1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(-Xa ，Y y)，则下列结论正确的是( ) （A）1F(一 a，y)（B） 1F( a，y 一 0)（C） F(+，y0) F( 一 a，y0)（D）F(，y)F(一 a，y)2 设(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X，Y的相关系数为 XY=一 05，且 P(aX+bY1)=0 5，则( )二、填空题3 有 16 件产品，12 个一等品，4 个二等品，从
2、中任取 3 个，至少有一个是一等品的概率为_4 设随机变量 X 的概率密度函数为 fX(x)= ，则 Y=2X 的密度函数为 fY(y)=_5 随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 D(X)=_6 设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则UV=_7 若随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，则根据切比雪夫不等式得 P 2 _8 设(X 1，X 2，X n，X n1 ，X nm )为来自总体 XN(0， 2)的简单样本，则统计量 U= 服从_ 分布9 某产品废品率为 3，采用新技术后对产品重新进行抽样检验，检
3、查是否产品次品率显著降低，取显著性水平为 005，则原假设为 H0：_，犯第一类错误的概率为_10 三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 ，则一次试验中 A 发生的概率为_11 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 f(x，y)= ，则 P(X5Y3)=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 甲乙丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为3，5，8，求任取一件产品是次品的概率12 设 Xf(x)= 13 求 F(x)；14 求 15 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)= (1)求常数 A，B；(2)求 X 的密度函数 f
4、(x)；(3) 求 P(X )15 设(X，Y)f(x ，y)= 16 判断 X，Y 是否独立，说明理由；17 判断 X，Y 是否不相关，说明理由；18 求 Z=X+Y 的密度19 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)20 设总体 XN(，25)，X 1，X 2，X 100 为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 15 的概率21 袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的概率(1ka+b)21 设随机变量 X，Y 独
5、立同分布，且 P(X=i)= ，i=1 ，2，3，设随机变量U=maxX ， Y，V=minX，Y22 求二维随机变量(U，V)的联合分布；23 求 Z=UV 的分布；24 判断 U，V 是否相互独立?25 求 P(U=V)26 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X ，又设向量组 1， 2， 3 线性无关，求 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的概率26 设 X1，X 2，X n(n2)是来自总体 XN(0 ，1)的简单随机样本，记 Yi=Xi(i=1，2，n)求：27 D(Yi)；28 Cov(Y1，Y n)29 设总体 X 的密度函数为 f(x)= 为未知参数，a0 为已知参数，求 的极
6、大似然估计量考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 P( 一 Xa，Yy)=P(X 一 a，Yy)因为 P(Yy)=P(X一 a，Yy)+P(X一 a，Yy)，所以 P(X一 a，Yy)=P(Yy)一 P(X一 a，Yy)=F(+，y=0) 一 F(一 a，y 一0)，选 (C)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aX+bY 服从正态分布， E(aX+bY)=a+2b， D(aX+bY)=a 2+4b2+2abCov(X， Y
7、)=a2+4b2 一 2ab， 即aX+bYN(a+2b ，a 2+4b2 一 2ab)， 由 P(aX+bY1)=05 得 a+2b=1，所以选(D)【知识模块】 概率统计二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 设 A=抽取 3 个产品，其中至少有一个是一等品，则 P(A)= 【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 【试题解析】 E(X)= xf(x)dx=1 0x(1+x)dx+01x(1 一 x)dx=0，E(X 2)=1 1x2(1一x)dx=2 01x2(1 一 x)dx= ，则 D(X)=E(X2)一E(X) 2= 【知识模块
8、】 概率统计6 【正确答案】 【试题解析】 Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X 一 2Y)=9Cov(X，X) 一 4Cov(Y，Y)=9D(X)一 4D(Y)=32D(Y)由 X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，所以 UV= 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，所以 ，从而【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 p3，5【试题解析】 原
9、假设为 H0：p3，犯第一类错误的概率为 5【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 设一次试验中 A 发生的概率为 p，B=三次试验中 A 至少发生一次，【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 P(X 5Y3)= 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 令 A1=抽取到甲厂产品， A2=抽取到乙厂产品，A 3=抽取到丙厂产品，B= 抽取到次品，P(A 1)=06，P(A 2)=025，P(A 3)=015 ，P(BA 1)=003 ，P(B A 2)=005，P(BA 3)=008，由全概率公式得P(B)= P
10、(Ai)P(BA i)=060 03+0250 05+015008=425【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 F(x)=P Xx= xf(t)dt 当 x一 1 时，F(x)=0；当一 1x0 时，F(x)=1 x(1 t)dt= ；当 0x1 时，F(x)= 1 0(1+t)dt+0x(1 一 t)dt= ；当 x1时，F(x)=1【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 (1)因为连续型随机变量的分布函数是连续的，【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 0x1 时，f X(x)= f(x，y)dy
11、= 0x12y2dy=4x3，则 fX(x)= 因为当 0yx1 时，f(x ，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不独立【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 E(X)= xfX(x)dx=014x4dx= ，E(Y)= yfY(y)dy=0112y3(1 y)dy= ，E(XY)= dx xyf(x，y)dy=01dx0x12xy3dy= ，因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)= ，所以 X，Y相关【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 f Z(z)= f(x，z 一 x)dx，【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 令 Ai=第 i 个部件需要调整(i=1，
12、2，3)，X 的可能取值为0，1，2，3， E(X)=10398+20092+30006=06，D(X)=E(X 2)一E(X)2=120398+2 20092+3 20006036=046【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 基本事件数 n=(a+b)！，设 Ak=第 k 次取到黑球，则有利样本点数为 a(a+b 一 1)！，所以 P(Ak)= 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 由于 X，Y 相互独立，所以 P(U=V=i)=P(X=i，Y=i)=P(X=i)P(Y=i)= ， i=1， 2，3；P(U=2，V=1)
13、=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)= ； P(U=3，V=1)=P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=3)= ；P(U=3，V=2)P(X=3，Y=2)+P(X=2，Y=3)= ；P(U=1 ，V=2)=P(U=1，V=3)=P(U=2 ，V=3)=0所以 (U，V)的联合分布律为【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 P(Z=1)=P(UV=1)=P(U=1，V=1)= ；P(Z=2)=P(UV=2)=P(U=1，V=2)+P(U=2，V=1)= ；P(Z=3)=P(UV=3)=P(U=1，V=3)P(U=3，V=1)= ；P(Z=4)=P(UV=4)=P(U=2，V=2)= ；
14、P(Z=6)=P(UV=6)=P(U=2，V=3)+P(U=3，V=2)= ；P(Z=9)=P(UV=9)=P(U=3，V=3)= 所以Z 的分布律为【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 由于 P(U=1)=P(X=1，Y=1)= ，P(V=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=1)+P(X=3，Y=1)+P(X=1 ，Y=2)+P(X=1 ，Y=3)= 而 P(U=1)P(V=1)=，所以 U，V 不相互独立【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 P(U=V)=P(U=1，V=1)+P(U=2 ，V=2)+P(U=3，V=3)=【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 令 k1(
15、1+2)+k2(2X 3)+k3Y1=0，整理得(k 1+Yk3)1+(k1+k2)2 Xk23=0 因为 1， 2， 3 线性无关，所以有 又 1 2， 2+X3，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即 即 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的充分必要条件是 XY=0注意到 X，Y 相互独立，所以 1+2， 2+X3，Y 1线性相关的概率为 P(XY=0)=P(X=0，Y= )+P(X=1，Y=0)+P(X=0 ，Y=0)=P(X=0)P(Y= )+P(X=1)P(Y=0)P(X=0)P(Y=0)= 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n(n2)相互独立，【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率统计
