1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 是相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则下列给出的四对事件中不相互独立的是( ) 2 设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则 ( )（A）X，Y 独立（B） X，Y 不独立（C） X，Y 相关（D）X，Y 不相关3 设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是 ( )（A）A 与 BC 相互独立（B） AB 与 A+C 相互独立（C） AB 与 AC 相互独立（D）AB 与 A+C 相互独立4 设随机变量
2、X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(一 a)=1 一 0af(x)dx （B） F(一 a)= 一 0af(x)dx（C） F(一 a)=F(a)（D）F(一 a)=2F(a)一 15 设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（A）一 1（B） 0（C）（D）16 设 Xt(n) ，则下列结论正确的是( ) （A）X 2F(1，n)（B） F(1 ，n)（C） X2 2(n)（D）X 2 2(n1)二、填空题7 设 A，B 为两个随机事件，则 =_8 一工人同时独立
3、制造三个零件，第 k 个零件不合格的概率为 (k=1，2，3)，以随机变量 X 表示三个零件中不合格的零件个数，则 P(X=2)=_9 设随机变量 XN(0， 2)，YN(0，4 2)，且 P(X1，Y一 2)= ，则P(X1，Y一 2)=_10 若随机变量 XN(2， 2)，且 P(2X4)=03，则 P(X0)=_11 设随机变量 XN(1，2)，YN( 一 1，2)，ZN(0 ，9) 且随机变量 X，Y ，Z 相互独立，已知 a(XY) 2bZ 2 2 (n)(ab0)，则a=_，b=_，n=_12 设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 ，则 P(A)=_13
4、设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= ，则 Pmax(X，y)1=_14 设随机变量 X，Y 不相关，XU(一 3，3)，Y 的密度为 fY(y)= ，根据切比雪夫不等式，有 PX Y3_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 袋中有 12 只球，其中红球 4 个，白球 8 个，从中一次抽取两个球，求下列事件发生的概率：15 两个球中一个是红球一个是白球；16 两个球颜色相同17 设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布17 设二维随机变量(X，Y)
5、的联合密度 f(x，y)= 18 求 c；19 求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立?20 求 Z=max(X，Y)的密度21 设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布22 设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)，令 Z= ，求 E(Z)，D(Z)23 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 20 是总体 X 的简单样本，求统计量 U=所服从的分布24 设总体 X 的密度函数为 f(x)= ，X 1，X
6、2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求参数 的最大似然估计量24 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表25 求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；26 设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q26 设随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布，令 27 求(U，V)的联合分布；28 求 UV29 设总体 X 的概率分布为 (0 )是未知参数，用样本值3，1，3，0，3，1，2，3 求 的矩估计值和最大似然估计
7、值考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov(X，Y)-E(XY)E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(X)E(Y)，则有 Cov(X，Y)=0，于是 X，Y 不相关，选(D) 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 A【试题解析】 在 A，B，C 两两独立的情况下，A，B，C 相互独立 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)，所以正确答案为(A) 【知识模块】 概率统
8、计4 【正确答案】 B【试题解析】 F(-a)= a f(x)dx a f(-t)dt=a f(t)dt=1 一 af(t)dt=1( a f(t)dt a af(t)dt)=1F( a)2 0af(t)dt 则 F(a)= 0af(x)dx，选(B)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 A【试题解析】 设正面出现的概率为 p，则 XB(n，p) ，Y=n 一 XB(n ，1 一 p)，E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(Y)=n(1 一 p)，D(Y)=np(1 一 p)，Cov(X，Y)=Cov(X，n 一 X)=Cov(X，n)=Cov(X，X)，因为 Cov(X，n)=
9、E(nX) 一 E(n)E(X)=nE(X)一 nE(X)=0，Cov(X，X)=D(X)=np(1 一 p)，所以 XY= =一 1，选(A)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率统计二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 令 Ak=第 k 个零件不合格(k=1，2，3)，【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 02【试题解析】 由 P(2X4)=03 得 ，则 P(X0)= =02【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 ，n=2【试题解析】
10、 由 XN(1，2)，YN( 一 1，2)，ZN(0，9)，得 X+YN(0，4)且【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 【试题解析】 根据题意得【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 e 2 +e3 一 e5【试题解析】 由 FX(x)=F(x，+)= ，得 XE(2)，同理 YE(3)，且 X，Y 独立Pmax(X ，Y)1=P(X1 或 Y1)=1 一 P(X1，Y1)=1 一 P(X1)P(Y1)=1 一 FX(1)FY(1)=1 一(1 一 e2 )(1 一 e3 )=e2 +e3 一 e5【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【试题解析】 E(X)=0，D(X)=3，E(
11、Y)=0，D(Y)= ，则 E(XY)=0，D(XY)=D(X)+D(Y)一 2Cov(X， Y)= ，所以 P XY 3=P(X Y)一 E(XY)31 一 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 令 A=抽取的两个球中一个是红球一个是白球，则 P(A)= 【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 令 B=抽取的两个球颜色相同，则 P(B)= 【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 1=c 0 dx0 xex(y1) dy= =1【知识模块】 概率统计1
12、9 【正确答案】 当 x0 时，f X(x)=0；当 x0 时， fX(x)=0 xex(y1) dy=ex 当y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时，f Y(y)=0 xex(y1) dx= 显然当 x0，y0 时，f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不相互独立【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 当 z0 时，F Z(z)=0；当 z0 时，F Z(z)=P(Zz)=Pmax(X ，Y)z =P(Xz，Yz)= 0zdx0zxex(y1) dy=1e z ，f Z(z)= 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 因为 X 与
13、Y 相互独立，且 XN(0， 2)，Y N(0 ， 2)，【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 设 Ai=所抽取的报名表为第 i 个地区的(i=1，2，3)，B i=第j 次取的报名表为男生报名表(j=1，2) ，则【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 ，(U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1 ，0)，(1，1)P(U=0，V=1)=P(XY ，X2Y)=0 ；P(U=1，V=0)=P(X Y ，X2Y)=P(YX2Y)= ；P(U=0，V=0)=P(XY，X2Y)=P(XY)= ；【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 E(X)=0 212(1 一 )+22+3(12)=34， L()=22(1 一 )22(12)4=46(1 一 )2(12)4，lnL()=ln4+6ln+2ln(1 一 )+4ln(12)，【知识模块】 概率统计
