1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（A）(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量（B） Z=X+Y 是服从均匀分布的随机变量（C） Z=X-Y 是服从均匀分布的随机变量（D）Z-X 2 是服从均匀分布的随机变量2 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x， y)，则随机变量 Z=Y-X 的概率密度 fZ(z)= ( )3 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN ，则概率 PX-Y1 ( )（A）随 1 与 2 的减少而减少（
2、B）随 1 与 2 的增加而增加（C）随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加（D）随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少4 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y B(n，p)(0p1)，则 X+Y的分布函数 ( )（A）为连续函数（B）恰有 n+1 个间断点（C）恰有 1 个间断点（D）有无穷多个间断点5 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元的，2 张为 5 元的今从中任取 3 张，则奖金的数学期望为 ( )（A）6（B） 78（C） 9（D）112二、填空题6 设二维随机变量的分布律为 则随机变量 Z=Y.minX，Y 的分布律为 _7 设随机变量 X 与
3、Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，则随机变量的概率密度为_8 一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为010，020，030，设备部件状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，则 X 的方差 DX 为_9 设随机变量 X 的概率密度为 为_10 设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，记 则E(X1+X2)为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设随机变量 X 的概率密度为 已知EX=2，P1 X3= ，求11 a，b，c 的值；12 随机变量 Y=eX 的数学期望和方差13 设(X，Y)的概率密度为 求的数学期望14 在长为 L
4、 的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差15 设 X，Y 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量，求 E(X-Y)与 D( X-Y)15 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，均服从正态分布 N(， 2)，求：16 maxX，Y的数学期望；17 minX，Y 的数学期望18 设 X，Y 相互独立同分布，均服从几何分布 PX=k)=qk-1p，k=1 ，2，求E(maxX，Y)18 设连续型随机变量 X 的所有可能值在区间a，b之内，证明：19 aEXb；20 DX21 对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p1，p 2，p 3，求产生故障仪器的台数 X 的数学期望和方差22 一
5、商店经销某种商品，每周进货量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500 元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值23 袋中有 n 张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取 k 张，以 X表示所得号码之和，求 EX，DX24 设 X 与 Y 为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=EY-(a+bX) 2，求 a，b 使Q(a，b)达到最小值 Qmin，并证明：Q min=DY(1-2XY)25 设 X，Y，
6、Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求X-Y 和 Y-Z 的相关系数25 将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，以 X 表示经重排后还在原位置上的数字的个数26 求 X 的分布律；27 计算 EX 和 DX考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布时，(X，Y) 的概率密度为 所以，(X，Y) 是服从均匀分布的二维随机变量因此本题选(A)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 记 Z
7、的分布函数为 FZ(z)，则其中 Dz=(x，y)y-xz)如图3-1 的阴影部分所示，【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN ，从而由于 (x)是 x 的单调增加函数，因此当 1 增加时， 减少；当 2减少时 增加因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 记 Z=X+Y，则 Z 的分布函数是 n+1 个连续函数之和，所以为连续函数因此本题选(A) 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 记奖金为 X，则 X 全部可能取的值为 6，9，12，并且【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案
8、】 【试题解析】 Z 全部可能取值为 0，1，2，3，且 P(Z=0)=PY.minX，Y=0=PminX，Y=0=PX=0)= PZ=1=PY.minX，Y=1=PY=1，minX ，Y=1=PX=1，Y=1)= PZ=2=P(Y.minX，Y=2=PY=2，minX ，Y=1=PX=1，Y=2= PZ=3=PYmin(X，Y=3)=PY=3，minX ，Y=1=P(X=1，Y=3)= 所以 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 X 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 046【试题解析】 X 的全部可能取值为 0，1，2，3，且
9、PX=0=(1-010)(1-0 20)(1-030)=0504， PX=1=(1-010)(1-0 20)030+(1-0 10)(1-0 30)0 20+(1-020)(1-030)010=0398， PX=2=(1-010)0 20030+(1-020)010030+(1-030)010020=0092， PX=3=0 10020030=0 006， 所以EX=00504+10398+20092+30006=0 6， E(X 2)=020 504+120398+2 20092+3 20006=0 82 DX=E(X 2)-(EX)2=082-(06) 2=046【知识模块】 概率论与数理
10、统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 所以E(X1+X2)=EX1+EX2=e-1+e-2=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 解方程组【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为X，Y，则它们均在0，L上服从均匀分布，且 X，Y 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案
11、】 设 Z=X-Y，则 ZN(0，1)故【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设 ，则 U 和 V 独立同服从正态分布N(0，1)，X=U+，Y=V+，maxX，Y=(maxU，V)+，而【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由(1)得：minX，Y=(minU，V)+，而 minU，V= (U+V-U-V) 则 E(minU，V)=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 PmaxX，Y=n=PX=n，Yn+PXn，Y=n =PX=nPYn+PXnPY=n【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案
12、】 因为 aXb，所以 EaEXEb，即 aEXb【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 因为对于任意的常数 C 有 DXE(X-C) 2，取【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 X 的分布为由此计算 EX 和 DX 相当麻烦，我们利用期望的性质进行计算设Xi 的分布如下：于是 EX i=pi，DX i=pi(1-pi)，i=1，2 ，3故【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 T 为一周内所得利润，则其中【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设 Xi 为“ 第 i 张的号码”，i=1，2，k，则 Xi 的分布为【知识模块】 概率论与数理统计24
13、 【正确答案】 Q(a，b)=E(Y-(a+bX) 2=D(Y-a-bX)+E(Y-a-bx)2 =Dy+b2DX-2bCov(X，Y)+(EY-bEX-a) 2，解方程组【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 Cov(X-Y，Y-Z)=Cov(X，Y)-Cov(X，Z)-Cov(Y，Y)+Cov(Y ，Z)=-DY=-1， D(X-Y)=D(Y-Z)=2所以 X-Y 与 Y-Z 的相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 记 Ai=数字 i 在原位置上，i=1，2，n，则 表示至少有一个数字在原位置上则【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 令【知识模块】 概率论与数理统计
