1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 取非负整数值，PX=n=a n(n1)，且 EX=1，则 a 的值为 ( )2 设 X1，X 2，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 (X1+X2+X3)，则 Y2 的数学期望为 ( )3 设 X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C 和 0，必有 ( )（A）PX-C=E( X-C)（B） PX-C E(X-C)（C） PX-C E(X-C)（D）PX-CDX 24 设随机向量(X，Y) 的概率密度 f(x，y)满足 f(x， y)=
2、f(-x，y)，且 xy 存在，则xy= ( )（A）1（B） 0（C） -1（D）-1 或 15 设随机向量(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X 与 Y 的相关系数为 xy= 且概率 PaX+bY1= ，则 ( )二、填空题6 已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，即 ，k=01 ，2 ，则随机变量 Z=3X-2 的数学期望 EZ=_7 设随机变量 X1，X 2，X 100 独立同分布，且EXi=0，DX i=0，i= ，2，100，令=_8 设随机变量 X 和 Y 均服从 B D(X+Y)=1，则 X 与 Y 的相关系 =_9
3、 设(X，Y) 的概率密度为 f(x，y)= 则 Cov(X，Y)=_10 已知随机变量 XN(-3，1)，Y N(2，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量Z=X-2Y+7，则 Z_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：11 方差 D(XY)；12 协方差 COV(3X+Y，X-2Y) 12 设随机变量 U 在-2，2 上服从均匀分布，记随机变量求：13 Cov(X，Y)，并判定 X 与 Y 的独立性；14 DX(1+Y)15 设 X 为随机变量，EX r(r0)存在，试证明：对任意 0 有16 若 DX=0004，利用切比雪夫不等式
4、估计概率 PX-EX0217 用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于 0918 若随机变量序列 X1，X 2，X n，满足条件 试证明：Xn服从大数定律19 某计算机系统有 100 个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有 10 个或更多个终端在使用的概率20 设 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，EX=，DX= 2 ，求 和E(S2)20 从装有 1 个白球、2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取 5 次得样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5记 Y=X1+X2+X5
5、，求：21 Y 的分布律，EY，E(Y 2)；22 ，S 2 分别为样本 X1，X 2， ，X 5 的均值与方差)23 若 X 2(n)，证明：EX=n，DX=2n 24 已知 Xt(n) ，求证：X 2F(1，n)25 设 X1，X 2，X m， Y1，Y 2，Y n 独立X iN(a， 2)，i=1，2 ， m，Y iN(b， 2)，i=1，2，n，而， 为常数试求 的分布26 一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 a：1现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X 为所抽到的白球个数这样做了 n 次以后，获得一组样本：X 1，X 2，X n 基于此，求未知参数 a 的矩估计
6、 和最大似然估计27 罐中有 N 个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 05)，其余 N- 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复 n 次，若掷出 0 次、1 次、2 次正面的次数分别为 n0，n 1，n 2，利用(1)矩法；(2) 最大似然法，求参数 的估计量28 设总体 X 的概率密度为 又设X1，X 2，X n 是来自 X 的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解
7、析】 得到a=(1-a)2，a 2-3a+1=0， ，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X1，X 2，X 3 相互独立且均服从 P()，所以 X1+X2+X3P(3) ，E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+x3)=3，【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 所以E(XY)=0同理，EX= ，所以 XY=0同理，当f(x，y)=f(x，-y)时，XY=0【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布 aX
8、+by 服从一维正态分布，又EX=1，EY=2，则 E(aX+bY)=a+2b，于是显然，只有1-(a+2b)=0 时，P(aX+by1)= 才成立，只有选项(D) 满足此条件【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 4【试题解析】 EZ=3EX-2=4【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 990【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 1【试题解析】 由题设 DX=DY= D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)= +2Cov(X，Y)=1，于是有【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 0【试题解析】 由于 D：0yx1 是由 y=-
9、x，y=x，x=1 三条线围成的，关于 x轴对称，所以 故 CoV(X，Y)=E(XY)-EXEY=0【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 N(0，5)【试题解析】 Z 服从正态分布， EZ=E(X-2Y+7)=EX-2EY+7=-3-4+7=0 DZ=D(X-2Y+7)=DX+22DY=1+4=5【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D(XY)=E(X 2Y2)-E(XV)2，【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 Cov(3X+Y，X-2Y)=3DX-5Cov(X，Y)-2Dy
10、=3DX-5E(XY)+5EXEY-2DY (X，Y) 关于 X 的边缘概率密度【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 X，Y 的全部可能取值为-1，1，且 PX=-1，Y=-1)=PU-1，U1=PU-1)= PX=-1，Y=1PU-1，U1=0，PX=1，Y=-1=PU -1，U1=P-1U1= PX=1，Y=1=PU-1，U1=PU 1= 所以(X ，Y)的分布律及边缘分布律为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 DX(1+Y)=D(X+XY)DX+D(XY)+2Cov(X，XY) =DX+D(XY)+2E(X2Y)-2EXE(XY)
11、此外，由于 XY 及 X2Y 的分布律分别为D(XY)=E(X2Y2)-E(XY)2=1-0=1， 将 代入得【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 若 X 为离散型，其概率分布为 PX=xi=pi，i=1，2，则若 X 为连续型，其概率密度为 f(x)，则【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由切比雪夫不等式【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设需掷 n 次，正面出现的次数为 Yn，则 YnB ，依题意应有所以 n250【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由切比雪夫不等式，对任意的 0 有所以对任意的0， 故X n服从大数定律【知识模块】 概
12、率论与数理统计19 【正确答案】 设 则同时使用的终端数所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 进而有【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 Y 是连续 5 次取球中取得黑球的个数，所以 YB 从而【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由于 X 的分布律为 ，所以【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 因 X 2(n)，所以 X 可表示为 X= ，其中 X1，X 2，X n相互独立，且均服从 N(0，1)，于是【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 xt(n) ，则 X 可表示为 X= ，其中 ZN(0
13、，1)，Y 2(n)且 Z，Y 相互独立，又 Z2 2(1)，于是【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由于 XiN(a ， 2)，i=1，2，m，Y iN(b ， 2)，i=1，2 ， n，且 X1，X 2，X m，Y 1，Y 2，Y n 相互独立，则也服从正态分布【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 由题意知，随机变量 X 的分布律为对于给定的样本 X1，X 2，X n，似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设 X 为连掷两次正面出现的次数， A=取出的硬币为普通硬币 ，则 PX=0)=P(A)PX=0A)+ PX=1=P(A)PX=1A)+ PX=2)=P(A)PX=2A)+P(A)PX=2 = 即 X 的分布为lnL=n0.ln-ln(4N)+n1ln-ln(2N)+n2ln(4N-3)-ln(4N)，解得 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 X 的数学期望为【知识模块】 概率论与数理统计
