1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 42 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 为任意二不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有2 设 A1，A 2 和 B 是任意事件，且 01A2) B)P(A 1B)P(A 2B)，则（A）e(A 1A2)P(A 1) P(A2)（B） P(A1A2)P(A 1B)P(A 2B)（C） P(A1B A2B)P(A 1B)P(A 2B)（D）P(A 1A2) )P(A 1 )P(A 1 )3 设随机事件 A 与 B 互不相容，00(i1，2，n)之外，我们可以将其他条件改为（A）A 1，A n 两
2、两独立，但不相互独立（B） A1，A n 相互独立（C） A1，A n 两两互不相容（D）A 1，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 9 同时抛掷三枚匀称的硬币，正面与反面都出现的概率为10 将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A “正、反面都出现”；B“ 正面最多出现一次” ；C “ 反面最多出现一次” ，则下列结论中不正确的是（A）A 与 B 独立（B） B 与 C 独立（C） 4 与 C 独立（D）B C 与 A 独立11 A，B，C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件（A）A，B，C 两两独立（B） P(ABC)P(A)P(B)P(C)（C） P(AB)1（D）P(AB
3、)0二、填空题12 两人相约于晚 7 点到 8 点间在某处会面，到达者等足 20 分钟便立即离去设两人的到达时刻在 7 点到 8 点间都是随机且等可能的，则两人能会面的概率P_13 设随机事件 A，B 及 AB 的概率分别为 04，03 和 06，则 P( )_ 14 口袋内有四个同样的球，分别标有号码 1，2，3，4每次从中任取一个球(每次取后放回去)，连续两次如果第 i 次取到球上的编号记为 Ai，i1，2，记事件 A表示事件“a 124a2”，则该试验的样本空间 _ ；事件 A_；概率 P(A)_15 设事件 A 发生的概率是事件 B 发生概率的 3 倍， A 与 B 都不发生的概率是
4、A与 B 同时发生概率的 2 倍。若 P(B) ，则 P(A 一 B)_16 设事件 A 与 B 相互独立，已知它们都不发生的概率为 016，又知 A 发生 B不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 A 与 B 都发生的概率是_17 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球，第二个箱中有 3 个黑球与 3个白球，第三个箱中有 3 个黑球与 5 个白球现随机地选取一个箱子从中任取 1 个球，则这个球为白球的概率是_；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区 E1
5、，E 2 和 E3 的各 2 节、3 节和 4 节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率 P19 将长为 L 的棒随机折成三段，求这三段能构成三角形的概率20 假设从单位正方形区域 D(x，y) 0x1，0y1中随机地选取一点，以该点的两个坐标 x 与 y 作为直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的面积大于的概率 P21 假设随机事件 A 与 B 相互独立，P(A) a1，P(AB) ，求 a 的值22 一个班内有 20 位同学都想去参观一个展览会，但只有 3 张参观票，大家同意通过这 20 位同学抽签决定 3 张票的归属计算下列事件的概率： (I)“第二人抽到票”的概率 P1； ()“第
6、二人才抽到票” 的概率 P2； ()“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”的概率 P3； ()“ 前两人中至少有一人抽到票” 的概率 P423 甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，现从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中取一球，求取出球是白球的概率 P；如果已知从乙袋中取出的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率 q24 三人独立地同时破译一个密码，他们每人能够译出的概率分别为 求此密码能被译出的概率 P25 甲盒内有 3 个白球与 2 个黑球，从中任取 3 个球放入空盒乙中，然后从乙盒内任取 2 个球放入空盒丙中，最后从丙盒内再任取 1 个球，试求：(I
7、)从丙盒内取出的是白球的概率；()若从丙盒内取到白球，当初从甲盒内取到 3 个白球的概率考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 42 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为故应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知，P(A 1A2B)0，但是这不能保证 P(A1A2)0 和P(A1A2B) 0，故(A) 和 (D)不成立由于 P(A1B)P(A 2B)P(A 1A2) B)未必等于 p(A1A2)，因此(B)一般也不成立由 P(B)0 及 P(A1A2)B)P(A 1B) P(A2
8、B)，可见选项 (C)成立：【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因 AB ，所以 ，应选(B) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ，不可能事件 与任何一个事件 A 都互不相容，即 A ，而综上分析，应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 因 A、B 为对立事件，即 AB，AB ，所以 P(AB) 0，P( )0，且 P(A)P(B)P(AB)1因此(A)，(C)，(D) 均不成立，应选(B)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 ，故选(A)【知识模块】 概率论与数理统计7
9、 【正确答案】 A【试题解析】 由于 A ，故 BB(A )BAB P(B)P(AB )P(AB) P( )P(A)P(BA)P 应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 若 A1，A n 两两互不相容，则 A1B，A nB 亦两两互不相容，且因 ，故 P(B) 应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 设 Bk 表示三枚中出现的正面硬币个数，k0，1，2，3，P(A) 为所求概率，依题意 P( )P(B 0B3)P(B 0)P(B 3) P(A)1 一 P应选(D) 【知识模块】 概率
