1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 Xi (i=1，2)，且满足 P(X1X2=0)=1，则 P(X1=X2)等于( ) （A）0（B）（C）（D）12 若 E(XY)=E(X)E(Y)，则 ( )（A）X 和 Y 相互独立（B） X2 与 Y2 相互独立（C） D(XY)=D(X)D(Y)（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)3 连续独立地投两次硬币，令 A1=第一次出现正面， A2=第二次出现正面 ，A3=两次中一次正面一次反面，A 4=两次都出现正面，则 ( )（A）A 1，A 2，A 3
2、 相互独立（B） A1，A 2，A 3 两两独立（C） A2，A 3，A 4 相互独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立4 设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，为使得 F(x)=aF1(x)+bF2(x)为某一随机变量的分布函数，则有( )5 设随机变量 XU一 1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的关系系数为( ) （A）一 1（B） 0（C）（D）16 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本， 与 S2 分别为样本均值与样本方差，则( )二、填空题7 设 P(A)=P(B)=P(C)= ，P(AB
3、)=0,P(AC)=P(BC)= ，则 A，B，C 都不发生的概率为_8 设随机变量 X 的分布律为 X ，则 Y=X2+2 的分布律为_9 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU1，3，Y B(10， )，ZN(1，3 2)，且随机变量 U=X+2Y 一 3Z+2，则 D(U)=_10 若总体 XN(0，3 2)，X 1，X 2，X 9 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y= 服从_ 分布，其自由度为_ 11 随机向区域 D：0y (a0) 内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 的概率为_12 设 X，Y 相互独立
4、且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=minX ，Y，则P(0Z1)=_13 (1)将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)=_(2)设随机变量 X1，X 2，X 10。相互独立且Xi(i)(i=1，2，10)，Y= ，根据切比雪夫不等式，P4y7_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 一个盒子中 5 个红球，5 个白球，现按照如下方式，求取到 2 个红球和 2 个白球的概率14 一次性抽取 4 个球；15 逐个抽取，取后无放回；16 逐个抽取，取后放回17 10 件产品有 3 件次品，7 件正品，每次从中任取一件，取后不放回
5、，求下列事件的概率：(1)第三次取得次品；(2)第三次才取得次品；(3)已知前两次没有取到次品，第三次取得次品；(4)不超过三次取到次品18 设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X 的分布律与分布函数18 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 f(x，y)= 求：19 X，Y 的边缘密度；20 21 设 X，Y 相互独立，且 XB(3， )，YN(0，1)，令 U=maxX，Y)，求P1U1 96( 其中 (1)=0841，(196)=0975)22 设 XU(一 1，1) ，Y=X 2，判断 X，Y 的独立性与相关性23
6、 设总体 XN(0，2 2)，X 1，X 2，X 30 为总体 X 的简单随机样本，求统计量所服从的分布及自由度24 设某元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x；)= ，其中 0 为未知参数，又设(x 1， x2，x n)是样本(X 1，X 2，X n)的观察值，求参数 的最大似然估计值24 设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t) 25 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；26 求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率27 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y) 的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部
7、分数值，试将其余的数值填入表中空白处27 设随机变量 X1，X 2，X mn (mn)独立同分布，其方差为 2，令Y= Xi，Z= Xmk 求：28 D(Y)，D(Z) ；29 YZ30 设总体 XF(x，)= ，样本值为 1，1，3， 2，1，2，3，3，求 的矩估计和最大似然估计考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得 P(X1=一 1，X 2=一 1)=P(X1=一 1，X 2=1)=P(X1 一 1，X 2=一 1)=P(X1=1，X 2=1)=0P(X1=一 1，X
8、 2=0)=P(X1=一 1)= ，P(X 1=1，X 2=0)=P(X1=1)= ，P(X 1=0，X 2=一 1)=P(X2=一 1)= ，P(X 1=0，X 2=1)=P(X2=1)=，故 P(X1=0，X 2=0)=0，于是 P(X1=X2)=P(X1=一 1，X 2=一 1)+P(X1=0，X 2=0)+P(X1=1，X 2=1)=0，选(A)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(
