1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 51 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个随机事件，其中 0P(A)1，P(B)0 且 P(BA)=P(B )，下列结论正确的是( ) （A）P(AB)=P( B)（B） P(AB)P( B)（C） P(AB)=P(A)P(B) （D）P(AB)P(A)P(B)2 设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（A）F(a+)+F(a 一 )=1（B） F(+a)+F( 一 a)=1（C） F(a)+F(一 a)=1（D）F(a 一 )+F( 一 a)=13 设
2、X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立4 设 X，Y 都服从标准正态分布，则( )（A）X+Y 服从正态分布（B） X2+Y2 服从 2 分布（C） X2，Y 2 都服从 2 分布（D）X 2Y 2 服从 F 分布5 下列命题不正确的是( )（A）若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立（B）常数与任何随机变量独立（C）若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立（D）若 P(AB)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容6 设随
3、机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（A）X，Y 一定相互独立（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X，Y 不一定相互独立（D）X+Y 服从一维正态分布二、填空题7 设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)=07，P(A B)=03，则 P( )=_8 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X+2)=8，则=_9 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0=_10 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且 X1U0，6，X 2N(0，2 2)，X 3P(3) ，记 Y=X12X2+3X3，则
4、 D(Y)=_11 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则D(S2)=_12 设 P(A)=06， =_13 设每次试验成功的概率为 p= ，X 表示首次成功需要试验的次数，则 X 取偶数的概率为_14 设随机变量 XP()，且 E(X 一 1)(X 一 2)=1，则 =_15 设 XN(1， 2)，YN(2， 2)为两个相互独立的总体，X 1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y N 分别为来自两个总体的简单样本，S 12= 服从_分布16 设 XN(， 2)，其中 2 已知， 为未知参数，从总体 X 中抽取容量为 16 的简单随机样本，且
5、的置信度为 095 的置信区间中的最小长度为 0588，则2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= 17 求常数 A；18 求(X，Y)落在区域 x2+y2 内的概率19 设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，yN(0 ，1)，求 Z=2XY+3 的密度20 一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)21 设总体 X 的密度函数为 f(x，)= (一 x+)，求参数 的矩估计量和最大似然估计
6、量21 设总体 X 的密度函数为 f(x)= ，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的简单随机样本22 求 的矩估计量 ；23 求 D( )24 设随机变量 XE()，令 Y= ，求 P(XY=0)及 FY(y)24 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ex (一 x+)25 求 E(X)，D(X)；26 求 Cov(X，X)，问 X，X是否不相关?27 问 X，X是否相互独立?28 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立且在0， a上服从均匀分布，令U=maxX1， X2，X n，求 U 的数学期望与方差29 某种食品防腐剂含量 X 服从 N(， 2)分布，从总体中任取 20
7、 件产品，测得其防腐剂平均含量为 =102，标准差为 s=05099，问可否认为该厂生产的产品防腐剂含量显著大于 10(其中显著性水平为 =005)?考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 51 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 整理得 P(AB)=P(A)P(B)，正确答案为 (C)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=0，又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D
8、(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X，Y 不一定相互独立，所以 X+Y 不一定服从正态分布，同理(B)， (D)也不对，选(C)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 D【试题解析】 P(A)=0 时，因为 AB A，所以 P(AB)=0，于是 P(AB)=P(A)P(B)，即 A，B 独立；常数与任何随机变量独立；若 P(A)=1，则 独立，则 A，B 也独立；因为 P(A+B)=P(A)+P(B)，得 P(AB)=0，但 AB 不一定是不可能事件，故选(D)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 C【试题解析】 只有当(X
9、，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，(A)不对；若X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，(B)不对；当 X，Y 相互独立时才能推出 X+Y 服从一维正态分布，(D)不对，故选(C) 【知识模块】 概率统计二、填空题7 【正确答案】 06【试题解析】 由 P(AB)=P(A)一 P(AB)=03 及 P(A)=07，得 P(AB)=04，则=1 一 P(AB)=06【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计9 【正确答案
10、】 2(1 一 p)n 一(1 一 p)2n【试题解析】 令 A=(X=0)，B=(Y=0)，则 Pmin(X ，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(X=0)+P(Y=0)一 P(X=0，Y=0)=2(1 一 p)n 一(1 一 p)2n【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 46【试题解析】 由 D(X1)= =3，D(X 2)=4，D(X 3)=3 得 D(Y)=D(X12X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16+27=46【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 【试题解析】 由
11、=P(AB)=P(A)一 P(AB)=02 及 P(A)=06 得 P(AB)=0 4，再由 =P(BA)=P(B)一 P(AB)=03 得 P(B)=07，所以【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 由 PX=k=(1-p) k1 p(k=1，2，)(其中 p= )，得【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 1【试题解析】 因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X2)=D(X)+E(X)2=2+ 由 E(X-1)(X-2)=E(X23X+2)=E(X2)一 3E(X)+2=2 一 2+2=1 得 =1【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 【试题解析】 【
12、知识模块】 概率统计16 【正确答案】 036【试题解析】 在 2 已知的情况下， 的置信区间为 ，于是有【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 由 1= dx f(x，y)dy= 【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z=2XY+3 服从正态分布，由 E(Z)=2E(X)一 E(Y)+3=5， D(Z)=4D(X)+D(Y)=9，则 Z 的密度函数为 fZ(z)= 【知识模块】 概率统计20
13、 【正确答案】 令 Xi= (i=1，2，10)，显然 X=X1+X2+X10，因为任一旅客在第 i 个站不下车的概率为 09，所以 20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 09 20，从而第 i 个站有人下车的概率为 10 920，即 Xi 的分布律为 于是E(Xi)=10 920(i=1，2，10)，从而有 E(X)= E(Xi)=10(1 一 09 20)=8784 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 显然 E(X)=0，【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 E(X)= xf(x)dx=0 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率统
14、计24 【正确答案】 P(X+Y=0)=P(Y= 一 X)=P(X 1)=P(X1)+P(X一 1) =P(X1)=1 一 P(X1)=1 一 FX(1)=e FY(y)=P(Yy)=P(Yy，X 1)+P(Yy，X 1) =P(Xy，X1)+P(一 Xy，X 1)+P(一 XY，X一 1) =P(Xy，0 X1)+P(X一 y，X1) 当 y一 1 时，F Y(y)=P(X一 y)=ey； 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 E(X)= xf(x)dx=0，D(X)=E(X 2)一E(X) 2= x2f(x)dx=0 x2eX dx= =2【知识模块】 概率统计2
15、6 【正确答案】 因为 Cov(X，X)=EXX一 E(X)E X=EX X = xxf(x)dx=0 ， 所以 X，X不相关【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 对任意的 a0，PXa，X a=P Xa，而 0P(Xa)1，所以 PXa，XaPXaP(Xa) ，故X，X 不相互独立【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 F U()=P(U)=Pmax(X 1，X 2，X n)=PX 1，X 2，X n【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 令 H0：10，H 1：10 选统计量 t= ，查表得临界点为t(n1)=t005 (19)=17291，而 ，接受 H0，即可以认为该厂产品防腐剂显著大于 10 毫克【知识模块】 概率统计
