1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 40 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 XN(0，1)，YN(1 ，4)，且相关系数 XY=1，则（A）PY=一 2X 一 1=1（B） PY=2X 一 1=1（C） PY=一 2X+1=1（D）PY=2X+1=12 已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 相关系数 =1的充要条件是（A）C0v(X+Y，X)=0（B） Cov(X+Y，Y)=0（C） Cov(X+Y，XY)=0（D）Cov(X 一 Y，X)=0 3 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，S n=X1+X
2、2+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时 Sn 近似服从正态分布，只要 X1，X 2，X n（A）有相同期望和方差（B）服从同一离散型分布（C）服从同一均匀分布（D）服从同一连续型分布4 假设随机变量 X1，X 2，相互独立且服从同参数 的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（A）X 1，X 2，X n，（B） X1+1，X 2+2， Xn+n，（C） X1，2X 2，nX n,（D）5 设随机变量序列 X1，X n，相互独立，根据辛钦大数定律，当 n时依概率收敛于其数学期望，只要X n，n1（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一泊松
3、分布（D）服从同一连续型分布，f(x)=6 设 Xn 表示将一枚匀称的硬币随意投掷 n 次其“正面”出现的次数，则二、填空题7 设随机变量 X 的概率密度为 则随机变量X 的二阶原点矩为_8 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为_9 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且分别服从参数为 1， 2 的泊松分布，PX1+X20=1 一 e-1，则 E(X1+X2)2=_10 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X ， Y)作 4 次独立重复观察，观察值 X+Y 不超过 1
4、 出现的次数为 Z，则EZ2=_11 设盒子中装有 m 个颜色各异的球，有放回地抽取 n 次，每次 1 个球设 X 表示n 次中抽到的球的颜色种数，则 EX=_12 将一颗骰子连续重复掷 4 次，以 X 表示 4 次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P10X18_13 设随机变量 X1，X n 相互独立同分布，EX i=，DX i=8(i=1，2，n)，则概率14 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数 则根据切比雪夫不等式有估计式 P|XY| _15 将一枚骰子重复掷 n 次，则当 n时，n 次掷出点数的算术平均值 依概率收敛于_.16 设随机变量序列 X1，X n，相互独立且都服从正态分
5、布 N(， 2)，记Yn=X2n 一 X2n-1，根据辛钦大数定律，当 n 时 依概率收敛于_17 设随机变量序列 X1，X n，相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，则=_(结果用标准正态分布函数 (x)表示)18 设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 和 32 次之间的概率 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第 i 次投中得分为(4 一 i)分，i=1，2 ，3若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试中投篮的平均次数为156 次(I)求该人投篮的命中率； (
6、 )求该人投篮的平均得分20 甲、乙两人相约于某地在 12：0013：00 会面，设 X，Y 分别是甲、乙到达的时间，且假设 X 和 Y 相互独立，已知 X，Y 的概率密度分别为求先到达者需要等待的时间的数学期望21 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为记 Z=X2+Y2求：(I)Z 的密度函数；()EZ，DZ；( )PZ122 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且都服从数学期望为 1 的指数分布，求Z=minX1，X 2，X n的数学期望和方差23 设随机变量 X 在区间一 1，1上服从均匀分布，随机变量 (I)Y=，试分别求出 DY 与 Cov(X，Y) 24 设随机变量 X
