1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为随机事件，P(B)0，则( )（A）P(AB)P(A)+P(B)。（B） P(A-B)P(A)-P(B)。（C） P(AB)P(A)P(B)。（D）P(AB) 。2 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的有( )（A）A，B 为对立事件。（B） 互不相容。（C） A，B 不独立。（D）A，B 相互独立。3 在全概率公式 P(B)= (Ai)P(BA i)中，除了要求条件 B 是任意随机事件及 P(Ai)0(i=1
2、，2，n)之外，还可以将其他条件改为( )（A）A 1，A 2，A n 两两独立，但不相互独立。（B） A1，A 2，A n 相互独立。（C） A1，A 2，A n 两两互不相容。（D）A 1，A 2，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即4 假设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，则下列结论不正确的是( )（A）如果 F(a)=0，则对任意 xa 有 F(x)=0。（B）如果 F(a)=1，则对任意 xa 有 F(x)=1。（C）如果 F(a)= ，则 PXa=（D）如果 F(a)= ，则 PXa=5 设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，F(x) 为 X 的分布
3、函数，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(-a)=（B） F(-a)=（C） F(-a)=F(a)。（D）F(-a)=2F(a)-1。6 已知随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)-1x1，-1y1 上服从均匀分布，则( )（A）PX+Y0=（B） PX-Y0=（C） Pmax(X，Y)0=（D）Pmin(X，Y)0=7 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且有相同的分布：PX i=-1=PXi=1= (i=1，2)，则( )（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布。（B） X1 与 X1X2 独立且有不同的分布。（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布。（D）X 1 与
4、 X1X2 不独立且有不同的分布。8 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且方差 20，记的相关系数为( )（A）-1 。（B） 0。（C）（D）1。9 随机变量 XN(0，1) ，YN(1 ，4)，且相关系数 =1，则( )（A）PY=-2X-1=1。（B） PY=2X-1=1。（C） PY=-2X+1=1。（D）PY=2X+1=110 设 X1，X 2，X n 和 Y1，Y 2，Y n 是分别取自总体都为正态分布 N(， 2)的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为 ，则统计量T=(n-1) 的方差 D(T)=( )（A）2n 4。（B） 2(n-1)4。（C）
5、 4n4。（D）4(n-1) 4。二、填空题11 如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8 次正反面出现的次数，则 t 的一元二次方程 t2+Xt+Y=0 有重根的概率是 _。12 假设 X 服从参数 的指数分布，对 X 做三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 ，则 =_。13 已知随机变量 YN(， 2)，且方程 x2+x+y=0 有实根的概率为 ，则未知参数=_。14 已知 X ，且 n 维向量 1， 2， 3 线性无关，则1+2， 2+23，X 3+Y1 线性相关的概率为_。15 设盒子中装有 m 个颜色各异的球，有放回地抽取 n 次，每次 1 个球。设 X 表示n 次
6、中抽到的球的颜色种数，则 E(X)=_。16 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=2X-1，则 Y 与 Z 的相关系数为_。17 假设随机变量 X1，X 2，X 2n 独立同分布，且 E(Xi)=D(Xi)=1(1i2n)，如果Yn= ，则当常数 c=_时，根据独立同分布中心极限定理，当 n充分大时，Y n 近似服从标准正态分布。18 设 X1，X 2，X n 为取自总体 XN( ， 2)的简单随机样本，记样本方差为S2，则 D(S2)_。19 设总体 X 的概率密度函数为 其中 0 1 是位置参数，c 是常数，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则c=_；
7、 的矩估计量 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 袋中有 a 只白球，b 只红球， k(ka+b)个人依次在袋中取一只球，(1)做放回抽样；(2)做不放回抽样。求第 i(i=1，2，k)人取到白球 (记为事件 B)的概率。21 ( )设随机变量 x 服从参数为 的指数分布，证明：对任意非负实数 s 及 t，有Pxs+tXs=Pxt。()设电视机的使用年数 X 服从参数为 01 的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用 5 年以上的概率。22 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y) 联合分布率及关于 X 和关于 Y 的边缘分布率中的部分数
