1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 37 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 为随机事件， A 发生必导致 B 与 C 最多一个发生，则有2 设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有（A）C 与 AB 独立（B） C 与 AB 不独立（C） AC 与 独立（D）AC 与 不独立3 设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)=P(B|A) ，则必有（A）P(A|B)= （B） P(A|B) （C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B) 4
2、设事件 A 与 B 满足条件 则（A）AB= （B） AB=（C） A B=A（D）A B=B5 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的是（A）A，B 为对立事件（B） 互不相容（C） A，B 不独立（D）A，B 相互独立6 设 A，B 是任意两个随机事件，又知 ，且 P(A)P(B) 1，则一定有（A）P(AB)=P(A)+P(B)（B） P(A 一 B)=P(A)一 P(B)（C） P(AB)=P(A)P(B|A) （D）P(A|B)P(A)7 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正、
3、反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，则（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立8 某射手的命中率为 p(0p1)，该射手连续射击 n 次才命中 k 次(kn)的概率为（A）p k(1 一 p)n-k（B） Cnkpk(1 一 p)n-k（C） Cn-1k-1pk(1 一 p)n-k（D）C n-1k-1pk-1(1 一 p)n-k9 下列函数中是某一随机变量的分布函数的是10 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是（A）f(2x)（B） 2f
4、(x)（C） |f(-x)|（D）f(|x|)二、填空题11 已知 则 X=_12 设随机事件 A，B 满足条件 AC=BC 和 C 一 A=CB，则13 在一个盒子中放有 10 个乒乓球，其中 8 个是新球，2 个是用过的球在第一次比赛时，从该盒子中任取 2 个乒乓球，比赛后仍放回盒子中在第二次比赛时从这个盒子中任取 3 个乒乓球，则第二次取出的都是新球的概率为_14 某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面都是正面(I)如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为_；()如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为_15 对同一目标接连进行 3 次独
5、立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为78，则单次射击命中目标的概率 P=_16 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 A=B，则 P(A)=_17 重复独立掷两个均匀的骰子，则两个骰子的点数之和为 4 的结果出现在它们点数之和为 7 的结果之前的概率为_18 若在区间(0，1) 上随机地取两个数 u，v，则关于 x 的一元二次方程 x2 一2vx+u=0 有实根的概率是_19 设 A、B 是两个随机事件，且=_20 已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= PX0=PY0= 设A=max(X，Y)0，B=max(X，Y) 0，min(X，Y) 0 ，C=max(X，Y)0，min(X，Y
6、)0 ，则 P(A)=_，P(B)=_，P(C)=_ 21 设有某种零件共 100 个，其中 10 个是次品，其余为合格品现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为_。22 甲、乙二人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜设甲、乙每次投篮的命中率分别是 P 与 05，则p=_时，甲、乙胜负概率相同23 抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量 X= 则随机变量 X 在区间上取值的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 抛掷两枚骰子，在第一枚骰子出现的点数能够被 3 整除的
7、条件下，求两枚骰子出现的点数之和大于 8 的概率25 在区间(0 ，1) 中任取两数，求这两数乘积大于 025 的概率26 已知 P(A)=05，P(B)=06，P(B|A)=0 8，求 P(AB)和27 一条自动生产线连续生产 n 件产品不出故障的概率为 ，n=0，1 ，2， 假设产品的优质品率为 p(0p1)如果各件产品是否为优质品相互独立(I)计算生产线在两次故障间共生产 k 件(k=0，1，2，) 优质品的概率；()若已知在某两次故障间该生产线生产了 k 件优质品，求它共生产 m 件产品的概率28 设平面区域 D 是由坐标为(0，0)，(0，1) ，(1，0)，(1，1)的四个点围成的