7、 的概率密度为 f(x)，已知 D(X)=1，而随机变量 Y 的概率密度为f(一 y)，且 XY= 记 Z=X+Y，求 E(Z)，D(Z)25 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且 X 的概率分布为 记U=max(X，Y)，V=min(X，Y) ，试求：(I)(U ，V)的分布；()E(UV)；() UV26 已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为又 PX=1=05，且 X 与Y 不相关 (I)求未知参数 a，b，c； ()事件 A=X=1与 B=max(X，Y)=1是否独立，为什么? ()随机变量 X+Y 与 XY 是否相关，是否独立?27 设甲、乙两人随机决定次序对同一目标进行独立地
8、射击，并约定：若第一次命中，则停止射击，否则由另一人进行第二次射击，不论命中与否，停止射击设甲、乙两人每次射击命中目标的概率依次为 06 和 05 (I)计算目标第二次射击时被命中的概率； () 设 X， Y 分别表示甲、乙的射击次数，求 X 与 Y 的相关系数XY28 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为(I)求 X 与 Y 的相关系数；()令 Z=XY，求 Z的数学期望与方差29 已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为(I)求(U，V) 的概率分布； ()求 U 和 V 的相关系数 30 假设随机变量 X 的密度函数 f(x)=ce-|x|(0，一x+)，Y=|X| (I) 求常
9、数c 及 EX，DX；()问 X 与 Y 是否相关?为什么?()问 X 与 Y 是否独立?为什么?31 设两总体 X，Y 相互独立，X 一 N(1，60)，Y N( 2，36)，从 X，Y 中分别抽取容量为 n1=75，n 2=50 的样本，且算得 ，求 1 一 2 的 95的置信区间32 某种内服药有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从均值为 0=22 的正态分布现研制出一种新药品，测试了 10 名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下： 18， 27， 23， 15， 18， 15， 18， 20， 17， 8 问这组数据能否支持“新药的副作用小 ”这一结论 (=005)?考研数
10、学一（概率论与数理统计）模拟试卷 40 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 X 与 Y 的相关系数 XY=1O，因此 P|Y=aX+b=1，且a0又因为 YN(1，4)，XN(0 ，1)，所以 EX=0，EY=1而 EY=E（aX+b)=b,b=1即应选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 接用定义通过计算确定正确选项已知 DX=DY=20，则故选(D)其余选项均不正确，这是因为当 DX=DY 时，【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 因为列维一林德伯格中心极
11、限定理的条件是，X 1，X 2，X n 独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在显然 4 个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在 选项(A)不成立，因为X1，X 2，X n 有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 辛钦大数定律要求：X n，n1独立同分布
12、且数学期望存在选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项 (D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 依题设，即求 EX2首先对所给概率密度作变换：对于 x(一x+)，有 由此可知随机变量 X 服从正态分布，从而 于是【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 设 X 表示试验成功两次时所进行的试验次数， Y 表示第一次试验成功所进行的试验次数，Z 表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数，则 X=Y+Z，且 Y 与 Z 都服从同一几何分布，其概率
13、分布为从而有 E(Y)=E(Z)= 于是 E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)=【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 2【试题解析】 已知 XiP( i)且相互独立，所以 EXi=DXi=i，i=1，2 E(X 1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=EX12+2EX1EX2+EX22=1+12+212+2+22=1+2+(1+2)2为求得最终结果我们需要由已知条件求得 1+2因为 PX 1+X20 =lPX1+X20 =1PX1+X2=0 =1 一 PX1=0，X 2=0=1PX1=0PX2=0所以 1+2=1，故 E(X1+X2)2=1+1=2【知识模块】 概率论与
