1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，B，C 满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则( )（A）A，B 相互独立（B） AB 与 C 相互独立（C） A，B ， C 相互独立（D）以上结论均不正确2 设随机变量 X 的分布函数 F(x)只有两个间断点，则( )（A）X 一定是离散型随机变量（B） X 一定是连续型随机变量（C） X 一定不是离散型随机变量（D）X 一定不是连续型随机变量3 设随机变量 X 与 Y 相互独立且均服从标准正态分布 N(0，1)，则( )4 设连续型随机变量 X
2、1 与 X2 相互独立且方差均存在，X 1 与 X2 的概率密度分别为f1(x)与 f2(x)，随机变量 Y1 的概率密度为 随机变量 Y2=(X1+X2)，则 ( )（A）E(Y 1)E(Y 2)，D(Y 1)D(Y 2)（B） E(Y1)=E(Y2)，D(Y 1)=D(Y2)（C） E(Y1)=E(Y2)，D(Y 1)D(Y 2)（D）E(Y 1)=E(Y2)，D(Y 1)D(Y 2)5 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从两点分布 则下列随机变量服从二项分布的是( )（A）X+Y（B） XY（C）（D）6 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自总体 XN(1，2)的简单随机样本，
3、且服从 2(n)分布，则常数 k 和 2 分布的自由度 n 分别为( ) 7 在假设检验中，H 0 表示原假设，H 1 表示备择假设，则犯第一类错误的情况为( )（A）H 1 真，接受 H1（B） H1 不真，接受 H1（C） H1 真，拒绝 H1（D）H 1 不真，拒绝 H1二、填空题8 已知事件 A 发生必导致事件 B 发生，且 0P(B)1，则 =_9 设随机变量 X 与 Y 相互独立且均服从正态分布 N(2， 2)，而且 P(X1)= ，则 Pmax(X，Y)2，min(X，Y)1)=_ 10 设 X1，X 1，X n 是 n 个相互独立的随机变量，且 E(Xi)=，D(X i)=4，
4、i=1，2， ，n，对于_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 袋中装有 4 枚正品均匀硬币，2 枚次品均匀硬币，次品硬币的两面均印有国徽在袋中任取一枚，将它投掷了 3 次，已知每次都得到国徽，求此硬币是正品的概率12 设随机变量 X 的概率密度为 试求 Y=X2+1 的密度函数13 假设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且有相同的概率分布，PX K=0=q，PX k=1=p，其中 p+q=1考虑随机变量试求 U 和 V 的联合概率分布13 设随机变量 X 的绝对值不大于 1， 在事件1 X1)出现的条件下，X 在(1，1)内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度
5、成正比试求：14 X 的分布函数 F(x)=P(Xx)；15 X 取负值的概率 p16 已知随机变量 X 和 Y 独立，X 的概率分布和 y 的概率密度相应为试求随机变量 Z=X+Y 的概率分布16 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0x1，x 2y )上服从均匀分布令17 写出(X，Y) 的概率密度 f(x，y)；18 问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由；19 求 Z=U+X 的分布函数 F(z)20 设随机，变量 X 的分布函数为21 每次从 1，2，3，4，5 中任取一个数，且取后放回，用 bi 表示第 i 次取出的数(i=1，2，3)三维列向量 b=(b1，b 2，b
6、 3)T，三阶方阵 求线性方程组Ax=b 有解的概率22 设某种商品每周的需求量 X 是服从区间10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间10，30中的某整数，商店每销售单位商品可获利润 500元若供大于求则削价处理，每处理单位商品亏损 100；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位仅获利润 300 元为使商店所获利润期望值不少于 9 280元，试确定最少进货量22 设总体 X 的概率密度函数为 其中 0 是未知参数，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本23 求 的最大似然估计量 ；24 证明 是 的无偏估计；25 求 考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷
7、30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据事件相互独立的定义即得故选 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 连续型随机变量的分布函数是连续函数故选 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 P(min(X ，Y)0)=P(X0 ，Y0) =P(X0) P(Y0) 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由 X1 与 X2 相互独立，且 Y2= (X1+X2)，知 E(Y2)= E(X1)+E(X2)，D(Y2)= D(X1)+D(X2)由
8、 X1 与 X2 相互独立，且 可得E(Y1)= +y f1(y)+f2(y)dy= E(X1)+E(X2)，所以 E(Y1)=E(Y2)，D(Y 1)D(Y 2)故选 D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由 4 个选项中的 4 个随机变量的可能取值即知 C 为正确答案 事实上， 有 P(Z=0)=P(X=1，Y=1)=P(X=1)P(Y=1) =(1p) 2， P(Z=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=1，y=1) =2p(1p)， P(Z=2)=P(X=1 ，Y=1)=p 2故 ZB(2，p)故选 C【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解
