1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 65 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列事件中与 A 互不相容的事件是2 将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”； C=“反面最多出现一次 ”，则下列结论中不正确的是（A）A 与 B 独立（B） B 与 C 独立（C） A 与 C 独立（D）B C 与 A 独立3 设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)一定是（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数4 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且有相同的分布：PX i=1=PX
2、i=1=12(i=1 ，2)，则（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布（B） X1 与 X1X2 独立且有不同的分布（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布（D）X 1 与 X1X2 不独立且有不同的分布5 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且方差 20，记 Xi，则 X1 的相关系数为（A）1（B） 0（C） 12（D）16 设随机变量 X1，X n，相互独立，记 Yn=X2nX 2n1 (n1)，根据大数定律，当 n时 1n Yi 依概率收敛到零，只要X n，n1（A）数学期望存在（B）有相同的数学期望与方差（C）服从同一离散型分布（D）服从同一连续型分布
3、7 假设两个正态分布总体 XN( 1，1)，YN( 1， 1)，X 1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 分别是取自总体 X 和 Y 的相互独立的简单随机样本 分别是其样本均值，S 12 与 S22 分别是其样本方差，则（A） ( 1 2)N(0，1)（B） S12+S22 1(m+n2)（C） S12S 22F(m 1，n1)（D）8 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，DX= 2， 是样本均值，则 2 的无偏估计量是二、填空题9 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球，第二个箱中有 3 个黑球与 3 个白球，第三个箱中有 3 个黑球与 5 个白球
4、现随机地选取一个箱子从中任取 1 个球，则这个球为白球的概率是_；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是_10 设离散型随机变量 X 的概率函数为 PX=i=pi+1，i=0，1，则 p=_11 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 05，则 =_.12 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为则随机变量 X 的分布函数 P(x)为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，现从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中取一球，求取出球是白
5、球的概率 p；如果已知从乙袋中取出的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率 q14 设随机变量 X 服从a，a+2上的均匀分布，对 X 进行 3 次独立观测，求最多有一次观测值小于 a+1 的概率15 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，G(x)是区间0，1上均匀分布的分布函数，证明随机变量 Y=G(X)的概率分布不是区间0，1上的均匀分布16 已知(X，Y)的概率分布为 ()求 Z=XY 的概率分布；() 记 U1=XY，V 1=XY，求(U 1，V 1)的概率分布；()记U2=max(X，Y)，V 2=min(X，Y) ，求(U 2，V 2)的概率分布及 U2V2 的概率分布17
6、 设随机变量 X 服从(0，1)上的均匀分布，求下列 Yi(i=1，2，3，4)的数学期望和方差： ()Y 1=eX； ()Y 22lnX； ()Y 3=1X； ()Y 4=X217 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为试求：18 数学期望 EX，EY ；19 方差 DX，DY；20 协方差 Cov(X，Y)，D(5X3Y) 21 设随机变量 X 和 Y 独立，并且都服从正态分布 N(， 2)，求随机变量Z=min(X，Y) 的数学期望22 假设随机变量 X1，X n 相互独立，服从同参数 的泊松分布记Sn= Xi+n，当 n 充分大时，求 Sn 的近似分布23 设 X1，X 2，X 10
7、 是来自正态总体 XN(0，2 2)的简单随机样本，求常数a，b，c，d，使 Q=aX 12+b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2+d(X7+X8+X9+X10)2 服从 2 分布，并求自由度 m24 设 XN(， 2)，从中抽取 16 个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求PS2 22039 25 接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k1，k 2，k n，试求命中率 p 的最大似然估计值和矩估计值26 假设批量生产的某种配件的内径 X 服从正态分布 N(， 2)，今随机抽取 16 个配件，测得平均内径 =305
8、毫米，样本标准差 s=04 毫米，试求 和 2 的 90置信区间考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 65 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于( B)(AB)( ，不可能事件 与任何一个事件 A 都互不相容，即 A ，而综上分析，应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 试验的样本空间有 8 个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反)显然 B 与 C 为对立事件，且依古典型概率公式有 P(A)=6 8， P(B)=P(C)=48，P(AB)=P(AC)=38，P(B
9、C)=P( )=0，P(BC)=P()=1由于 P(A)P(B)= =38，P(AB)=38，即 P(AB)=P(A)P(B)因此 A 与B 独立，类似地 A 与 C 也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此 BC 与A 也独立，用排除法应选(B)或直接计算 P(BC)=0，P(B)P(C)=140，因此 B与 C 不独立，亦应选(B)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数 x，F(x)=PXx= xf(t)dt，因此 f(x)一定是可积函数，但是 f(x)可以是分段函数，比如：a，b上的均匀分布随机变量 X 属连续型，而其
10、概率密度 f(x)在( ，+)内不是单调函数，且在x=a，b 两点不连续，当然亦不可导，因此不能选(B)、(C)、(D) ，应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 X1X2 可取1，1，且 PX1X2=1=PX 1=1，X 2=1+PX1=1，X 2=1=PX 1=1PX 2=1+PX1=1PX2=1 又PX1=1，X 1X2=1=PX 1=1，X 2=1=14，所以 X1 与 X1X2 的概率分布为从而 X1 与 X1X2 有相同的分布且相互独立，故应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立同分布，故
