1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对于任意的两个事件 A，B，A B，则不能推出结论( )（A）P(AB)=P(A) （B） P(AB)=P(B)（C） =P(A)=P(B)（D） =P(B)-P(A)2 设 0P(A)1，0P(B)1，且 A 与 B 相互独立，则( )（A）A 与 B 互不相容（B） A 与 B 一定相容（C） 互不相容（D） 与 B 互不相容3 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好是第 2 次命中目标的概率为( )（A）3p(1
2、-p) 2（B） 6p(1-p)2（C） 3p2(1-p)2（D）6p 2(1-p)24 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，引入函数 F1(x)=F(ax)，F 2(x)=F3(x)，F 3(x)=1-F(-x)， F4(x)=F(x+a)，其中 a 为任意常数，则下列函数为分布函数的是( )（A）F 1(x)，F 2(x)（B） F2(x)，F 3(x)（C） F3(x)，F 4(x)（D）F 2(x)，F 4(x)5 假设一个设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布(0) ，T 表示相继两次故障之间的时间间隔，则对任意 t0，概率 PTt等于(
3、)（A）0（B） t（C） e-t（D）1-e -t6 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ，则概率PX+a(a0) 的值 ( )（A）与 a 无关，随 的增大而增大（B）与 a 无关，随 的增大而减小（C）与 无关，随 a 的增大而增大（D）与 无关，随 a 的增大而减小7 设随机变量 X，Y 的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P-Xa ，Yy，则下列结论正确的是( )（A）1-F(-a，y)（B） 1-F(-a， y-0)（C） F(+，y-0)-F(-a，y-0)（D）F(+， y)-F(-a，y)8 设 X，Y 为两个随机变量，PX1，Y1= ，PX1=PY1= ，则P
4、(minX，Y1=( )9 设随机变量 X，Y 相互独立，X 在区间(0，2)上服从均匀分布，Y 服从参数为 1的指数分布，则概率 PX+Y1=( )10 设离散型随机变量 X 只取两个值 x1，x 2，且 x1x 2X 取值 x1 的概率为06又已知 E(X)=14，D(X)=0 24，则 X 的概率分布为( )11 设随机变量 X 和 Y 同分布，概率密度均为 且Ea(X+2Y)= ，则 a 的值为( )12 对任意两个随机变量 X 和 y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X 和 Y 独立（D）X
5、和 Y 不独立13 已知随机变量 X 与 Y 相互独立，D(X)0，D(Y)0，则( )（A）X 与 X+Y 相互独立（B） X 与 X+Y 不相互独立（C） X 与 XY 相互独立（D）X 与 XY 不相互独立14 设 X1，X 2，X n 独立同分布，且 Xi(i=1，2，n)服从参数为 的指数分布，则下列各式成立的是( )(其中 (x)=15 X1，X 2，X n 是来自正态总体 XN(0， 2)的简单随机样本，Y2= ，则( )（A）X 2 2(1)（B） Y2 2(10)（C） t(10)（D） F(10，1)16 设 XN(0，1) ，X 1，X 2，X n 是 X 的一个样本，
6、，S 分别是样本均值和样本方差，则下列选项中正确的是( )17 设 XN(， 2)且 2 未知，对均值 作区间估计，则置信度为 95的置信区间是( )二、填空题18 从 0，1，2，9 这 10 个数码中随机可重复地取出 5 个数码，则“5 个数码中至少有 2 个相同” 的概率为 _19 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= 则a=_，b=_，c=_20 在一系列的独立试验中，每次试验成功的概率为 p，记事件 A=“第 3 次成功之前失败 4 次” ，B=“ 第 10 次成功之前至多失败 2 次”，则 P(A)=_；P(B)=_现进行 n 次重复试验，则在没有全部“ 失败” 的条件下，“成
7、功”不止一次的概率 q=_21 已知 X 的分布函数为 F(x)，Y=3X+1，则(X ，Y) 的分布函数 F(x，y)=_22 设数 X 在区间(0，1) 上随机地取值，当观察到 X=x(0x1)时，数 y 在区间(x，1)上随机取值，则 fY(y)=_23 设随机变量 X 服从于参数为 的泊松分布，且已知 E(X-1)(X-2)=1，则=_24 已知编号为 1，2，3，4 的 4 个袋子中各有 3 个白球，2 个黑球，现从 1，2，3号袋子中各取一球放入 4 号袋中，则 4 号袋中自球数 X 的期望 E(X)=_，方差 D(X)=_25 设随机变量 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X
8、)=2，则由切比雪夫不等式，有P(X-3_26 设 Xt(6) ，则 X2_ 27 设总体 X 的分布律为 PX=k=(1-p)k-1，k=1，2 ，其中 p 为未知参数，X1，X 2，X n 为取自总体 X 的样本，则户的矩估计量为_考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A B，则 AB=A，A B=B，P(AB)=P(A)，P(AB)P(B)，=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)，所以 A、B、D 结论都能推出，而 C 的结论是推不出来的，故应选 C【知识模块】 概
9、率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设有 0P(A)1，0P(B) 1，因 A 与 B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，因而 A 与 B 相容，选 B另外，A 与 B 独立，故与 B 也相容【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 设事件 A=第 4 次射击恰好是第 2 次命中目标，则 A 表示共射击 4次，前 3 次中有一次击中，2 次脱靶，第 4 次击中，所以 P(A)=C31p(1-p)2.p=3p2(1-p)2，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 F 1(x)=F(ax)，当 a0 时， F(ax)
10、=F(-)=01，所以 F1(x)不是分布函数 F 2(x)=F3(x)满足分布函数的四条性质，故 F2(x)是分布函数 F 3(x)=1-F(-x)满足分布函数的性质(1) 、 (2)、(3) ，但性质(4)不满足F 3(x)不能保证右连续 F4(x)=F(x+a)满足分布函数的四条性质，故 F4(x)是分布函数 综上所述，F 2(x)和 F4(x)可以作为分布函数，所以选 D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 事件Tt意味着“相继两次故障之间时间的间隔超过 t”，它等价于“在时间间隔为 t 内不发生故障”，所以Tt=N(t)=0，其中 N(t)P(t) ，故 P
