[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷28及答案与解析.doc

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1、考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 对于任意的两个事件 A,B,A B,则不能推出结论( )(A)P(AB)=P(A) (B) P(AB)=P(B)(C) =P(A)=P(B)(D) =P(B)-P(A)2 设 0P(A)1,0P(B)1,且 A 与 B 相互独立,则( )(A)A 与 B 互不相容(B) A 与 B 一定相容(C) 互不相容(D) 与 B 互不相容3 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1),则此人第 4 次射击恰好是第 2 次命中目标的概率为( )(A)3p(1

2、-p) 2(B) 6p(1-p)2(C) 3p2(1-p)2(D)6p 2(1-p)24 设随机变量 X 的分布函数为 F(x),引入函数 F1(x)=F(ax),F 2(x)=F3(x),F 3(x)=1-F(-x), F4(x)=F(x+a),其中 a 为任意常数,则下列函数为分布函数的是( )(A)F 1(x),F 2(x)(B) F2(x),F 3(x)(C) F3(x),F 4(x)(D)F 2(x),F 4(x)5 假设一个设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布(0) ,T 表示相继两次故障之间的时间间隔,则对任意 t0,概率 PTt等于(

3、)(A)0(B) t(C) e-t(D)1-e -t6 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ,则概率PX+a(a0) 的值 ( )(A)与 a 无关,随 的增大而增大(B)与 a 无关,随 的增大而减小(C)与 无关,随 a 的增大而增大(D)与 无关,随 a 的增大而减小7 设随机变量 X,Y 的分布函数为 F(x,y),用它表示概率 P-Xa ,Yy,则下列结论正确的是( )(A)1-F(-a,y)(B) 1-F(-a, y-0)(C) F(+,y-0)-F(-a,y-0)(D)F(+, y)-F(-a,y)8 设 X,Y 为两个随机变量,PX1,Y1= ,PX1=PY1= ,则P

4、(minX,Y1=( )9 设随机变量 X,Y 相互独立,X 在区间(0,2)上服从均匀分布,Y 服从参数为 1的指数分布,则概率 PX+Y1=( )10 设离散型随机变量 X 只取两个值 x1,x 2,且 x1x 2X 取值 x1 的概率为06又已知 E(X)=14,D(X)=0 24,则 X 的概率分布为( )11 设随机变量 X 和 Y 同分布,概率密度均为 且Ea(X+2Y)= ,则 a 的值为( )12 对任意两个随机变量 X 和 y,若 E(XY)=E(X)E(Y),则( )(A)D(XY)=D(X)D(Y)(B) D(X+Y)=D(X)+D(Y)(C) X 和 Y 独立(D)X

5、和 Y 不独立13 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,D(X)0,D(Y)0,则( )(A)X 与 X+Y 相互独立(B) X 与 X+Y 不相互独立(C) X 与 XY 相互独立(D)X 与 XY 不相互独立14 设 X1,X 2,X n 独立同分布,且 Xi(i=1,2,n)服从参数为 的指数分布,则下列各式成立的是( )(其中 (x)=15 X1,X 2,X n 是来自正态总体 XN(0, 2)的简单随机样本,Y2= ,则( )(A)X 2 2(1)(B) Y2 2(10)(C) t(10)(D) F(10,1)16 设 XN(0,1) ,X 1,X 2,X n 是 X 的一个样本,

6、,S 分别是样本均值和样本方差,则下列选项中正确的是( )17 设 XN(, 2)且 2 未知,对均值 作区间估计,则置信度为 95的置信区间是( )二、填空题18 从 0,1,2,9 这 10 个数码中随机可重复地取出 5 个数码,则“5 个数码中至少有 2 个相同” 的概率为 _19 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= 则a=_,b=_,c=_20 在一系列的独立试验中,每次试验成功的概率为 p,记事件 A=“第 3 次成功之前失败 4 次” ,B=“ 第 10 次成功之前至多失败 2 次”,则 P(A)=_;P(B)=_现进行 n 次重复试验,则在没有全部“ 失败” 的条件下,“成