11、 DXi=2，D =2n，Cov(X 1，X i)=0(i1)，故应选(B)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xn 相互独立，所以 Yn 相互独立选项 (A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在 ”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B) 事实上，若 EXn=，DX n=2 存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意 0 有 即1n Yi 依概率收敛到零【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 因 ，S 12，S 22 相互独立，所以 (m1)S 12 2(m 1)，(n1)S 22 2(n1)，(m1)S12
12、+(n1)S 22 2(m+n2)，=S12S 22F(m1，n1)应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 因EXi2=DXi+(EXi)2=2+2， +2，所以有应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题9 【正确答案】 53120；3353【试题解析】 设事件 Ai=“取到第 i 箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，易见A1，A 2，A 3 是一完备事件组，第一空应填 P(B)，第二空为 P( |B)，依题意，有P(Ai)=13， i=l，2，3，P(B|A 1)=15，P(B|A 2)=12，P(B|A 3)=58应用全概率公式与贝叶斯公式
13、P( |B)=P(A2|B)=3353【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由于 PX=0+PX=1=p+p2=1，所以 p2+p1=0 解得【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 4【试题解析】 设事件 A 表示方程 y2+4y+X=0 无实根，依题意 P(A)=P164X 0=PX4=1( )=05，即 ( )=05，可知 4=0，=4【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数： F(x)=F(x，+)=F(x，1) ，因此【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证
14、明过程或演算步骤。13 【正确答案】 记 A=“从乙袋中取出一球为白球”，试验理解为：一次从甲袋中取出两球，记 Bi=“从甲袋中取出的 2 球中恰有 i 个白球”，i=0 ，1，2，则B0，B 1，B 2 是一完备事件组，A=AB 0AB1AB2，由全概率公式 P=P(A)= P(ABi)= P(Bi)P(A|Bi)【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 设 Y 表示对 X 进行 3 次独立观测，其观测值小于 a+1 的次数，p=PXa+1=05，则 YB(3，05) 所求概率为 PY=0+PY=1=05 2+C310505 2=05【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】
15、指数分布的分布函数与区间0，1上均匀分布的分布函数分别为设 Y=G(X)的分布函数为 H(X)，对于分布函数 G(x)易见，当 y0 时，H(y)=PYy=PG(X)y=0；当 y1 时，H(y)=PYy=PG(X)y=1；当 0y1 时，H(y)=PYy=PG(X)y=PXy=1e y 于是，Y=G(X)的分布函数 因此，Y=G(X)的分布函数不是区间0，1上的均匀分布函数【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 应用矩阵法求解，由题设得()(U 1，V 1)的概率分布为 ()(U2，V 2)的概率分布为 U2V2 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 直接用
16、随机变量函数的期望公式，故()EY1=01exdx=e1EY 12=01e2xdx=12(e 21)，DY 1=EY12(EY 1)2=12(e 21)(e 1) 2=12(e1)(3 e)()EY2=012lnxdx=2xlnx| 01+201dx=2EY 22=014ln2xdx=4xln2x|012 01lnxdx=8 01lnxdx=8，DY 22=84=4 () 011xdx=，故 EY3 不存在，DY 3 也不存在( )EY1=01dx2dx=13EY 42=01x4dx=15，DY 4= (13) 2=445【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确
17、答案】 先求出 X 与 Y 的边缘密度，再计算 EX，EY 等f X(x)= +f(x，y)dy EX= +xfX(x)dx=014x4dx=45，EY= +yfY(y)dy=014y2(1y 2)dy=815【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 EX 2=014x5dx=23，DX=EX 2(EX)2 EY2=014y3(1y 2)dy=13，【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 EXY= 01dx0xxy8xydy Cov(X，Y)=EXY EXEYD(5X3Y)=25DX30Cov(X， Y)+9DY【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设 U=(X)
18、，V=(Y) ，有 Z=minU+，V+=minU，V+U 和 V 服从标准正态分布 N(0，1)，其联合密度为由求随机变量函数的数学期望的一般式，有(见图 44)EminU，V= + +minu，v(u，v)dudv在上面的积分中作换元：设EZ=EminX， Y=EminU，V+= 同样可以求得 EmaxX，Y=+【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由于 Xi 服从泊松分布，故 EXi=DXi=，又因 X1，X n 相互独立，所以 ESn=E( Xi+n)= EXi+n=n+n，根据独立同分布的列维林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，S nn 近似服从正态分布 N(n，n)
19、，因此 Sn 近似服从正态分布 N(n+n，n)【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由于 Xi 独立同分布，则有 X1N(0 ，4)，X 2+X3N(0 ，8)，X4+X5+X6N(0，12)，X 7+X8+X9+X10N(0，16) 于是 12X 1，(X4+X5+X6)，14(X 7+X8+X9+X10)相互独立都服从标准正态分布N(0，1)由 2 分布的典型模式可知 (X4+X5+X6)2+ (X7+X8+X9+X10)2 2(4)所以，当 a=14，b=1 8，c=1 12，d=1 16 时，Q 服从自由度为 4 的 2 分布【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案
20、】 由于 =15S2 2 2(15)，所以查 2 分布的上分位数表，得知 P2(15)3058=0 01，因此 P15S2 230585=0 99，即PS2 22039)=099【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 依题意，总体 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=k=p(1p)k1 ，k=1 ，2 ，由于 EX=1p，p=1EX，所以 P 的矩估计值样本(k 1，k 2，k n)的似然函数 L 为 L(k1，k 2，k n；p)=PX1=k1，X 2=k2，X n=kn【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 这是一个正态总体的区间估计，由于 2 未知，关于 的置信区间公式为 其中 L2 满足 P|t(15)|t 2 =01，查表可知t005 (15)=1753，于是置信度为 90关于 的置信区间为I=(3 05 1753305+ 1753)=(2 87，323) 未知关于 2 的置信区间公式为 其中 2 2(n1)与 12 2(n1)分别满足 P2(n1)2=0 05，P 2(n1)1 )=095查 2 分布上分位数表得095 2(15)=7261， 005 2(15)=24996，于是置信度为 90关于 2 的置信区间为I=( )=(0096，0331)【知识模块】 概率论与数理统计