14、数理统计10 【正确答案】 5【试题解析】 由题设知(X，Y)的联合概率密度为 若记 A=“X+Y1”，则 Z 是 4 次独立重复试验事件 A 发生的次数，故 ZB(4，p)，其中【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 令 则 X=X1+X2+Xm 事件“X i=0”表示 n 次中没有抽到第 i 种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，因此有【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由于 X1，X n 相互独立同分布，因此有 应用切比雪夫不等式，有【知识模块】 概率论与数理统计1
15、4 【正确答案】 【试题解析】 由于 E(XY)=EXEY=0，【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 7/2【试题解析】 设 X1，X 2，X n 是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望 EX=216=72因此，根据辛钦大数定律， 依概率收敛于 72【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 2 2【试题解析】 由于X n，n1相互独立，故 Yn=X2n 一 X2n-1(n1)相互独立并且都服从 N(0，2 2)，所以Y n2,n1独立同分布且 EYn2=DYn+(EYn)2=22，根据辛钦大数定律，当 n 时 依概率收敛于 22【知识模块】 概率论与数
16、理统计17 【正确答案】 【试题解析】 由于 Xn 相互独立且都在 (一 1，1)上服从均匀分布，所以 EXn=0，根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR 有【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 0.84【试题解析】 以 X 表示“在 100 次独立重复试验中成功的次数 ”，则 X 服从参数为(n，p)的二项分布，其中 n=100，p=020，且由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量 近似服从标准正态分布 N(0，1)因此试验成功的次数介于 16 和 32 次之间的概率=(3)一 (一 1)=(3)一1一 (1)=09987 一(1 一 08413)=084，其中 (u)是标
17、准正态分布函数【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 (I)设该投篮人投篮次数为 X，投篮得分为 Y；每次投篮命中率为p(0p 1) ，则 X 的概率分布为 PX=1=P，PX=2=pq，PX=3=q 2， EX=p+2pq+3q2=p+2p(1 一 p)+3(1 一 p)2=p23p+3依题意 p 2 一 3p+3=156， 即 p23p+144=0解得 p=06(p=24 不合题意，舍去) ()Y 可以取0，1，2，3 四个可能值，且 PY=0=q 3=04 3=0064，PY=1=pq2=0604 2=0096 ， PY=2=p
18、q=0 604=0 24，PY=3=p=06，于是【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 X 和 Y 的联合概率密度为按题意需要求的是|XY|的数学期望，即有(D 1， D2 如图 42)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (I)当 z0时，F(z)=0 ；当 z0 时， F(z)=PZz=PX 2+Y2z由此可以看出，Z 服从参数为 的指数分布()由(I)的结果(指数分布)可知，EZ=22，DZ=4 4()【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 X i(i=1，2，n)的分布函数为 由于诸 Xi(i=1，2，n)相互独立，则 Z=minX1，X 2，X n的
19、分布函数与概率密度分别为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 显然 Y 是 X 的函数：Y=g(X)，因此计算 DY 可以直接应用公式EY=Eg(X)，或用定义计算EY2=Eg2(X)=-+g2(x)f(x)dx=-+f(x)dx=1，故 DY=EY2 一(EY) 2=10=1或者 EY=1PY=1+0PY=0+(一 1)PY=一 1【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)= -+xf(x)dx+-+yf(一 y)dy.令 y=一 x，则 -+yf(一 y)dy=-+(一 x)f(x)d(一 x)=一 -+xf(x)dx，所以 E
20、(Z)=0又 D(Y)=E(Y2)一E(Y) 2=E(Y2)一一 E(X)2，而 E(Y 2)=-+y2f(一 y)dy=-+(一 x)2f(x)d(-x)=-+x2f(x)dx=E(X2)，而 E(Y 2)=-+y2f(一 y)dy=+-(一 x)2f(x)d(一 x)=-+x2f(x)dx=E(X2)所以 D(Y)=E(Y 2)一一 E(X)2=E(X2)一E(X) 2=D(X)=1于是 D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (I)设(U，V)的分布为 则有 p11=PU=1,V=1=Pmax(X,Y)=1,min(
