1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 0P(A)1，0P(B)1，且 P(AB)+ =1，则下列结论正确的是( )（A）事件 A，B 互斥（B）事件 A，B 独立（C）事件 A，B 不独立 （D）事件 A，B 对立2 设随机变量 XU1，7，则方程 X2+2Xx+9=0 有实根的概率为 ( )3 设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aX 一 bY)，下列结论正确的是( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） X，Y 不相关（C） X，Y 独立（D）X，Y
2、不独立4 设随机变量 XF(m，m)，令 P=P(X1)，q=P(X1) ，则( )（A）pq（B） pq（C） p=q（D）p，q 的大小与自由度 m 有关5 设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B 不等价的是( )6 设随机变量 X，Y 相互独立，且 ，则与 Z=YX 同分布的随机变量是( )（A）XY（B） X+Y（C） X 一 2Y（D）Y 一 2X7 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 XN( ， 2)的简单随机样本，记 ，则服从 t(n1) 分布的随机变量是 ( )8 从正态总体 XN(0, 2)中抽取简单随机样本 X1， X2，X n，则可作为参数 2的无偏
3、估计量的是( ) 二、填空题9 设 P(A)=04，且 P(AB)= ，则 P(B)=_10 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 a=_11 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x， y)= ，则a=_，P(XY)=_12 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)=_， D(Y)=_13 设总体 XN(2，4 2)，从总体中取容量为 16 的简单随机样本，则( 一 2)2_14 独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10，B=XY ，则 P(A+B)=_15 设随机变量 x 的概率密度为 fX(x)= (一 x +)
4、，Y=X 2 的概率密度为_16 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为 Y ，则P(X+2Y4)=_17 设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 X 在区间一 2，2 上服从均匀分布，令 Y= ，求：18 Y，Z 的联合分布律；19 D(Y+Z)20 设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 则在 Y=1 的条件下求随机变量 X 的条件概率分布21 在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差22 设总体 X 的概率密度为
5、f(x)= ，其中 一 1 是未知参数，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求参数 的估计量22 甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 5023 甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；24 甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率24 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1 ，3 2)，Y N(0 ，4 2)且X，Y 的相关系数为 25 求 E(Z)，D(Z)；26 求 XZ；27 X，Z 是否相互独立? 为什么 ?28 电信公司将 n 个人的电话资费单寄给
6、n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)29 某生产线生产白糖，设白糖重量 XN(，15 2)，现从生产线上任取 10 袋，s=3023，在显著性水平 =005 下，问机器生产是否正常 ?考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 52 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 ，则事件 A，B 是独立的，正确答案为 (B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 D(aX+bY)=a
7、2D(X)+b2D(Y)+2abCov(X，Y) ， D(aX 一 bY)=a2D(X)+b2D(Y)一 2abCov(X，Y)， 因为 D(aX+bY)=D(aX 一 bY)，所以 Cov(X，Y)=0，即 X，Y 不相关，选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 C【试题解析】 XF(m，m) ，所以 ，故 p=q，选 (C)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 D【试题解析】 A+B=B 等价于 AB=A，AB=A 等价于 A =AAB，则 等价于 AB=A，所以选 (D)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 B【试题解析】 Z=Y X N(1，1)，因为 XYN(一 1，1)
8、，X+YN(1，1)，X一 2y ，所以选(B)【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 为 2 的无偏估计量，选(A)【知识模块】 概率统计二、填空题9 【正确答案】 06【试题解析】 因为 =1 一 P(A+B)，所以 P(AB)=1 一 P(A+B)=1 一 P(A)一 P(B)+P(AB)，从而 P(B)=1 一 P(A)=06【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 2【试题解析】 PX1= 1af(x)dx=1a ，则 a=2【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 a=6，P(X Y)=【试题解析】 由
9、1=a0 e2x dx0 e3y dy，得 a=6，于是 f(x，y)= ， PXY= 0 dx0x6e2x3y dy=20 e2x (1 一 e3x )dx= 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 E(Y)=5，D(Y)=32【试题解析】 因为 XP(2)，所以 E(X)=D(X)=2，于是 E(Y)=4E(X)一 3=5， D(Y)=16D(X)=32【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 2(1)【试题解析】 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【试题解析】 P(A)=PX=4，Y=6+PX=5，Y=5+PX=6，Y=4= ， P(B)=PX=2，Y=1+PX=3，Y=1 +
10、P X=3，Y=2+PX=4 ，Y=3+PX=4，Y=2+PX=4，Y=1+PX=5，Y=4+PX=5 ，Y=3+PX=5，Y=2+PX=5，Y=1+PX=6，Y=5+PX=6 ，Y=4P X=6，Y=3 +PX=6，Y=2+PX=6，Y=1= P(AB)=PX=6，Y=4= ，则 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)= 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=P(X2y)当 y0 时，F Y(y)=0；当 y0 时，F Y(y)=P(X2y)=P( )【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 0.46587【试题解析】 P(X 2Y4)=P
11、(Y=1)P(X42YY=1)+P(Y=2)P(X4 2YY=2)+P(Y=3)P(X42YY=3)【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 5【试题解析】 X 的分布律为 P(X=k)=0208 k 1，k=1 ，2，【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 因为 X 在区间一 2，2上服从均匀分布，所以 fX(x)= (Y，Z)的可能取值为(一 1，一 1)，(一 1， 1)，(1，一 1)，(1，1)P(Y=一1，Z=一 1)=P(X1，x1)=P(X一 1)=2 1 ；P(Y=一 1，Z=1)=P(X 一1，X1)
12、=0；P(Y=1，Z= 一 1)=P(X1，X1)=P(一 1X1)=1 1 ；P(Y=1，Z=1)=P(X 一 1，X1)=P(X1)= 12 ；(Y，Z) 的联合分布律为【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 因为 P(Y=1)=06，【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=XY，X，Y 的边缘密度为 因为 X，Y 独立，所以(X， Y)的联合密度函数为 f(x，y)= ，于是 E(U)=EX Y= dx xyf(x ，y)dy【知识模块】 概率统计22 【正确
13、答案】 (1)由于总体的均值为 E(X)= xf(x)dx=01(+1)x1 dx= ，令 E(X)= (2) 设(x 1，x 2，x n)为来自总体(X 1，X 2，X n)的观察值，则关于参数 的似然函数为【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 设 A=甲击中目标， B=乙击中目标， C=击中目标，则 C=A+B，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A)P(B)=06+05 0605=08【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 设 A1=选中甲， A2=选中乙， B=目标被击中，则P(A1)=P(A2)= ，P(B
14、A 1)=06，P(BA 2)=0 5，【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 Cov(X，Z)= =0【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 X，Z 相互独立【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 令 Ai=第 i 个人收到自己的电话资费单，i=1，2，n，X i=，i=1 ， 2，n，则 X=X1+X2+Xn【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 令 H0： 2152，H 1： 215 2，因为 2 已知，所以取统计量 ，=36554 16919，所以 H0： 2152 被拒绝，即机器不能正常工作【知识模块】 概率统计
