密度函数为()根据公式 已
21、知R：x 0，y0，2x+3y 6，将其转化为二次积分，可表示为7e-60983。【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 () 设 Y 的分布函数为 FY(y)，即 FY(y)：P(Yy)=P(X 2y)，则(1)当 y0 时，F Y(y)=0；(2)当 0y1 时，F Y(y)=P(X2y)=(3)当 1y4 时，F Y(y)=P(X2y)=P(-1X )(4)当 y4，F Y(y)=1。所以根据题设的 X 概率密度，上式=【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () 由于 P(X2=Y2)=1，因此 P(X2Y2)=0。故 P(X=0，Y=1)=0，可知 P(X=1，Y
22、=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= 再由 P(X=1，Y=0)=0 可知 P(X=0，Y=0)=P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(Y=0)= 同理，由 P(X=0，Y=-1)=0 可知 P(X=1，Y=-1)=P(X=1，Y=-1)+P(X=0，Y=-1)=P(Y=-1)= 这样，就可以写出(X ， Y)的联合分布如下：()Z=XY 可能的取值有-1 ，0，1。其中 P(Z=-1)=P(X=1，Y=-1)= ，P(Z=1)=P(X=1 ，Y=1)= 则有P(Z=0)= 因此，Z=XY 的分布律为()E(X)= ，E(Y)=0，E(XY)=0，Cov(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)=0，所以【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()E(X)=()构造似然函数【知识模块】 概率论与数理统计
