1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 66 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机事件 A 与 B 为对立事件，0P(A)1，则一定有（A）0P(A B)1（B） 0P(B)1（C） 0P(AB) 1（D）0P( )12 A，B，C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件（A）A，B，C 两两独立（B） P(ABC)=P(A)P(B)P（C） P(AB)=1（D）P(AB)=03 设随机变量 X 的概率分布为 PX=k=a ，k=0，1，2，则常数 a=4 已知随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)|1x1，1y1 上服从均匀分布，则（A）
2、PX+Y0=1 4（B） PX Y0=14（C） Pmax(X，Y)0=14（D）Pmin(X，Y)0=145 设 X1，X 2，X n，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当n时以 (x)为极限的是6 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，记 EX=，DX= 2，)2，DS0，则（A）S 是 的无偏估计（B） S2 是 2 的无偏估计（C） 是 2 的无偏估计（D） Xi2 是 EX2 的无偏估计二、填空题7 设离散型随机变量 X 的分布函数 F(x)= 则随机变量|X|的分布函数为_8 设 F(x)是连续型随机变量 X 的分布函数，常数 a0，则 +F(x+a)
3、F(x)dx=_9 设(X，Y) N(，； 2， 2；0) ，则 PXY=_10 两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击如果第 i 名射手每次命中的概率为 pi(0p i1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中) 总数的数学期望为_11 设总体 X 服从参数为 p 的 01 分布，则来自总体 X 的简单随机样本X1，X 2，X n 的概率分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区 E1，E 2 和 E3 的各 2 节、3 节和 4 节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率 p13 三人独立地
4、同时破译一个密码，他们每人能够译出的概率分别为15，13，14求此密码能被译出的概率 p14 设某一设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率分别为01，02，03，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数 X 的分布函数15 已知随机变量 X 的概率密度 ()求分布函数 F(x)；()若令 Y=F(X)，求 Y 的分布函数 FY(y)16 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 fU(u)； ( )V=|XY| 的概率密度 fV(v)17 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中 0， 0 是常数，引入随机
5、变量 求 E(Z)和 D(Z)18 将一颗骰子重复投掷 n 次，随机变量 X 表示出现点数小于 3 的次数，Y 表示出现点数不小于 3 的次数求 3X+Y 与 X3Y 的相关系数19 假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为 ，标准差为 4求 100 名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(1，1)内的概率20 设总体 X 和 Y 相互独立，分别服从 N(， 12)，N(， 22)X 1，X 2，X m 和Y1，Y 2，Y n 是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，其样本均值分别为 样本方差分别为 SX2，S Y2令 Z= 求 EZ21 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，
6、X n(n=16)是来自 X 的简单随机样本，求下列概率：()P 221 n (Xi) 222；()P 221n (Xi )222.22 设 X 服从a，b上的均匀分布， X1，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量22 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， Xi，X (n)=max(X1，X n)23 求 的矩估计量和最大似然估计量；24 求常数 a， b，使 =bX(n)均为 的无偏估计，并比较其有效性；25 应用切比雪夫不等式证明： 均为 的一致性(相合性)估计26 在测量反应时间中假设反应时间服从正态分布，一心理学
7、家估计的标准差是005 秒为了以 95的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过 001 秒，应取的样本容量 n 为多少?考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 66 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 A、B 为对立事件，即 AB=，AB= ，所以 P(AB)=0，P( )=0，且 P(A)+P(B)=P(AB)=1因此(A)，(C)，(D) 均不成立，应选(B) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由三个事件相互独立的条件可知，(A)与(B)显然不对对于(C) ：由P(AB)=1 )=1，