7、功”不止一次的概率 q=_21 已知 X 的分布函数为 F(x),Y=3X+1,则(X ,Y) 的分布函数 F(x,y)=_22 设数 X 在区间(0,1) 上随机地取值,当观察到 X=x(0x1)时,数 y 在区间(x,1)上随机取值,则 fY(y)=_23 设随机变量 X 服从于参数为 的泊松分布,且已知 E(X-1)(X-2)=1,则=_24 已知编号为 1,2,3,4 的 4 个袋子中各有 3 个白球,2 个黑球,现从 1,2,3号袋子中各取一球放入 4 号袋中,则 4 号袋中自球数 X 的期望 E(X)=_,方差 D(X)=_25 设随机变量 X 的数学期望 E(X)=,方差 D(X

8、)=2,则由切比雪夫不等式,有P(X-3_26 设 Xt(6) ,则 X2_ 27 设总体 X 的分布律为 PX=k=(1-p)k-1,k=1,2 ,其中 p 为未知参数,X1,X 2,X n 为取自总体 X 的样本,则户的矩估计量为_考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A B,则 AB=A,A B=B,P(AB)=P(A),P(AB)P(B),=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A),所以 A、B、D 结论都能推出,而 C 的结论是推不出来的,故应选 C【知识模块】 概

9、率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设有 0P(A)1,0P(B) 1,因 A 与 B 相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B)0,因而 A 与 B 相容,选 B另外,A 与 B 独立,故与 B 也相容【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 设事件 A=第 4 次射击恰好是第 2 次命中目标,则 A 表示共射击 4次,前 3 次中有一次击中,2 次脱靶,第 4 次击中,所以 P(A)=C31p(1-p)2.p=3p2(1-p)2,故选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 F 1(x)=F(ax),当 a0 时, F(ax)

10、=F(-)=01,所以 F1(x)不是分布函数 F 2(x)=F3(x)满足分布函数的四条性质,故 F2(x)是分布函数 F 3(x)=1-F(-x)满足分布函数的性质(1) 、 (2)、(3) ,但性质(4)不满足F 3(x)不能保证右连续 F4(x)=F(x+a)满足分布函数的四条性质,故 F4(x)是分布函数 综上所述,F 2(x)和 F4(x)可以作为分布函数,所以选 D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 事件Tt意味着“相继两次故障之间时间的间隔超过 t”,它等价于“在时间间隔为 t 内不发生故障”,所以Tt=N(t)=0,其中 N(t)P(t) ,故 P

11、Tt=PN(t)=0=e -t【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 利用概率密度的规范性,得到 Ae-xdx=Ae-,即 A=e则 P X +a =e-(e-e-a)=1-e-a显然其值与 无关且随 a 的增大而增大,故选 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 P-Xa, Yy=PX-a,Yy,因为 PYy=PX-Aa,Yy+PX-a,Yy,所以 PX-a,Yy)=PYy)-PX-a,Yy)=F(+,y-0)-F(a y-0) ,故选 C【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 设 A=X1, B=Y1 , P(AB)

12、= ,P(A)=P(B)= PminX,Y1=1-PminX,Y1=1-PX1,Y1= =P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 fX(x)= 因为随机变量 X,Y 相互独立,所以二维随机变量(X,Y)的概率密度为所以 PX+Y1=1-PX+Y1=【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X 只取两个值,即 PX=x1=06,PX=x 2=1-06=04,又 E(X2)=d(X)+E(X)2=024+(14) 2=22,故得由题设条件 x1x 2,故第二组解应舍去可见 X 的概

