1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 44 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（A）X 2（B） XY（C） XY（D）(X，Y)2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX (x)与 FY (y)，则ZmaxX，Y的分布函数 FZ(z)是（A）maxF X(z)，F y(z)（B） FX(z) FY(z)一 FX(z)FY(z)（C） FX(z)FY(z)（D） Fx(z)F Y(z)3 设随机变量 X1 与 X2 相互独立
2、，其分布函数分别为, 则 X1X 2 的分布函数 F(x)4 设随机变量 X 和 Y，都服从正态分布，则（A）XY 一定服从正态分布（B） X 和 Y 不相关与独立等价（C） (X，Y)一定服从正态分布（D）(X，一 Y)未必服从正态分布5 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且有相同的分布：PX i一 1PX i1 (i1，2) ，则（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布（B） xX1 与 X1X2 独立且有不同的分布（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布（D）X 1 与 X1X2 不独立且有不同的分布6 已知随机变量(X，Y) 在区域 D(x，y)一 12Yi (i1，
3、2)考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 44 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 从第二章题型训练三、7()的 Y4 X2 知，X 2 不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，XY 与 XY 都不服从均匀分布；由 X，Y 的独立性知，(X， Y)的联合密度 f(x，y) ，0x1，0y1 因此(X ， Y)服从区域 D(x，y)0x1，0y1上二维均匀分布，应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)Pmax(X，Y)zPXz ，Yz PXzPYz F X(z)FY(z)， 应选
4、(C) 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X1 为离散型随机变量，其分布律为F(x)PX 1X 2xPX 10PX 1X 2xX 10PX 11PX 1X 2XX 11 PX 2x PX 2x1 F2(x) F2(x1)故选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不成立，例如，若 Y一 X，则 XY0 不服从正态分布(C)不成立，(X，Y) 不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布(B)也不成立，因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y 独立”与“X和 Y 不相关”二者等价故应选(
5、D)虽然随机变量 X 和一 Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一 Y)未必服从正态分布【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 X1X2 可取一 1，1，且 PX1X2一 1 PX 1一1，X 21 PX11，X 2一 1PX 1一 1PX21PX 11PX 2一 1又 PX1一 1，X 1X2一 1PX 1一 1，X 21 ，所以 X1与 X1X2 的概率分布为 从而 X1 与 X1X2 有相同的分布且相互独立，故应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知(X，Y)的概率密度凼数为由于 P
6、min(X ，Y)0 PX0，Y0 f(x，y)dxdy 故选(D).因 Pmax(X，Y)01 一 Pmax(X，Y)01 一 PX0，Y0所以选项(A)、(B)、(C)都不正确【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 直选法由条件概率密度的定义知，对任意 X，只要 fX(x)0，则Y 关于 X戈的条件概率密度为因此，Y 关于 X1 的条件分布服从区间 (r1)上的均匀分布，故选(D)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 显然 Z 也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且 PZ0Pmax(X，Y)0 PX0，Y0 PX0P Y 0
7、，PZ11 一 PZ0 于是 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 X，Y 的分布律分别为 ZX Y 的可能取值为一2，一 1，0，1，2由于 PZ一 2PXY一 2PX 1，Y一 3PX1PY 一 3 类似地PZ一 1PXY一 1PX1，Y一 2PX2，Y一 3 PZ0PXY0 PX1，Y一 1PX 2，Y 一 2PX3，Y 一 3PZ1PX2PY一 1P X 3PY一 2 P Z2PX3P y一 1，于是 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 根据乘法公式 PXi，Yj PX i PYjxi ，i，j1，2，3，