9、析】 由正态分布的性质可知 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 犯第类错误指的是 H0 真，即 H1 不真，但拒绝 H0，即接受H1故选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 应填 0【试题解析】 由已知得【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 应填【试题解析】 因为 Pmax(X，Y)2，min(X，Y)1 =P(X2，y2)(X 1)(y1) =P(X1，y2) (X2，y1) =P(X1，y2)+P(X2，Y 1)P(X1，Y1) =P(X1)P(Y2)+P(X2)P(Y1)P(X1)P(Y 1) =其中 (x)表示标准正
10、态分布函数，又故所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 应填【试题解析】 因为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 设 A1=取到正品硬币 ，A 2=取到次品硬币， B=将硬币投掷 3次，均得到国徽易知【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 先求 Y 的分布函数 F Y(y)=P(Yy) =P(X2+1y) =P(X2y1)当y1 时，F Y(y)=0；当 1y2 时， 当 y2 时，FY(y)=1从而 故 Y 的密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 因为 X1+X2B(2，p)
11、，X 2+X3 B(2，p) ，于是 P(U=0，V=0) =P(X1+X2 为偶数， X2+X3 为偶数) =P(X 1=0，X 2=0，X 3=0)+P(X1=1，X 2=1，X 3=1) =(1P) 3+P3 P(U=0 ，V=1) =P(X 1+X2 为偶数，X 2+X3 为奇数) =P(X1=0，X 2=0，X 3=1)+P(X1=1，X 2=1，X 3=0) =(1p) 2P+P2(1p) =p(1 p) P(U=1，V=0)=P(X 1+X2 为奇数，X 2+X3 为偶数)=P(X 1=0，X 2=1，X 3=1)+P(X1=1，X 2=0，X 3=0)=(1P)P 2+p(1p
12、) 2=p(1p) P(U=1，V=1)=P(X 1+X2 为奇数，X 2+X3 为奇数)=P(X 1=0，X 2=1，X 3=0)+P(X1=1，X 2=0，X 3=1)=(1p)2P+P2(1p)=p(1p) 故 U 与 V 的联合分布律为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 由条件可知， 当 x1 时， F(x)=PXx=0； 又 F(1)=PX1=PX=1= 当 x1 时， F(x)=PX1=1；由已知条件得 P1X1=1PX=1Px=1= 且在 X 的值属于(1，1)的条件下，事件1Xx(1x1)发生的条件概率为于是，对1x1，有P1Xx=P
13、1Xx，1X1 =P1X 1 P1Xx 1X1【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 p=PX 0=F(0_)=F(0)=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 Z 的分布函数为 F Z(z)=P(Zz) =P(X+Yz) =P(X+Yz，X=0)+P(X+Yz， X=1) =P(Yz，X=0)+P(Yz1，X=1) =P(Yz)P(X=0)+P(Yz 1)P(X=1)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 易得区域 D 的面积 因(X， Y)为服从区域 D 上的均匀分布，所以 (X，Y)的联合概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计
14、18 【正确答案】 根据区域 D 的图形可得下列概率【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 因为U+Xz=U+Xz，U=0U+Xz，U=1，于是，Z=U+X的分布函数为 F(z)=PU+Xz=PU+Xz，U=0)+PU+Xz ，U=1 =PXz，U=0+PXz1，U=1 =PXz，XY+PXz 1，XY 下面分别计算上式中的两项概率 (1)当 z0 时，PXz ，XY=0， (2)当 0z1 时，(3)当 z1 时，故所求分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 易知 X 为离散型随机变量，其所有可能取值为 F(x)的间断点，即1，0，1，且 X 的分布律为【知识模
15、块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 对增广矩阵 作初等行变换有于是 Ax=b 有解的充要条件是即 b32b 2+b1=0，其中 b1，b 2，b 3 相互独立，且分布律相同： P(b i=k)=k=1，2， 3，4，5， i=1，2，3所以 Ax=b 有解的概率为 P(b32b 2+b1=0)=P(2b2b 1+b3) =P(b1=1， b2=1，b 3=1)+P(b1=1，b 2=2，b 3=3) +P(b15，b 2=5，b 3=5) (共有 13 项)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 X 的概率密度函数为 令 Ma 表示“进货量为口单位时，商店所获利润” ，则 于是期望利润为(M a 为 X 的函数，记为 g(X)要使 E(M a)9 280，即解之得 故所求最少进货量应为 21 单位【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 似然函数为 取对数然后求导可得【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 故 D(X)=E(X 2)E 2(X)=2 2 2=2即【知识模块】 概率论与数理统计