8、即 P(B)=0下面验证当 P(A)=P(A)=P(B)=0 时，它们是否满足四个等式：1)由 P(B)=0 P(AB)P(B)=0 P(AB)=0=P(A)P(B)；2)由 P(B)=0 P(BC)P(B)=0 P(BC)=0=P(B)P(C)；3)由 P( P(AC)=P(AC)+P(C)=P(C)=P(C)P(A)由以上 1)，2) ，3) 可知 A，B，C 两两独立4) 由 P(ABC)P(B)=0 P(ABC)=0=P(A)P(B)P(C)由以上可知，A ，B，C 满足四个等式，故选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 由泊松分布知，PX=k 当 a
9、(e+1)=1 即a= 时，XP(1)，故应选 (B)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知(X，Y)的概率密度函数为由于 Pmin(X，Y)0=PX0，Y0=01dx0114dy=14，故选(D) 因Pmax(X，Y)0=1Pmax(X，Y)0=1PX0，Y0所以选项(A) 、(B)、(C)都不正确【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X n，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E( Xi)=n，D( Xi)=n，因此当 n+时，P x以 (x)为极限，故应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案
10、】 B【试题解析】 从上题知 S2 是无偏估计，应选(B)进一步分析 DS=ES2(ES) 20(ES)2ES2=2 ES，【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 由于分布函数 F(x)只在 x=1，0，1 处有 3 个间断点，因此离散型随机变量 X 与|X| 的概率分布分别为 |X|的分布函数 F|X|(x)为 F|X|(x)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 a【试题解析】 +F(x+a)F(x)dx= +xx+af(y)dydx +f(y)y aydy= +sf(y)dy=a【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 12【试题解析】 由
11、=0 可知， X 与 Y 独立，从而有 XYN(0，2 2)，根据对称性，有 P|XY 0=12【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数1=未击中的次数以 Xi 表示第 i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数 Xi+1 服从参数为 pi 的几何分布，因此 PXi=k=(1p i)kpi，i=1，2，且 E(Xi+1)=1 pi，i=1，2，于是 EXi=E(Xi+1)1= 1，两射手脱靶总数 X=
12、X1+X2 的期望为 EX=EX1+EX2【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 总体 X 的概率分布为 此概率分布也可以表示为于是样本 X1，X 2，X n 的概率分布为p(x1，x 2，x n)如果记i，则样本 X1，X 2，X n 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 设事件 A=发往同一地区的车皮恰好相邻，B i=发往 Ei 的车皮相邻(i=1 ，2 ，3) ，将发往 E1，E 2 和 E3 三个不同地区的车皮统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻，总共有 3!=6 种不同情形，其中每种
13、情形对应 B1，B 2和 B3 的一种排列6 种不同情形都是等可能的，如 B1B2B3 是其中一种可能的情形，即“发往 E1 的 2 节车皮编在最前面，发往 E2 的 3 节车皮编在中间，发往 E3 的 4 节车皮编在最后面” 由古典型概率的计算公式，有 P(B1B2B3)从而 p=P(A)=6P(B1B2B3)=61260=1 210【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 设事件 A、B、C 分别表示三人各自能够译出密码，依题意A、B、C 相互独立，且 P(A)=15，P(B)=14，P(C)=13，则 p=P(ABC)【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 X 只取 0
14、，1，2，3 各值，为计算概率 PX=i，i=0，1，2，3，设 Ai=第 i 个部件需要调整，i=1，2，3依题意，A 1，A 2，A 3 相互独立，且P(A1)=01，P(A 2)=02，P(A 3)=03PX=0=P( )=090807=0504 ，PX=3=P(A 1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=010203=0006 ，PX=1=P( A3)=010807+090207+090 803=0398，PX=2=1PX=0PX=1 PX=3=0092于是 X 的分布函数 F(x)为 F(x)=PXx【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 直接应用 F(x)=PXx，
