1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 为两个随机事件，且 B A，则下列式子正确的是( )（A）P(A+B)=P(A)。（B） P(AB)=P(A)。（C） P(BA)=P(B)。（D）P(B-A)=P(B)-P(A)。2 设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有( )（A）C 与 A-B 独立。（B） C 与 A-B 不独立。（C） AC 与 B 独立。（D）AC 与 B 不独立。3 在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(BA)+ 中，要求事件
2、A 与 B必须满足的条件是( )（A）0P(A)1，B 为任意随机事件。（B） A 与 B 为互不相容事件。（C） A 与 B 为对立事件。（D）A 与 B 为相互独立事件。4 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则概率 PX +a(a 0)的值( )（A）与 a 无关，随 的增大而增大。（B）与 a 无关，随 的增大而减小。（C）与 无关，随 a 的增大而增大。（D）与 无关，随 a 的增大而减小。5 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，其分布函数为 F(x)，则有( )（A）F(g+x)+F(-x)=1。（B） F(x+)+F(x-)=1。（C） F(+x)+F(-x)=0
3、。（D）F(x+)+F(x-)=0。6 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关 fX(x)，f Y(y)分别表示X，Y 的概率密度，则在 Y=y 条件下，X 的条件概率密度 fXY (xy)为( )（A）f X(x)。（B） fY(y)。（C） fX(x)fY(y)。（D）7 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（A）X+Y 一定服从正态分布。（B） X 和 Y 不相关与独立等价。（C） (X，Y)一定服从正态分布。（D）(X，-Y)未必服从正态分布。8 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差 20，令 Y=则( )9 已知随机变量 X
4、 与 Y 的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则 Y 与 Z 的相关系数仍为 的充要条件是( )（A）a=1 ，b 为任意实数。（B） a0，b 为任意实数。（C） a0，b 为任意实数。（D）a0 ，b 为任意实数。10 设 X1，X 2，X n 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，记则 E(T)=( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）4。二、填空题11 甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p 与 05，则p=_时，甲、乙胜负概率相同。12 设随机变量 X 服从几何分布 G()，其中 01
5、，若 PX2= ，则 PX=3=_。13 设随机变量 XN(， 2)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 05，则=_。14 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且都服从 p= 的 0-1 分布，则随机变量Z=maxX，Y的分布律为_。15 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X ， Y)作 4 次独立重复观察，观察值 X+Y 不超过 1 出现的次数为 Z，则 E(Z2)=_。16 设随机变量 X 和 Y 均服从 ，且 D(X+Y)=1，则 X 与 Y 的相关系数=_。17 D(x)=2，则根据切比雪夫不等式有 PX-E(X
6、)2_ 。18 假设总体 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 都服从_分布，且其分布参数分别为_和_。19 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度函数为 f(x)=，- x+，则 的最大似然估计量 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 袋中有 a 个白球与 b 个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。21 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 。设 X 为途中遇到红
7、灯的次数，求随机变量 X的分布律、分布函数和数学期望。22 已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 0-1 分布，即 PX=0=PX=1=求 Z 的分布；(X， Z)的联合分布；并问 X 与 Z 是否独立。23 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，-1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布。()求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)；()求边缘密度函数 fX(x)，f Y(y)及条件密度函数 fX(xy)，f YX (yx) ；并问 X 与 Y 是否独立；()计算概率 PX0，Y 024 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布。首先开动
8、其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度。25 假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)0x2，0yl上服从均匀分布，记 ()求 U 和 V 的联合分布；()求 U 和 V 的相关系数 。26 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N(， 2)与 N(，2 2)，其中 是未知参数且 0，设 Z=X-Y。 ()求 Z 的概率密度 f(z； 2)； ()设Z1，Z 2，Z n 为取自总体 Z 的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量27 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成
9、绩为 665 分，标准差为 15 分。问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并给出检验过程。 附：t 分布表 Pt(n)tp(n)=p考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 如图 3-1-1 所示，可见 A+B=AB=A， AB=AB=B， B-A= ， 于是 P(A+B)=P(A)，P(AB)=P(B)，P(B-A)= =0， 故选项 A 正确。C 选项只有当 P(A)=1 时才成立。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题
10、解析】 对于选项 A、B： P(C(A-B)= =P(AC)-P(ABC)=P(A)P(C)-P(ABC)， P(C)P(A-B)=P(C)P(A)-P(AB)=P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C)。 尽管A，B，C 两两独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故选项 A、B 均不正确。与题设 P(A)，P(B) ，P(C)(0 ，1)矛盾，所以排除 C 选项，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 概率 PX+