10、论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 试验的样本空间有 8 个样本点，即 (正，正，正) ，(正，反，反)，(反，反，反)显然 B 与 C 为对立事件，且依古典型概率公式有，P(BC)P( )0，P(BC)P()1由于 P(A)P(B) ，P(AB) ，即 P(AB)P(A)P(B)因此 A 与 B 独立，类似地 A 与 C 也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此 BC 与 A 也独立，用排除法应选(B) 或直接计算 P(BC)0，P(B)P(C) 0，因此 B 与 C 不独立，亦应选(B)【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 由三个事件相互独立的条件
11、可知，(A)与(B)显然不对对于(C) ：由P(A 一 B)1 1由 P(A)P P(A)1同理 P( )1，即P(B)0下面验证当 P(A)P( )1，即 P( )P(B)0 时，它们是否满足四个等式：1) 由 P(B)0 P(AB)P(B)0 P(AB) 0P(A)P(B) ；2)由 P(B)0 P(BC)P(B)0 P(BC)0P(B)P(C) ；3) 由P(C)P(C)P(A)由以上 1)， 2)，3)可知 A，B，C 两两独立4)由 P(ABC)P(B)0 P(ABC) 0P(A)P(B)P(C)由以上可知，A，B，C 满足四个等式，故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题
12、12 【正确答案】 59【试题解析】 以 x，y 分别表示两人到达时刻在 7 点后的分钟数，记事件 A 表示“两人能会面”，如图 11 所示，则 (x，y) 0260 259【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 03【试题解析】 由于 AAB而 AB A，根据减法公式，可得 P( )P(AAB)P(a)一 P(AB)根据加法公式 P(AB)P(A)P(B)一 P(AB)，可得 P(AB)P(A)P(B) 一 P(AB) 0403060 1，所以 P( )P(A)一 P(AB)040103【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 (i ，j)：i，j1，2，3，4 (1，1)
13、，(1，4)，(2，1)，(4 ，4)；A(i ，j) ：i 24j，i，j1，2，3，4 (2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3) ，(4，4)； 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 P(A)3P(B) ，P( )1 一 P(AB)1 一 P(A)一 P(B)P(AB)2P(AB)，P(AB)14P(B) ，P(A 一 B)P(A)一 P(AB) 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 036【试题解析】 P(A)一 P(AB) P(B)一 P(AB) P(A)P(B)，016 04，P(AB)P(A)P(B) 06 203
14、6【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 ，【试题解析】 设事件 Ai“取到第 i 箱”，i1，2，3，B“取到白球”，易见A1，A 2，A 3 是一完备事件组，第一空应填 P(B)，第二空为 P( B)，依题意，有P(Ai) ，i1，2，3，P(BA 1) ，P(BA 2) ，P(B A 3) 应用全概率公式与贝叶斯公式【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 设事件 A发往同一地区的车皮恰好相邻，B i发往 Ei 的车皮相邻(i1，2，3)，将发往 E1，E 2 和 E3 三个不同地区的车皮统一编组，且使发往同一地区的车皮
15、恰好相邻，总共有 3!6 种不同情形，其中每种情形对应 B1，B 2和 B3 的一种排列6 种不同情形都是等可能的，如 B1B2B3 是其中一种可能的情形，即“发往 E1 的 2 节车皮编在最前面，发往 E2 的 3 节车皮编在中间，发往 E3 的 4 节车皮编在最后面” 由古典型概率的计算公式，有【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设事件 A 表不“二段构成二角形”，且第一、二段的长分别为 x 与y，则第三段的长为 L 一 x 一 y，且 (x，y) 0x，y，xyL欲使三段构成三角形，则任意两段之和必须大于第三段，即 xyLxy，xL 一 x 一yy，yL 一 xyx，亦即
16、xy ，故 A 为 A(x，y) 0y，x xyL) 为等腰直角三角形，直角边长为 L，A 为图 12阴影部分，由几何概率定义得【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设事件 A“直角三角形面积大于 ”，依题意，事件 A 所在区域D1(x，y) 0x1，0y1， )，如图 13，则应用几何型概率公式 pP(A) (1ln2) 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 从 P( )a1，得 P(B)2 一 a，P(A)P(B)(a 1)(2 一 a)应用广义加法公式 a 一 1 (2 一 a)一(a 一 1)(2 一 a) 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设事
17、件 Ai“ 第 i 人抽到票”，i 1，2(I) 如果是填空题，可以根据抽签公平性原理得知中签率应与抽签次序无关直接填写 P1P(A 2) ；作为计算题，应写出解题步骤根据全概率公式 P1P(A 2)P(A 1)P(A2A 1)()事件“第二人才抽到票” 表示“第一人未抽到票、但第二人抽到了票”，根据乘法公式()“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票” 表示已知事件 A1 发生，再考虑事件 A2 出现p 3P(A 2A 1) () 根据加法公式与乘法公式 p4P(A 1A2)P(A 1)P(A 2)一 P(A1A2)P(A 1)P(A 2)一 P(A1)P(A2A 1) 【知识模块】 概率论与数
18、理统计23 【正确答案】 记 A“从乙袋中取出一球为白球”，试验理解为：一次从甲袋中取出两球，记 Bi“ 从甲袋中取出的 2 球中恰有 i 个白球” ，i 0，1，2，则B0，B 1，B 2 是一完备事件组，A AB0AB1AB2，由全概率公式【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设事件 A、B、C 分别表示三人各自能够译出密码，依题意A、B、C 相互独立，且 P(A) ，P(B) ，则pP(ABC）1【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 依题意，有P(B0A1) ，P(B 0A 2)P(B 0A 3)0，P(B 1A 1) ，P(B 1A 2)，P(B 1A 3)0，P(B 2A 2)0，P(B 2A 2) ，P(B 2A 3)1.应用全概率公式 P(B0) P(Ai)P(B0A i)P(A 1)P(B0A 1) ，P(B 1)P(A 1)P(B1A 1)P(A 2)P(B1A 2) ，P(B 2)1 一 P(B0)一 P(B1)，P(B 2)P(A 2)P(B2A 2)P(A 3)P(B2A 3) ，P(C B 0)0，P(CB 1) ，P(C B 2)1，P(C)P(B 1)P(CB 1)P(B 2)P(CB 2)() P(C，A 3)1，【知识模块】 概率论与数理统计
