1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 46 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X 2，X n，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当 n 一时以 (x)为极限的是2 设随机变量 X1，X2 2，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi1，i1，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得3 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 与 4 分别是样本均值与样本方差，则4 假设两个正态分布总体 X 一 N(1，1)，YN( 2，1)，X 1，X 2，X M 与Y1，Y 2，Y N 分别是取
2、自总体 X 和 Y 的相互独立的简单随机样本 分别是其样本均值，S 12 与 S22 分别是其样本方差，则（A） 一( 1 一 2)N(0，1)（B） S12S 22X 2(mn 一 2)（C） F(m1，nq)（D） t(mn2)5 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，DX 2， 是样本均值，则( 2 的无偏估计量是二、填空题6 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则P0XY10_7 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，EXiu i，DX i2，i1，2，则当 n 时， 一 i)依概率收敛于_8 随机从数集1，2，3，
3、 4，5 中有返回的取出 n 个数 X1，X 3，X n，则当凡n时 依概率收敛于_； 依概率收敛于_9 设总体 X 服从参数为 p 的 01 分布，则来自总体的 X 的简单随机样本X1，X 2，X n 的概率分布为_.10 假设总体 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 Y1 都服从 _分布，其分布参数分别为_和_.11 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，而 X1，X 2，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 服从_分布，分布参数_12 设总体 X 与 Y 独立且都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X m 与Y1，Y
4、n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本，统计量服从 t(n)分布，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 假设随机变量 X1，X n 相互独立，服从同参数 A 的泊松分布记Sn Xin，当 n 充分大时，求 Sn 的近似分布14 假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为 ，标准差为 4求 100 名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(一 1，1)内的概率15 一大袋麦种的发芽率为 80，从中任意取出 500 粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过 2的概率16 有 100 道单项选择题，每个题中有 4 个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选
5、择正确得 1 分，选择错误得 0 分假设无知者对于每一个题都是从 4 个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40 分的概率17 设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100 名职工每人一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 975的概率保证每人都可以得到一件合格品?18 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值和方差分别为 与S2，且 XB(1，p)，0P1(I)试求： 的概率分布；()证明：19 设正态总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n 为来自 X 的简单随机样本，求证：20 设 X1，X 2，X 10 是来自正态总体
6、 XN(0，2 2)的简单随机样本，求常数a，b，c，d，使 QaX 12b(X 2X 3)2c(X 4X 5X 6)2d(X 7X 8X 9X 10)2。 服从 2 分布，并求自由度 m21 设总体 X 和 Y 相互独立，分别服从 N(， 12)，N(， 22)X 1，X 2，X m 和Y1，Y 2，Y n 是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，其样本均值分别为 ，样本方差分别为 SX2，S Y2令 ，22 已知 X1，X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为*92与 S2(I)如果 EX，DX 2，试证明：X i 与 Xj 一 (ij)的相关系数；( )如果
7、总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，试证明：协方差 Cov(X1，S 2)023 设 XN(， 2)，从中抽取 16 个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求24 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n(n16)是来自 X 的简单随机样本，求下列概率：25 设 都是来自正态总体 N(， 2)的容量为 n 的两个相互独立的样本均值，试确定 n，使得两个样本均值之差的绝对值超过 的概率大约为 001考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 46 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X n，相互独立
8、同分布，其期望和方差都存在，且 ，因此当 n时， 为极限，故应选(C).【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知 EXi0，i1，n.记 根据切比雪夫不等式，有故选(C).【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态总体抽样分布公式知应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 应选(C).【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 因 EXi2 DXi(EX i)2 2 2， ，所以有应选(C).【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 0928【试题解析】 由于 EX