11、a(a0)，显然与 a 有关，固定 随 a 的增大而增大，因而选 C。事实上，由于 ，概率PX+a= =e(e-e-a)=1-e-a，与 无关，随 a 的增大而增大，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，那么 X 与 Y 独立，且 f(x， y)=fX(x)fY(y)。则 故正确答案为 A。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 不成立，例如，若 Y=-X，则 X+Y=0 不服从正态分布。选项 C
12、不成立，(X，Y) 不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布。选项 B 也不成立，因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“x 和 Y 独立”与“X 和 Y 不相关”二者等价。故应选 D。虽然随机变量 X 和-Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，-Y) 未必服从正态分布。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 Cov(X1，Y)=而由 X1，X 2，X n相互独立，可得 Cov(X1，X i)=0，i=2 ，3，n。所以 Cov(X1，Y)=，故选 A。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析
13、】 直接计算 Y 与 Z 的相关系数来确定正确选项。由于 Cov(Y，Z)=cov(Y，aX+b)=aCov(X，Y)，D(Z)=D(aX+b)=a 2D(X)，所以选择 B。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 =0，E(S 2)=1，且 和 S2 相互独立。故 E(T)=E(S2+1)=1.(1+1)=2。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，如果要使得甲、乙的取胜概率相同，则必定有 p=(1-p)0 5+(1-p)0505 解得 p= 。所以只有当 p= 时，甲、乙胜负的概率相同。【知识模块】 概率论与数理统计12
14、 【正确答案】 【试题解析】 PX2=PX=1+PX=2=(1-) 1-1+(1-)2-1=2-2= 解得= (舍)，故 PX=3=(1-)2=【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 4【试题解析】 设事件 A 表示“二次方程 y2+4y+X=0 无实根”，则 A=16-4X0=X 4，依题意，有 P(A)=PX4= 而【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 根据题意显然 Z 也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0 ，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1-PZ=0=所以 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数
15、理统计15 【正确答案】 5【试题解析】 根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为令事件 A=“X+Y1”，则 Z 是 4 次独立重复试验事件 A 发生的次数，故 ZB(4，p)，其中如图 3-4-1 所示 p=P(A)=PX+Y1【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 1【试题解析】 根据题意可知 D(X)=D(Y)= ，且 1=D(X+Y)=D(X)+D(y)+2Cov(X，Y)= +2Cov(X，Y)，解得 Cov(X，Y)= 。故相关系数【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 根据切比雪夫不等式，有 PX-E(X) 于是可得 PX-E(X) 2【知识
16、模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 t；2；n1【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 是相互独立且同服从分布 N(0，1) ，所以 X1-X2 与 相互独立，X 1 与 也相互独立，且有 X1-X2N(0 ，2)，即 Y1 与 Y2 都服从 t 分布，分布参数分别为 2 和 n-1。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 似然函数 两端取对数，可得【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设事件 A1 表示第一次取出的是白球，事件 A2 表示第二次取出的也是白球，事件 B1 表示第
17、一次取出的是黑球，事件 B2 表示第二次取出的也是黑球。如果两次取出的球颜色相同，则用 A1A2+B1，B 2 表示。不放回抽取属于条件概率，即 P(A 1A2)=P(A1)P(A2A 1)=即 P(B1B2)=P(B1)P(B2B 1)=根据概率运算的加法原理，有P(A1A2+B1B2)=P(A1A2)+P(B1B2)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 根据题意 X 服从二项分布 ，因此 X 的分布律为因此，X 的分布函数为X 的数学期望是 E(X)=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解
18、题一般模式，即可求得 Z 及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立。 由题设知 将其改写成矩阵形式，求 Z、(X ，Z) 的分布：由此可得 Z 服从参数 p= 的 0-1 分布；所以(X ，Z)的联合概率分布为因 PX=i，Z=j= =PX=iPZ=j(i，j=0，1)，故 X 与 Z 独立。【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 () 由于以(0，0) ，(1，-1)，(1， 1)为顶点的三角形面积为 1，如图 3-3-2 所示，故 由于fX(x)fY(y)f(x，y) ，所以 X 与 Y 不独立。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设先后开动的两台自动记录仪无
19、故障工作的时间分别为 X1 与X2，则 T=X1+X2，X 1，X 2 的密度函数均为 直接根据两个独立的连续型随机变量之和的卷积公式，可得从而其概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 () 已知(U，V) 是二维离散型随机变量，只取 (0，0)，(1 ，0)，(1，1)各值，且 PU=0， V=0=PXY，X2Y=PXY= PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y= PU=1，V=1=PXY，X 2Y=PX2Y=于是(U，V)的联合分布为()从()中分布表看出【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () 因为 XN(， 2)，YN( ， 22)，且 X 与
20、Y 相互独立，故Z=X-YN(0，3 2)，所以， Z 的概率密度为 F(z； 2)= (-z+) 。()似然函数解得最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 假设该次考试的考生成绩为 X， XN(， 2)，把从 X 中抽取的容量为 n 的样本均值记为 ，样本标准差为 S，则本题是在显著性水平 =005 的条件下检验假设 H 0：=70，H 1：70 ，其拒绝域为因为 n=36， =665，S=15 ，t 0.975(36-1)=20301 ，计算可得 所以接受假设H0：=70，即在显著性水平 005 条件下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分。【知识模块】 概率论与数理统计