21、X,Y)=1 =PX=1，Y=1=PX=1PY=1= ， p12=PU=1，V=2=Pmax(X，Y)=1 ，min(X，Y)=2=P( )=0，p 22=PU=2，V=2=Pmax(X，Y)=2 ，min(X，Y)=2=PX=2，Y=2=PX=2PY=2= ， p21=1-p11-p12 一 p22= 所以(U，V)的分布为()UV 可能取值为 1，2，4，所以()由(I)可知【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (I)应用联合分布、边缘分布关系及 X 与 Y 不相关求参数a、b、c由于 PX=1=05，故 PX=一 1=0 5，a=050101=0 3又 X 与 Y 不相关 E
22、(XY)=EX.EY，其中 EX=(一 1)05+105=0 XY 可能取值为一 1，0，1，且 PXY=一 1=PX=一 1，Y=1+PX=1，Y=一 1=01+b， PXY=1=PX=1 ，Y=1+PX=一 1，Y=一 1=01+c， PXY=0=PX= 一 1，Y=0+PX=1，Y=0=a+01，所以 E(XY)=一01b+0 1+c=c 一 b，由 E(XY)=EXEY=0 c 一 b=0，b=c，又b+01+c=0 5，所以 b=c=02 ( )由于 A=X=1 B=max(X，Y)=1，P(AB)=P(A)=05，0P(B)1，又 P(A)P(B)=05P(B) 05=P(AB)，
23、即 P(AB)P(A)P(B)，所以 A 与 B 不独立 ()因为 Cov(X+Y，XY)=Cov(X，X)一Cov(X，Y)+Cov(Y，X)一 Cov(Y，Y)=DX DY， DX=EX2 一(EX)2=1，EY=0 ，DY=EY 2 一(EY) 2=06，所以 Cov(X+Y，X Y)=106=0 40 ，X+Y 与 X 一 Y 相关 X+Y 与 XY 不独立【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (I)设 A 表示甲先射击，则 表示乙先射击，又设 Bi 表示在第 i 次射击时目标被命中(i=1， 2)，则由题意，有由全概率公式即得()由题意知PX=0，Y=0=0，PX=1，Y
24、=0=P(AB 1)=03，所以(X，Y) 的分布律及边缘分布律为 计算得EX=075，EY=07，DX=0250 75，DY=0307，E(XY)=045，于是【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 求 X 与 Y 的相关系数通常是计算 EX，EY，DX，DY，EXY，然后根据公式求得 XY EX= -+-+xf(x,y)dxdy=0+0+xye-(x+y)dxdy=0+xe-xdx0+ye-ydy=1 EX2=0+0+x2ye-(x+y)dxdy=0+x2e-xdx0+ye-ydy=(3).(2)=2 DX=EX2一(EX) 2=1同样方法可以计算出 EY=DY=2又 EZ=EX
25、Y= 0+0+xy2e-(x+y)dxdy =0+y2e-ydy0+xe-xdx=(3).(2)=2， E(XY) 2=0+0+x2y3e-(x+y)dxdy=0+y3e-ydy0+x2e-xdx=(4).(3)=12 (I)由于 Cov(X，Y)=EXY EXEY=0，故()DZ=DXY=E(XY) 2 一E(XY) 2=1222=8【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 (I)由题设易求得 U，V 的概率分布进而可求出(U，V) 的概率分布由于又 PU=0，V=1=PX+Y1，X+Y 2=0，故(U ，V) 的概率分布为()由(U，V) 的概率分布可求得 U与 V 的相关系数 由
26、于 U，V 均服从 01 分布，故【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (I)由于 -+f(x)dx=1，所以 c-+e-|x|dx=2c0+e-xdx=又 f(x)是偶函数，且反常积分 -+xf-+xf(x)dx=0，()由于 f(x)是偶函数，故EXY=EX|X|=-+x|x|f(x)dx=0，而 EX=0，所以 EXY=EX.EY，故 X 与 Y 不相关 ()下面我们应用事件关系证明 X 与 Y=|X|不独立因为|X|1 X1，又P|X|1=-11f(x)dx0, PX1=-1f(x)dx1，所以|X|1与X1不独立(包含关系不独立)，故 X 与 Y=|X|不独立【知识模块】
27、 概率论与数理统计31 【正确答案】 这是在两正态总体方差已知的条件下，求均值差的置信区间，应用公式 由=u0.025=196，代入各组数值，可以得到置信区间 I=(6242，6+242)=(358，842)【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 H 0： 0=22， H 1：22 选取统计量 当 =0 时，Tt(n1)如果 0，则 T 的值有增大趋势，所以我们应该在 T 取较小的值时拒绝 H0因此 H0 的否定域为 R=T一 ，其中 A 满足 PT一 =005，查 t分布表得到 =t0.05(9)=183，R=T 一 183具体计算可得由于 TR，故应否定 H0 接受 H1，即新药对血压的副作用小【知识模块】 概率论与数理统计