8、值，试将其余数值填入表中的空白处。23 设(X，Y)的联合分布函数为 其中参数 0，试求 X 与 Y 的边缘分布函数。24 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从0，1上的均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 fU(u)； ( )V=X-Y的概率密度 fV(v)。25 设随机变量 U 服从二项分布 ，随机变量求随机变量 X-Y 与 X+Y 的方差和 X 与 Y 的协方差。26 设总体 X 的概率密度为 其中 (01)是未知参数，X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1，x 2，x n中小于 1 的个数，求 的最大似然估计量。27 已知某炼铁厂的铁
9、水含碳量在正常情况下服从正态分布 N(440，005 2)，某日测得 5 炉铁水的含碳量如下： 434 440 442 430 435 如果标准差不变，该日铁水含碳量的均值是否显著降低?(取显著性水平 =005)28 进行 5 次试验，测得锰的熔化点() 如下：1269 1271 1256 1265 1254已知锰的熔化点服从正态分布，是否可以认为锰的熔化点显著高于 1250?(取显著性水平 =001)考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 根据概率运算性质可知，P(AB)=P(A)
10、+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)，选项 A 不成立。P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A)-P(B)，故正确选项为 B。而 P(AB)=，所以选项 D 不成立。至于选项 C，它可能成立也可能不成立，如果 AB= ， P(A)0，P(B)0，则 P(AB)=0P(A)P(B)；如果 A B，则 P(AB)=P(A)P(A)P(B)。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 A，B 互不相容，只说明 AB= ，但并不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一定成立，故亦不一定成立，因此选项 A、B 都不成立。同时因为 P(AB)=，
11、但是 P(A)P(B)0，即 P(AB)P(A)P(B)，故 A 与 B 一定不独立，应选C。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A1，A 2，A n 两两互不相容，则 A1B，A 2B，A nB 亦两两互不相容，且因 。应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 应选D。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 F(x)是单调不减且 0F(x)1， F(x)=PXx，因此选项A、B、C 都成立，而选项 D 未必成立，因此选 D。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 如图 3-2-4 所示，F(-a)=所以
12、 F(-a)= 。故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 根据题设知(X，Y)的概率密度函数为因Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)0=1-PX 0，Y0所以选项A、B、C 都不正确。故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 根据题设知 X1X2 可取-1，l，且 PX1X2=-1=PX1=-1，X 2=1+PX1=1，X 2=-1=PX1=-1PX2=1+PX1=1PX2=-1 又 PX 1=-1，X 1X2=-1=PX1=-1，X 2=1= ， 所以 X1 与 X1X2 的概率分布为从而 X1 与 X1X2
13、有相同的分布且相互独立，故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立同分布，所以 D(Xi)=2， ，Cov(X 1，X i)=0(i1)，故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 设 Y=aX+b，因为 XY=1，得 X，Y 正相关，得 a0，排除选项A、C。 由 XN(0，1) ，YN(1 ，4)，可得 E(X)=0，E(Y)=1，所以 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a0+b=1， 所以 b=1。排除选项 B。故选择 D。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】
14、 根据已知可得 且二者相互独立，所以=42(n-1)+2(n-1)=4(n-1)4。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可得，“方程 t2+Xt+Y=0 有重根” “X2-4Y=0” “X2=4Y”，其中 XB ，Y=8-X，所求的概率为 PX2=4Y=PX2=4(8-X)=PX2+4X-32=0=P(X+8)(X-4)=0=PX=4=【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 根据独立试验序列概型，可求得结果。事实上，已知记 A=X2，Y 为对 X 做三次独立重复观察事件 A发生的次数，则 YB(3，p)，其中 p=PX2=
15、，依题意PY1=1-PY=0=1-(1-p)2=【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 已知 YN(， 2)，且 P方程有实根=P1-4Y0=【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以“ 1+2， 2+23，X 3+Y1 线性相关 =X+2Y=0”，故所求的概率为 PX+2Y=0=PX+2Y=0，Y= +PX+2Y=0，Y 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 令 Xi= 则 X=X1+X2+Xm。 事件“X i=0”表示 n 次中没有抽到第 i 种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各