8、正方形今向 D 内随机地投入 10 个点，求这 10 个点中至少有 2 个点落在曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的区域 D1 内的概率29 设随机变量 X 的分布律为 求 X 的分布函数 F(x)，并利用分布函数求 P2X6，PX4 ，P1X530 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 试求：(I)常数 C；()概率；()X 的分布函数31 设随机变量 X 的分布函数为 求P04X13，PX 05，P17X2以及概率密度 f(x)考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 37 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 B
9、与 C 最多有一个发生就是 B 与 C 不可能同时发生，即 BC= ，从而 故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由题设条件可知，无论事件 A 发生与否，事件 B 发生的概率都相同，即事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，因此可以确认 A 与 B 是相互独立的应该选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 A，B 互不相容，只说明 AB= ，但并不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一
10、定成立，故 AB 即 AB=亦不一定成立，因此选项(A)与(B)均不能选同时因 P(AB)=0，但是 P(A)P(B)0，即 P(AB)P(A)P(B)，故 A 与 B 一定不独立，应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ，则 AB=B，AB=A当 P(A)0 时，选项(A) 不成立；当 P(A)=0 时，条件概率 P(B|A)不存在，选项(C)不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B)，故选项(B)不成立对于选项(D)，依题设条件 0P(A)P(B)1，可知条件概率 P(A|B)存在，并且 故应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计7
11、【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 n 次射击视为 n 次重复独立试验，每次射击命中概率为 p，不中概率为 1 一 p，设事件 A=“射击 n 次才命中 k 次”=“前 n 一 1 次有 k 一 1 次击中，且第n 次也击中”，则 P(A)=Cn-1k-1pk-1(1 一 p)n-1-(k-1).p=Cn-1k-1pk(1 一 p)n-k 应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) ：由于 F(x)应满足 xF(x)1，因此(A)不正确对于(B)：由于 F(1+0)= ，即 F(x)在点 x=1 处不是右连续
12、的，因此 (B)不正确对于(C)：由于 F(x)在(0 ，1)内单调减小，不满足分布函数 F(x)是单调不减这一性质，因此(C)不正确故选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 由事件的运算性质，可得于是【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 由于 A=(AC)一(CA)=(BC)一(CB)=B，因此【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 0.218【试题解析】 在第一次比赛时从盒子中任取的 2 个乒乓球之中，可能全是用过的球，可能有 1 个新球 1 个用过的球，也可
13、能全是新球设 Ai 表示事件“在第一次比赛时取出的 2 个球中有 i 个是新球，其余是用过的球 ”(i=0，1，2) ，B 表示事件“在第二次比赛时取出的球全是新球”，则有由于 A0，A 1，A 2 构成完备事件组，因此由全概率公式可得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 两小题都是求条件概率，因此需用贝叶斯公式设 B=“取出的硬币是均匀的”，A i=“第 i 次抛出的结果是正面”，i=1，2，则(I)所求概率为 P(B|A1)，()所求概率为 P(B|A1A2) (I)由贝叶斯公式得()由贝叶斯公式得【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 引
14、进事件 Ai=第 i 次命中目标(i=1，2，3)，由题设知，事件A1，A 2，A 3 相互独立，且其概率均为 p，由 3 次独立重复射击至少命中目标一次的概率【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 0【试题解析】 由于 A=B，于是有 AB=A=B，又由于 A 与 B 互不相容，因此 AB=，即 A=B= 所以 P(A)=0【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A 表示“方程 x22vx+u=0 有实根”，因 u，v 是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，v)与正方形区域 D 内的点一一对应，