8、4，容易写出(X，Y)的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数： F(x)F(x，)F(x，1)，因此【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 由 P0 可知，X 与 Y 独立，从而有 XYN(0 ，2 2)，根据对称性，有 PXY0 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 当 y 于是 Y 的分布函数 FY(y)为当 y0 时，F Y(y)(y)(一 y)2(y)y的概率密度 fy(y)为【知识模块】 概率论与数理统计14
9、【正确答案】 设该人在选拔赛中跳的次数为 X，显然 X 是一个离散型随机变量，其全部可能取值为 1，2，3，4，5，6，由于各次跳跃过竿与否互不影响，因此有PX106，PX20406，PX 304 206，PX404 30 6，PX5 04 206，PX6 04 5即 X 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 指数分布的分布函数与区间0，1上均匀分布的分布函数分别为设 YG(X)的分布函数为H(x)，对于分布函数 G(x)易见，当 yy 于是，Y G(X)的分布函数因此 YG(X)的分布函数不是区间0，1上的均匀分布函数【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】
10、直接应用 F(x)PXx，F Y(y) PF(X)y求解()令 YF(X)，则由 0F(x)1 及 F(x)为 x 的单调不减连续 函数知(如图 21)，当 yY(y)0；当 y1 时，F Y(y)1；当 0yY(y)PF(X)y PF(X)0P0 当yY(y)PF(X)yPF(X)0 P 0 1 (y)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (X，Y) 是二维离散型随机变量，其全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)(I)有放回抽取，由于 X 与 Y 相互独立，则 PXi，YjPXiPYj，i，j0，1，PX0，Y0PX0PY004 2016，PX0，Y1PX0
11、PY 1040 6024PX 1，Y0 PX 1PY0：060 4024PX 1，Y1 PX 1PY106 2036(II)有放回抽取，PXi，YjPXiPYjXi，i，j 0，1，PX0，Y0PX0PY0X0 ，PX0，Y1PX 0PY1X0 ，PX1，Y0PX1PY 0Xl，PX1，Y1PX1PY 1X1 ，由此可见，无论是有放回还是不放回抽取其边缘分布律 X，Y 都相同且都服从参数为06 的 0 一 1 分布，且当有放回抽取时 X 与 Y 独立；无放回抽取时 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (I)由联合分布性质，有 01a 02b0201c 1，即 a
12、bc04由 EXY一 012a 一 06023c一 01 3c 一2a04由3a5c 0.7 联立，解方程组 得 a01，b01，c 02(II)由(X ， Y)的联合分布 及ZX y，可知 Z 的取值为 0，1，2，3，4由于 PZ0PX一 1，Y 101，PZ1PX0，Y1 PX 一 1，Y 2010102，PZ2PX 0，Y2PX一 1，Y 3PX1，Yl020204PZ3PX0，Y 3PX1，Y201，PZ 4 PX 1，Y 3 02，从而得 Z 的概率分布为( )由 X，Y 的边缘分布可知 PZY PXY YPX003，PZXPX YX PY 0 P( )0【知识模块】 概率论与数理
13、统计19 【正确答案】 (I)(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0，0) ，(1，0)，(1，1)各值，且 PU0，V0PXY，X2Y PXY ，PU1，V 0PXY，X2YPY ，PU 1，V1 PXY，X2YPX2Y F 是(X，Y)的联合分布为(II)从(I) 中分布表看出EUVPU1，V 1 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 依题意，由于f(x，y)f x(x)fy(y)，所以 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (I)易见，当 x (0，1)时 f(x)0；对于 0()事件“X 大于 Y”的概率()条件概率【知识模块】 概率论与数理
14、统计22 【正确答案】 从图 32 可知，区域 D 是以(一 1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，一1)为顶点的正方形区域，其边长为 ，面积 SD2 ，因此(X ，Y)的联合密度是根据公式 f YX (yx) (fX(x)0)，当 x0 时，有【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 应用矩阵法求解，由题设得由此即得：(I)ZXY，的概率分布()(U 1，V 1)的概率分布为()(U 2，V 2)的概率分布为U2V2 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (I)方法 1。分布函数法由题设知(X，Y) 联合概率密度所以 UXY 的分布函数为(如图 33)F U
15、(u)PXYu f(x，y)dxdy 当 u0 时，F U(u)0；当 u1 时，FU(u)1；当 0u1 时，()方法 1。分布函数法由题设知所以 VX Y的分布函数FV(v)PXYv当 v0 时，F V(v)0；当 v0 时，F V(v)PX YvP一 vXYv f(x，y)dxdy由图 34 知，当 v1 时，FV(v)1；当 0V(v) f(x，y)dxdy f(x， y)dxdyD 的面积12 (1 一 v)21 一(1 一 v)2，其中 D(x，y)：0x1，0y1 ，xyv 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (I)由 1 f1(x，y)dxdy k1e(xy) dxk 1，得k11；又由 1 f2(x，y)dxdy k2e(xy) dx得 k22因此(X 1，Y 1)与(X 2，Y 2)的概率密度分别为【知识模块】 概率论与数理统计