13、率分布为 B【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 A【试题解析】 由题设 E(X)=,且 E(Y)=E(X)= ,于是 Ea(X+2Y)=aE(X)+2aE(Y)= ,故应选 A【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 B【试题解析】 由方差的性质知 B 正确这时 X 与 Y 不相关,但可能独立,也可能不独立,因而 C、D 不正确利用方差的定义计算 D(XY),不能推出选项 A【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 B【试题解析】 已知 X 与 Y 相互独立,故 Cov(X,Y)=0,Cov(X,X+Y)=Cov(X,X)+Cov(X,Y)=D(X) 0,所以 X

14、 与 X+Y 一定相关,从而 X 与 X+Y 一定不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 A【试题解析】 由 Xi 服从参数为 的指数分布知 E(Xi)= 根据中心极限定理,故选 A【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 C【试题解析】 因为 XN(0, 2)所以 N(0,1)且相互独立,故 2(1), 2(10),所以 A、B 不正确;又因为 X 与 Y2相互独立,所以 所以 D 不正确;,所以 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 D【试题解析】 因 2(n-1),而 2=1,故(n-1)S 2= 2(n-1)故选 D对于 B, t(n-1

15、) ,故 C 不正确【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 A【试题解析】 又 1-a=095 ,即 a=005,从而 的置信度为 95的置信区间为【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题18 【正确答案】 【试题解析】 设 A=5 个数码中至少有 2 个相同,则 =5 个数码都不相同,样本空间的基本事件总数为 n=105,事件 中包含的基本事件数为m=A105= =678910,因而【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 1,-1,0【试题解析】 利用分布函数的规范性 F(-)=0,F(+)=1 得 c=0,a=1 根据分布函数的右连续性,F(0)= F(x)=a+b=c

16、,得 b=-1【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 C 62p.(1-p)4.p;(55p 2-120p+66)p10;【试题解析】 A=“第 3 次成功之前失败 4 次”,等价于共进行了 7 次独立试验,且第 7 次试验成功,前 6 次试验中 4 次失败、2 次成功,属于伯努利概型故对前 6次试验用伯努利计算公式有 C82p2(1-p)4,其中试验成功的概率为夕,所以 P(A)=C62p.(1-p)4.p B=“第 10 次成功之前至多失败 2 次”,等价于试验成功 10 次之前,可能没有失败,可能失败 1 次,可能失败 2 次,每次独立试验为伯努利试验设Bi=“10 次成功前失

17、败 i 次”(i=0,1,2),等价于共进行 10+i 次试验,前 10+i-1 次试验中成功 9 次,第 10 次成功发生在第 10+i 次试验故根据伯努利概型的计算公式有 P(B0)=C1010p10=p10,P(B 1)=C109p9.(1-p).p=10p10(1-p),P(B 2)=C119p2.(1-p).p=55p10(1-p)2, 故 P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=p10+10p10(1-p)+55p10(1-p)2 =(55p2-120p+66)p10 设 X 表示“n 次试验中成功的次数”,则【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 已

18、知 F(x)=PXx,Y=3X+1,故(X,Y) 的分布函数 F(x,y)=PXx,3X+1y=PXx,X 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 因数 X 在区间(0,1)上随机取值,故 XU(0,1),即 fX(x)=而数 Y 在(x,1)上随机取值,故 fYX (yx)=f(x,y)=f YX (yx).f X(x)=【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 1【试题解析】 由 XP(),有 E(X)=,D(X)= ,则 E(X-)(X-2)=E(X2)=3E(X)+2=D(X)+E2(X)-3E(X)+2 =+2-3+2=1 故 2-2+1=0, =1【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【试题解析】 4 号袋中的白球数 X 取决于前 3 个袋中取出的球是否是白球,若记则 X1,X 2,X 3 相互独立,且服从同一分布:而 X-3+X1+X2+X3,所以【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【试题解析】 由切比雪夫不等式 PX-E(X) ,取 =3,所以【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 F(1,6)【试题解析】 因 Xt(6),故 ,其中 YN(0,1), 2 2(6)则【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【试题解析】 因为 E(X)=,故 p 的矩估计量为【知识模块】 概率论与数理统计

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