1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 是三个事件，与事件 A 互斥的事件是( )2 已知 A，B 为两事件，且 B A，P(A)=03， =( )（A）045（B） 05（C） 06（D）073 设 A，B，C 是两两相互独立且三事件不能同时发生的事件，且 P(A)=P(B)=P(C)=x，则使 P(ABC)取最大值的 x 为( )4 下述函数中，在(-，+) 内可以作为某个随机变量 X 的分布函数的是( )5 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，概率密度为 f(x)若 X 与-X 有相同
2、的分布函数，则( )（A）F(x)=F(-x)（B） F(x)=-F(-x)（C） f(x)=f(-x)（D）f(x)=-f(-x)6 设随机变量 X 的概率密度函数为 (x)，且已知 (-x)=(x)，F(x) 为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有( )（A）F(-a)=（B） F(-a)=（C） F(-a)=F(a)（D）F(-a)=2F(a)-17 假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（A）是连续函数（B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点8 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参
3、数为 2 的指数分布的是( )（A）X+Y（B） X-Y（C） maxX，Y（D）min(X ，Y 9 已知(X，Y)在区域 D=(x，y)-1x1，-1y1 上服从均匀分布，则( )（A）P(X+Y0)=（B） PX-Y0=（C） PmaxX，Y0=（D）P(minX，Y)0=10 设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 FX(x)，F Y(y)，则Z=maxX，Y的分布函数是( )（A）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(z)（B） FZ(z)=FX(z)FY(z)（C） FZ(z)=maxF X(z)，F Y(z) （D）F Z(z)=FX(z)11 设两个不相关的随
4、机变量 X，Y 的方差分别为 4 和 1，则随机变量 4X-2Y 的方差为( )（A）14（B） 18（C） 60（D）6812 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元，2 张为 5 元，今每人从中随机地无放回地抽取 3 张，则此人抽得奖券的金额的数学期望为( )（A）6（B） 12（C） 78（D）913 设随机变量 X，Y 独立同分布，记 =X+Y，=X-Y ，则随机变量 ， 必( )（A）相互独立（B）不相互独立（C）相关（D）不相关14 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于 N(0，1)，则 Z=maxX，Y的数学期望 E(Z)=( )15 设 X1，X n 为来自总体
5、N(0， 2)的样本，则样本二阶原点矩 A2= 的方差为( )16 设 XF(n，n)，p 1=PX1，p 2=PX1，则( )（A）p 1p 2（B） p1=p2（C） p1p 2（D）p 1，p 2 无法比较17 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，则数学期望等于( )（A）n 3(n-1)2（B） n(n-1)2（C） n2(n-1)2（D）n 3(n-1)18 设总体 XN( 0，1 2)，X 1，X 2，X 16 为取自 X 的样本，其样本均值为 ，样本方差为 S2，检验 H0：= 0，则检验统计量为( )（A）（B）（C） 2=(16-1)S2（D
6、）以上都不是二、填空题19 随机地向半圆 (a0) 内投掷一点，点落在半圆内的任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点连线与 x 轴正方向夹角小于 的概率为_20 设连续型随机变量 X 的概率密度为 则a=_，X 的分布函数为 F(x)=_21 设 X 服从参数为 的泊松分布， PX=1=PX=2，则概率 P0X 23=_22 设 X，Y 的联合分布律为 且X，Y 相互独立，则 a=_，b=_23 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 则 E(X)=_24 设随机变量 XN(0，4)，YU(0 ，4)，且 X，Y 相互独立，则 E(XY)=_，D(X+Y)=_，D(2X-3Y)=_2
7、5 若随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且从相同的两点分布服从_分布，E(X)=_ ，D(X)=_26 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n= 依概率收敛于_27 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 XN(， 2)的简单随机样本，则 Y=(X3-X4) 服从_分布，其自由度为_考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 ，所以选择 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题
8、解析】 =1-P(B-A)=1-P(B)-P(AB) = +P(A)=0 4+03=07【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 P(A BC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+0=3x-3x2设 f(x)=3x-3x2，则 f(x)=3-6x=0，解得x= 又 f(x)=-60，故 是极大值同时也是最大值【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A 不满足规范性： 选项 B 四个条件都满足；选项 C 不满足规范性：选项 D，虽然