9、Y)，正确答案为(D)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 P(A3A4)=0，所以 A2，A 3，A 4 不两两独立，(C) 、(D)不对；因为 P(A1A2A3)=0P(A1)P(A2)P(A3)，所以 A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立，选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 根据性质 F(+)=1，得正确答案为 (D)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 A【试题解析】 当 PY=aX+b=1(a0)时，XY=1；当 PY=aX+b=1(a 0)时，XY=一 1因为 arcsinx+arccosx= ，所以 UV=一 1，选(A
10、)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 A，B，C 都不发生的概率为 =1 一 P(A+B+C)，而 且 P(AB)=0，所以 P(ABC)=0，于是 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一P(BC)+P(ABC)= ，故 A，B，C 都不发生的概率为 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 Y 的可能取值为 2，3，6，P(Y=2)=P(X=0)= ，P(Y=3)=P(X= 一1)= ，【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统
11、计10 【正确答案】 ，自由度为 9【试题解析】 因为 XiN(0，3 2)(i=1，2，9)，所以 N(0，1)(i=1，2，9)且相互独立，故 Y= ，自由度为 9【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 【试题解析】 由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得 因为 X，Y 相互独立，所以FZ(z)=P(Zz)=1 一 P(Zz)=1 一 Pmin(X，Y) z=1 一 P(Xz ，Y z)=1 一P(Xz)P(Yz)=1 一1 一 P(Xz)1 一 P(Yz)=1 一1 一 FX(z)1 一 FY(z)于是P(0Z1)=F Z(1)
12、一 FZ(0)= 【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 (1) (2)【试题解析】 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 设 A1=一次性抽取 4 个球其中 2 个红球 2 个白球，则 P(A1)= 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 设 A2=逐个抽取 4 个球，取后不放回，其中 2 个红球 2 个白球，则 P(A2)= 【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 设 A3=逐个抽取 4 个球，取后放回，其中 2 个红球 2 个白球，则 P(A3)= 【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 设 Ai=第 i
13、 次取到次品(i=1 ，2，3)【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 X 的可能取值为 1，2，3，【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 f X(x)= f(x，y)dy=【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 P(U)=Pmax(X ，Y)=P X，Y =P(X)P(Y)，P(U196=P(X196)P(Y1 96)=P(X=0)+P(X=1)P(Y196)= =04875P(U1)=P(X1)P(Y1)= =04205 ，则 P(1U196)=P(U196)一 P(U1)=0067【知识模块】 概率统计22 【正确答
14、案】 cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，E(X)=0,E(XY)=E(X 3)=1 1 DX=0，因此 Cov(X，Y)=0，X，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 因为 X1，X 2，X 20 相互独立且与总体 XN(0，2 2)服从同样的分布，【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 T 的概率分布函数为 F(t)=P(Tt)，当 t0 时，F(t)=0；当 t0 时，F(t)=P(Tt)=1 一 P(Tt)=1 一 P(N=0)=1 一 et ，所以 F(t)= ，
15、即 TE() 【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 所求概率为 p=P(T16T8)= =e8 【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 因为 X1，X 2，X mn 相互独立，所以【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 Cov(Y，Z)=Cov(X 1+Xm)+(Xm1 +Xn)，X m1 +Xmn =Cov(X1+Xm，X m1 +Xmn )+Cov(Xm1 +Xn，X m1 +Xmn )=D(Xm1 +Xn)+Cov(Xm1 +Xn，X n1 +Xmn )=(n 一 m)2 则 YZ= 【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 (1) (2)L(1，1，3，2，1，2，3，3；)=P(X=1)P(X=1)P(X=3)= 32(12)3，lnL()=5ln+3ln(12)，令 =0 得 的最大似然估计值为 【知识模块】 概率统计