11、Tt=PN(t)=0=e -t【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 利用概率密度的规范性，得到 Ae-xdx=Ae-，即 A=e则 P X +a =e-(e-e-a)=1-e-a显然其值与 无关且随 a 的增大而增大，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 P-Xa， Yy=PX-a，Yy，因为 PYy=PX-Aa，Yy+PX-a，Yy，所以 PX-a，Yy)=PYy)-PX-a，Yy)=F(+，y-0)-F(a y-0) ，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 设 A=X1， B=Y1 ， P(AB)
12、= ，P(A)=P(B)= PminX，Y1=1-PminX，Y1=1-PX1，Y1= =P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 fX(x)= 因为随机变量 X，Y 相互独立，所以二维随机变量(X，Y)的概率密度为所以 PX+Y1=1-PX+Y1=【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X 只取两个值，即 PX=x1=06，PX=x 2=1-06=04，又 E(X2)=d(X)+E(X)2=024+(14) 2=22，故得由题设条件 x1x 2，故第二组解应舍去可见 X 的概
13、率分布为 B【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 A【试题解析】 由题设 E(X)=，且 E(Y)=E(X)= ，于是 Ea(X+2Y)=aE(X)+2aE(Y)= ，故应选 A【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 B【试题解析】 由方差的性质知 B 正确这时 X 与 Y 不相关，但可能独立，也可能不独立，因而 C、D 不正确利用方差的定义计算 D(XY)，不能推出选项 A【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 B【试题解析】 已知 X 与 Y 相互独立，故 Cov(X，Y)=0，Cov(X，X+Y)=Cov(X，X)+Cov(X，Y)=D(X) 0，所以 X
14、 与 X+Y 一定相关，从而 X 与 X+Y 一定不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 A【试题解析】 由 Xi 服从参数为 的指数分布知 E(Xi)= 根据中心极限定理，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 C【试题解析】 因为 XN(0， 2)所以 N(0，1)且相互独立，故 2(1)， 2(10)，所以 A、B 不正确；又因为 X 与 Y2相互独立，所以 所以 D 不正确；，所以 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 D【试题解析】 因 2(n-1)，而 2=1，故(n-1)S 2= 2(n-1)故选 D对于 B， t(n-1
15、) ，故 C 不正确【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 A【试题解析】 又 1-a=095 ，即 a=005，从而 的置信度为 95的置信区间为【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题18 【正确答案】 【试题解析】 设 A=5 个数码中至少有 2 个相同，则 =5 个数码都不相同，样本空间的基本事件总数为 n=105，事件 中包含的基本事件数为m=A105= =678910，因而【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 1，-1，0【试题解析】 利用分布函数的规范性 F(-)=0，F(+)=1 得 c=0，a=1 根据分布函数的右连续性，F(0)= F(x)=a+b=c
16、，得 b=-1【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 C 62p.(1-p)4.p；(55p 2-120p+66)p10；【试题解析】 A=“第 3 次成功之前失败 4 次”，等价于共进行了 7 次独立试验，且第 7 次试验成功，前 6 次试验中 4 次失败、2 次成功，属于伯努利概型故对前 6次试验用伯努利计算公式有 C82p2(1-p)4，其中试验成功的概率为夕，所以 P(A)=C62p.(1-p)4.p B=“第 10 次成功之前至多失败 2 次”，等价于试验成功 10 次之前，可能没有失败，可能失败 1 次，可能失败 2 次，每次独立试验为伯努利试验设Bi=“10 次成功前失
17、败 i 次”(i=0，1，2)，等价于共进行 10+i 次试验，前 10+i-1 次试验中成功 9 次，第 10 次成功发生在第 10+i 次试验故根据伯努利概型的计算公式有 P(B0)=C1010p10=p10，P(B 1)=C109p9.(1-p).p=10p10(1-p)，P(B 2)=C119p2.(1-p).p=55p10(1-p)2， 故 P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=p10+10p10(1-p)+55p10(1-p)2 =(55p2-120p+66)p10 设 X 表示“n 次试验中成功的次数”，则【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 已
18、知 F(x)=PXx，Y=3X+1，故(X，Y) 的分布函数 F(x，y)=PXx，3X+1y=PXx，X 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 因数 X 在区间(0，1)上随机取值，故 XU(0，1)，即 fX(x)=而数 Y 在(x，1)上随机取值，故 fYX (yx)=f(x，y)=f YX (yx).f X(x)=【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 1【试题解析】 由 XP()，有 E(X)=，D(X)= ，则 E(X-)(X-2)=E(X2)=3E(X)+2=D(X)+E2(X)-3E(X)+2 =+2-3+2=1 故 2-2+1=0， =1【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【试题解析】 4 号袋中的白球数 X 取决于前 3 个袋中取出的球是否是白球，若记则 X1，X 2，X 3 相互独立，且服从同一分布：而 X-3+X1+X2+X3，所以【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【试题解析】 由切比雪夫不等式 PX-E(X) ，取 =3，所以【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 F(1，6)【试题解析】 因 Xt(6)，故 ，其中 YN(0，1)， 2 2(6)则【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【试题解析】 因为 E(X)=，故 p 的矩估计量为【知识模块】 概率论与数理统计