9、有 但不能保证 f 非负，故排除 D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由于分布函数和概率密度都满足非负性，故 B、D 不能入选又由题设知 X 与-X 有相同的分布函数，即 PXx=P-Xx，而P-Xx=PX-x=1-PX-x，所以 PXx=1-PX-x，故 F(x)=1-F(-x)，有 F(x)+F(-x)=1所以 F(x)-F(-x)=0，即 f(x)=f(-x)，因此仅 C 入选【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 令 Y=minX，2，当 y0 时，F Y(y)=0；当
10、 y2 时，F Y(y)=1；当0y2 时， F Y(y)=PYy=PminX，2y=PXy=1-e -y， 因此 FY(y)恰有一个间断点 y=2【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 利用服从指数分布的充要条件或必要条件来判断对于A，E(X+Y)=E(X)+E(Y)= 对于 B，E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0 对于C，maxX，Y= E(maxX，Y)=故 A、B 、C 都不正确，选D【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，(X，Y)的概率密度为由于 PminX，Y0=PX0，Y0= 故选 D 而 PmaxX，Y0=1-Pma
11、xX，Y0=1-PX0，Y0所以选项 A、B、C 都不正确【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)=PZz=PmaxX，Yz=PXz，Yz =PXzPYz=FX(z)FY(z)【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 D(4X-2Y)=D(4X)+D(2Y)-2Coy(4X，2Y)，因为 X 与 Y 不相关，所以 4X，2Y 也不相关，即 Cov(4X，2Y)=0，故 D(4X-2Y)=16D(X)+4D(Y)=68，故选D【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 C【试题解析】 假设 X 表示“随机地无放回地抽取 3 张，
12、抽得奖券的金额”，则 X 可能的取值为 6，9，12且 PX=6=P3 张都是 2 元= PX=9=P2 张 2 元，1 张 5 元= PX=12=P1 张 2 元，2 张 5 元= X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 D【试题解析】 Cov(，)=Cov(X+Y，X-Y)=D(X)-Cov(X，Y)+Cov(Y，X)-D(Y)=0，所以 ， 不相关【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 C【试题解析】 Z=maxX ，Y= (X+Y+X-Y)，因 X，Y 相互独立同服从分布N(0，1)，故 X-YN(0， 2)，则【知识模块】 概率论与数理统计15 【正
13、确答案】 C【试题解析】 X 1，X 2，X n 来自总体 N(0， 2)，所以选 C【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XF(n，n)，所以 F(n，n)，故 p1=PX1= =PX1)=p2【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，所以【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 A【试题解析】 因 XN( 0，1 2)，故 2 已知，检验 =0 用 U 检验法，检验统计量为 故选 A【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题19 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A 表示“原点与该点连线与 x 轴正方向夹角小于 ”，
14、从而则由几何型概率知【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 利用概率密度的规范性，解得 a=9X 的概率密度为 f(x)=当 x0 时，F(x)=当 x0 时，F(x)= =1-3xe3x-e-3x.故 F(x)=【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 2e -2【试题解析】 PX=k= (k=0，1，)，由于 PX=1=PX=2，即，解得 =2故 P0X 23=PX=1=2e -2【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 X，Y 的联合分布律及边缘分布律为：【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】
15、概率论与数理统计24 【正确答案】 【试题解析】 因为 X，Y 相互独立，所以 E(XY)=E(X)E(Y)=0， D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+ D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)=44+9 =28【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 B(3，02)，06，048【试题解析】 由 XiB(1，02) ，i=1 ，2，3，X 1，X 2，X 3 相互独立，所以X=X1+X2+X3B(3，02)，所以 E(X)=3p=302=06，D(X)=3pq=30208=0 48【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【试题解析】 本题中 X12，X 22，X n2 满足大数定律的条件，且 E(Xi2)=D(Xi)+E(Xi)2= 因此根据大数定律有 Yn= 依概率收敛于 E(Yn)=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 t，2【试题解析】 因 XN(， 2)，故 X3-X4N(0，2 2)，则 N(0 ，1)【知识模块】 概率论与数理统计