16、次抽取结果互不影响，所以有【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 09【试题解析】 Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X-1)=2Cov(X，Y) ，D(Z)=D(2X-1)=4D(X)。 Y 与 Z 的相关系数 YZ 为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 记 Zi=X2i-X2i-1，则 Zi(1in)独立同分布，且 E(Zi)=0，D(Z i)=2。由独立同分布中心极限定理可得，当 n 充分大时，近似服从标准正态分布，所以【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据性质【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】
17、 根据题意可知【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 (1)放回抽样的情况，显然有 P(B)= (2)不放回抽样的情况，每人取一只球，每种取法是一个基本事件，共有 (a+b)(a+b-1)(a+b-k+1)= 个基本事件，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同。当事件 B 发生时，第 i 人取的应该是白球，它可以是 a 只白球中的任一只，有 a 种取法。其余被取的 k-1 只球可以是其余 a+b-1 只球中的任意 k-1 只，共有 (a+b-1)(a+b-2)a+b-1-(k-1)+1=种取法，于是事件 B 包含 个基本事件，故【知
18、识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 () 已知随机变量 X 服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数 F(x)=1-e-x，根据结论对任意非负实数 s 及 t，有因为 X 是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数 x，有 PXx=PXx=F(x)。 PXt=1-PXt=1-PXt=1-F(t)=1-(1-e -t)=e-t，因此可得 PXs+tXs=PXt成立。 ()已知电子仪器的使用年数服从指数分布 Xe(0 1)，则其概率分布函数为 根据()的结论， P(Xs+tXs)=P(Xt)=e-t， 假设某人买回来的电视机已经用了 x 年，则它还可以使用五年以上的
19、概率为 P(Xx+5X5)=P(X5)=e -0.15=e-0.506065。【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 当 x0 时，F X(x)=PXx=F(x，+)=1-e -x；当 x0 时，F X(x)=0，所以关于 X 的边缘分布函数为 同理，关于 Y 的边缘分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 根据 X 与 Y 相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出 U、V，的概率密度。()分布函数法。根据题设知(X，Y)联合概率密度 所以 U=XY的分布函数为(如图 3-3-9 所示)F
20、U(u)=PXYu= (1)当 u0 时，FU(u)=0；当 u1 时，F U(u)=1；(2)当 0u1 时，()公式法。设 Z=X-Y=X+(-Y)。其中 X 与(-Y) 独立，概率密度分别为根据卷积公式得 Z 的概率密度V=X-Y=Z的分布函数为 FV(v)=PZv ，可得当 v0 时，F V(v)=0；当 v0 时，FV(v)=P-vZv= 由此知，当 0v1 时，【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 先求出 X 与 Y 的概率分布及 XY 的概率分布。即 PX=-1=PU0=PU=0= PY=-1=PU2=1-PU=2=PXY=-1=PX=-1，Y=1+PX=1，Y=-1
21、= PXY=1=1-PXY=-1= 其次计算 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)与E(XY)。即 E(X)=-PX=-1+PX=1= E(X2)=E(XY)=-PXY=-1+PXY=1=0。最后应用公式可得 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= D(X+Y)=D(X)+2Cov(X，Y)+D(Y)=2，D(X-Y)=D(X)-2Cov(X，Y)+D(Y)=1 。【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 记似然函数为 L()，则【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 根据题意，原假设和备择假设分别为 H0：=440 ，H 1： 4 40。 根据已知数据计算得样本
22、均值为 =4362，选取的 统计量为 已知 0=440， 0=005，n=5，并将样本均值 =4362 代入得 显著性水平 =005，因此临界值为 Z =0.05=1645 。因为 Z-Z ，所以拒绝原假设而接受备择假设，可以认为该日铁水含碳量的均值显著降低。【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 根据题意，原假设和备择假设分别为 H0：=1250， H1： 1250 。 根据已知数据计算的样本均值和标准差为=1263，S765，选取的 t 统计量为 已知0=1250，n=5，并将样本均值和标准差代入得 显著性水平 =001，因此临界值为 t (n-1)=t0.01(4)=375。 因为 tt (n-1)，所以拒绝原假设而接受备择假设，认为锰的熔化点显著高于 1250。【知识模块】 概率论与数理统计