9、4，DX08，EY1，DY1，所以 E(XY)EXEY 5，D(XY)DXDY18根据切比雪夫不等式P0XY ，即 P0XY100928【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 0【试题解析】 由于 X1，X 2，相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i1，2，DY i22)，因此根据切比雪夫大数定律，当 n时(Xi 一 i)依概率收敛于 0【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 11【试题解析】 依题意 X1，X n 相互独立且有相同的概率分布：PX ik (k1，2，3，4，5)，与相同的数学期望：EX i (12345)3根据辛钦大数定律，当 n时， 依概率收敛于 3同理，
10、X 12，X n2相互独立且 PXi2 (k1，2，3，4，5)，EX i2 (1491625)11，当n 一时 依概率收敛于 11【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 总体 X 的概率分布为 ，此概率分布也可以表示为于是样本 X1，X 2，X n 的概率分布为如果记 ，则样本 X1，X 2，X n 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 t，2，n-1【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 相互独立同服从分布N(0，1)，所以 X1 一 X2 与 X32X 42 相互独立，X 1 与 也相互独立，且有即 Y1 与 Y2 都服
11、从 t 分布，分布参数分别为 2 和 n 一 1【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 N(0， 2)，【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X 15 相互独立且都服从分布N(0， 2)，所以 X12X 102 与 X112X 152 相互独立，由于 N(0，1)，因此【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 依题意 XiN(0 ， 2)，Y iN(0， 2)且相互独立，所以U 与 V 相互独立，由 t 分布典型模式知【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由于 Xi 服从泊松分布，故
12、EXiDX i，又因 xX1，X n 相互独立，所以根据独立同分布的列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 一 n 近似服从正态分布 N(n，n)，因此 Sn 近似服从正态分布 N(nn ，n) 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 设 100 名中第 i 名运动员身高为 Xi，i1，100，可以认为X1，X 2，X 100 相互独立同分布，且 EXi，DX i16，应用独立同分布中心极限定理， 近似服从正态分布 N(，04 2)，于是 P1 1P 1P 2 (2.5)10.9876.【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 设 500 粒麦种中发芽粒数为 X
13、，则 X 近似服从二项分布B(500，08)由于 n500 相当大，根据拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(400，80) ，于是有【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设 X 表示 100 个题中他能选对的题数，则 X 服从二项分布B(100，025)，从而 EX25，DX1875，应用拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(25，1 875)，于是 PX401PX4011 (3.46)0.0003.【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设至少购买 n 件，n 件中合格品数为 X，易见 X 服从二项分布B(n，09) ，且 n100，根据拉普拉斯中
14、心极限定理，X 近似服从二项分布N(09n ，009n) 依题意 PX1000.975，即 0.975PX100解方程 n119.【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (I)由于 XB(1，p)，故 X 的概率分布为 ，从而B(n，P)于是 Pn kC nkpk(1 一 p)nk ，k0，1，2，n，即 P C nkpk(1 一 p)nk ，k0，1，2，n，其中，因为 Xi 取值 0 或 1，故 Xi2X i【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X n 相互独立与 X 同分布，且 与 S2 相互独立，于是又因【知识模块】 概率论
15、与数理统计20 【正确答案】 由于 Xi 独立同分布，则有 X1N(0 ，4)，X 2X 3N(0，8)，X4X 5X 6N(0，12) ，X 7X 8X 9X 10N(0 ，16)于是 X1， (X2X 3)，(X4X 5X 6)， (X7X 8X 9X 10)相互独立都服从标准正态分布N(0，1)由 2 分布的典型模式可知 X12， (X2X 3)2， (X4X 5X 6)2， (X7X 8X 9X 10)2-2(4).所以，当 时，Q 服从自由度为 4 的 2 分布【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由于 相互独立，所以 与 相互独立，与 也相互独立 .因此(EE)E()【
16、知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 (I)由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明因为X1，X n 相互独立且与总体 X 同分布，故 EXI DX i 2，()由于总体 XN(0， 2)，故 EXi0，DX i 2【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 查2 分布的上分位数表，得知 P2(15)3058001，因此 P 30585)099，即【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由于 都服从正态分布 N(， )，且 相互独立，则查标准正态分布表，得258，n133因此 n 至少应为 14【知识模块】 概率论与数理统计