15、其中 D=(u，v)|0u1，0v1 事件 A=(u，v)|(2v) 2 一 4u0，(u，v)D ，有利于事件 A 的样本点区域为图 12 中阴影部分 D1，其中 D1=(u，v)|v 2u，0u ，v1依几何型概率公式，有【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 根据乘法公式再应用减法公式 或应用加法公式【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 0.9993【试题解析】 设事件 Ai 表示“第 i 次取到合格品”(i=1，2，3)，事件 A 表示“在三次内取到合格品”，则有【知识模块】 概率论与数理统计22 【
16、正确答案】 【试题解析】 记事件 Ai 表示甲在总投篮次数中第 i 次投中，i=1，4，7，10，事件 Bj 表示乙在总投篮次数中第 j 次投中，j=2，3，5，6，8，9，记事件 A，B 分别表示甲、乙取胜事件 A 可以表示为下列互不相容的事件之和，即这是一个公比 q=025(1 一 p)的几何级数求和问题由于 0025(1 一 p)1，该级数收敛，且 若要甲、乙胜率相同，则 P(A)=P(B)=05，即按这种游戏规则，只有当 ，甲、乙胜负概率相同【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说
17、明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 设 A 表示事件“第一枚骰子出现的点数能够被 3 整除”，B 表示事件“两枚骰子出现的点数之和大于 8”抛掷两枚骰子所出现的点数为 (i，j)(i，j=1，2，6)，其中 i，j 分别表示抛掷第一枚骰子和抛掷第二枚骰子出现的点数，共有 62=36 种结果，即有 36 个基本事件抛掷第一枚骰子出现 3 点或 6 点时，才能被 3 整除，因此事件 A 包含 2 个基本事件，从而 事件A 和事件 B 的交 AB=(3，6) ，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，即包含 5 个基本事件，因此 所求概率即为条件概率【知识模块】 概率论与数理统计25
18、 【正确答案】 设 x 与 y 为从(0，1)中取出的两个数，记事件 A 表示“x 与 y 之积大于 025”，则 =(x，y)|0x，y1 ，A=(x，y)|xy 025，(x，y) ，A 的图形如图 11 所示，由几何概率定义得【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 由题设及乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=0508=0 4，从而依题设及加法公式有 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=05+06 一 0.4=07 由条件概率的定义有【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (I)应用全概率公式，有()当 mk 时，P(Am|Bk)=0；当 mk时，【
19、知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设事件 A 表示“任投的一点落在区域 D1 内” ，则 P(A)是一个几何型概率的计算问题样本空间 =(x，y)|0x1 ，0y1，有利于事件 A 的样本点集合为 D1=(x，y)|x 2yx(如图 13)依几何型概率公式设事件 Bk 表示“10 个点中落入区域D1 的点的个数为 k”，k=0，10，这是一个十重伯努利概型问题，应用伯努利公式 P(B2B3B10)=1 一 P(B0)一 P(B1) =1 一(1 一 p)10C101p(1 一 p)9【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 X 为离散型随机变量，其分布函数为 F(x)=这
20、里和式是对所有满足 xix的 i 求和，本题中仅当xi=1， 4，6，10 时概率 PX=xi0，故有 当 x1 时，F(x)=PXx=0； 当 1x4时，F(x)=PXx=PX=1=26； 当 4x6 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4=36； 当 6x10 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4+PX=6=5 6； 当 x10时，F(x)=PX=1+PX=4+PX=6+PX=10=1P2X6=F(6)一 F(2)=5613=1 2， PX4=F(4)一 PX=4=1216=13，P1X5=P1X5+PX=1一 PX=5=F(5)一 F(1)+130=121 3+13=12【知识模块
21、】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (I)由 1=-+f(x)dx=0J24Cxdx=8()分布函数 F(x)=-xf(t)dt，由于f(x)是分段函数，该积分在不同的区间上被积函数的表达式各不相同，因此积分要分段进行要注意的是不管 x 处于哪一个子区间，积分的下限总是“一”，积分 -xf(t)dt 由(一 ，x) 的各个子区间上的积分相加而得当 x0时，F(x)= -xf(t)dt=-x0dt=0；当 0x2 时,F(x)= -xf(t)dt=-00dt+ 当 x2 时，F(x)= -xf(t)dt=-00dt+ 因此【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 P04 X13=F(13)一 F(04)=(1 305)一PX05=1 一 PX05=1 一 F(05)= P17X2=F(2)一 F(17)=11=0；【知识模块】 概率论与数理统计