15、F Y(y)=PF(X)y求解()F(x)=PXx= xf(t)dt ()令 Y=F(X)，则由 0F(x)1 及 F(x)为戈的单调不减连续函数知(如图 21)，当 y0 时 FY(y)=0；当 y1 时， FY(y)：1；当 0y12 时，F Y(y)=PF(X)y=PF(X)0+P0F(X)y=P0X 22y当 12y1 时，F Y(y)=PF(X)y=PF(X)0+P0F(X)12+P12F(X)y=0+P0X 1+P1XF 1 (y)=01xdx+ f(x)dx 综上得FY(y)【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由于 X 与 Y 相互独立且密度函数已知，因此我们可以用
16、两种方法：分布函数法与公式法求出 U、V 的概率密度()分布函数法由题设知(X，Y) 联合概率密度 f(x，y)=f X(x)fY(y) 所以 U=XY 的分布函数为(如图 33) FU(u)=PXYu= f(x，y)dxdy当 u0 时，FU(u)=0；当 u1 时，F U(u)=1；当 0u1 时，F U(u)=0udu01dy+u1dx0ux dy=u+u1uxdx=uulinu综上得()公式法记 Z=XY=X+( Y) ，其中 X 与(Y)独立，概率密度分别为由卷积公式得 Z 的概率密度 fZ(z)= +(zy)f Y (y)dy=1 0fX(zy)dyV=|XY|=|Z| 的分布函数
17、为 FV(v)=P|Z|v，易得当 v0 时，F V(v)=0；当 v0 时，F V(v)=PvZv=v v(z)dz；由此知，当 0v1 时，F V(v)=v 0(x+1)+0v(1z)=2vv 2；当 v1 时，FV(v)=v 1 0dz+1 0(z+1)dz+01(1z)dz+ 1v0dz=1综上得 FV(v)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由于 Z 为 01 分布，故 E(Z)=PZ=1，D(Z)=PZ=1PZ=0而 PZ=1=P2XY= fX(x)fY(y)dxdy= ex ey dxdy=0+ex (2x+ey dy)dx=0+ex e2xdx=(+2)，PZ=0
18、=1PZ=1=2 (+2) ，所以 E(Z)=(+2)，D(Z)=2 (+2) 2【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 依题意，X 服从二项分布，参数 p 为掷一颗骰子出现点数小于 3的概率，即 p=13，因此有 XB(n，13) ，EX=n3，DX=2n9；Y=nXB(n，23)，EY=2n3，DY=2n9；Cov(X，Y)=Cov(X，nX)=DX=29n又 D(3X+Y)=9DX+6Cov(X，Y)+DY=4DX=8n 9，D(X3Y)=DX6Cov(X ，Y)+9DY=16DX=32n9，Cov(3X+Y，X3Y)=3Dx 8Cov(X，Y)3DY=8DX=16n9于是，3
19、X+Y 与 X3Y 的相关系数 为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设 100 名中第 i 名运动员身高为 Xi，i=1 ，100，可以认为X1，X 2，X 100 相互独立同分布，且 EXi=，DX i=16，应用独立同分布中心极限定理， 近似服从正态分布 N(，042)，于是2(25)1=0 9876【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由于 ，S X2，S Y2 相互独立，所以与 也相互独立因此 E(=于是=(E+E)=E(+)=【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 P82(16)32=P2(16)8=P2(16)32=0 95001=0 94P8
20、2(15)32=P2(15)8P 2(15)320900005=0895【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 X 的样本观测值为 x1，x n，则似然函数显然( )n0，且 ba 越小 L 值越大，但是bx i，i=1， ，n=bmax(x i，x n)，同理ax i，i=1，n=a (xi， ，x n)，所以只有当 b=maxxi，a= xi时，L 才达到最大值，故a，b 的最大似然估计值分别为 xi，从而可知其最大似然估计量分别是 Xi【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 依题意总体 X 的密度函数、分布函数分别为令 =EX=2，解
21、得 =2，于是 的矩估计量为 又样本 X1，X n 的似然函数为 L(x1，x n；)L()为 的单调减函数，且 0xi，即 要取大于 xi 的一切值，因此 的最小取值为 max(x1，x n)， 的最大似然估计量=max(X1，X n)=X(n)【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由于 EX=2，DX= 212，所以为求得 b，必须求 X(n)的分布函数 F(n)(x)及密度函数 f(n)(x)，由 X(n)=max(X1，X n)得 F(n)(x)=PX(n)x= PXix=F(x)n，f (n)(x)=nF(x)n1 f(x)【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由于 E 0(n)，故由切比雪夫不等式：对任意0 有 从而为 的一致估计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 对于正态总体方差已知 的置信区间为其中 u2 满足 P|U|u2 =095，UN(0，1)，所以u2 =196 对平均反应时间的估计误差为 解不等式因此应取的样本容量 n 至少为 97【知识模块】 概率论与数理统计
