1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 72 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是任意两个事件，且 A B，P(B)0，则必有 ( )（A）P(A)P(AB)（B） P(A)P(AB)（C） P(A)P(AB)（D）P(A)P(AB)2 设随机变量 X 的概率密度为 则 Y=2X 的概率密度为 ( )3 设 X1，X 1，X n 是来自总体XN(0，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A）y 2(n1)（B） Yt(n1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n1)4 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x， y)，则随
2、机变量 Z=YX 的概率密度 fZ(z)= ( )（A） +f(x，z x)dx（B） +f(x，xz)dx（C） +f(x，z+x)dx（D） +f(x，z+x)dx5 设 X 是随机变量，EX0 且 E(X2)=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( )6 设 X1，X 2，X n 独立同分布 N(， 2)，令i=1，2，2，则 Zk=服从的分布为 ( )（A）t(n 1)（B） N(0，1)（C） 2(1)（D）F(1，1)二、填空题7 设随机变量 X 的分布函数为 则 A，B 的值依次为_8 设随机变量 X1，X 2，X 100 独立同分布，且EXi=0，DX i=10，i=1 ，2
3、，100，令=_9 设总体 X 的概率密度为 其中 1 为参数X 1，X 1，X n 是来自总体 X 的样本，则未知参数 的最大似然估计值为_ 10 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_11 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，则随机变量的概率密度为_12 设总体 X 和 Y 相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X1，X 2，X 8 和 Y1，Y 2，Y 14 分别来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 的数学期望和方差分别为_13 二维正态分布一般表示为
4、 N(1， 2； 12， 22； )，设(X， Y)N(1，1；4，9；05)，令 Z=2XY，则 Z 与 Y 的相关系数=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 证明：若三事件 A，B，C 相互独立，则 AB 及 AB 都与 C 相互独立15 设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为 2n， p 的二项分布15 从装有 1 个白球和 2 个黑球的罐子里有放回地取球，记这样连续取 5 次得样本 X1， X2，X 3，X 4，X 5记y=X1+X2+X5，求：16 Y 的分布律，EY，E(Y 2)；17 E(S2)(其
5、中 ，S 2 分别为样本 X1，X 2，X 5 的均值与方差)18 设 X 和 Y 相互独立且均服从 01 分布，PX=1=PY=1=06试证明：U=X+Y，V=XY 不相关且不独立19 假设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1e x 的概率密度fY(y)20 设随机变量 X1，X 1，X n 相互独立，且 Xi 服从参数为 i 的指数分布，其概率密度为 求PX1=minX1，X 2，X n21 对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p1，p 2，p 3，各台仪器是否产生故障相互独立，求产生故障仪器的台数 X 的数学期望和方差22 设总体 X 的概率密度为 又设
6、X1，X 2，X n 是来自 X 的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量23 用概率论方法证明：23 将 n 个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入” 舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计：24 当 n=1 500 时，舍位误差之和的绝对值大于 15 的概率；25 数据个数 n 满足何条件时，以不小于 90的概率，使舍位误差之和的绝对值小于 10 的数据个数 n25 设袋中有编号为 1N 的 N 张卡片，其中 N 未知，现从中有放回地任取 n 张，所得号码为 x1，x 2，x n26 求 N 的矩估计量27 求 N 的最大似然估计量 的分布律考研数学一（概率论与数理统计）模拟试
7、卷 72 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 A B，因此 AB=A，而 0P(B)1 ，所以 P(A)=P(AB)=P(B)P(AB)P(AB)，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 FY(y)=PYy=P2Xy= 所以故选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 由总体 XN(0，1)知 X1N(0 ，1)， 又它们相互独立，所以 因此本题选B【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 记 Z 的分布函数为 FZ(z)，则 FZ(
8、z)=PZz=P(YXz= +dx +f(x，y)dy， 其中 Dz=(x，y)yxz) ，如图 34 所示的阴影部分 又 +f(x，y)dy z(x，u+x)du 将代入得 FZ(z)= +dx zf(x，u+x)du= zdu +f(x，u+x)dx于是 fZ(z)= = +f(x，z+x)dx 因此本题选C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 于是由切比雪夫不等式知因此本题选 C【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 对 k=1，2，n 1，则 (k+1)V k+Vk+1+Vn1=(X 1X 2X k1 )+kXkX n 于是 Zk 是独
9、立正态分布随机变量 X1，X 2，X k，X n 的线性组合，所以 Zk 服从正态分布所以D(k+1)Vk+Vk+1+Vn1 =D(X 1X 2X k1 )+kXkX n=D(X1)+D(Xk1 )+k2D(Xk)+D(Xn) =(k1)+k 2+12=(k2+k)2因此(k+1)Vk+Vk+1+Vn1 N(0，(k 2+k)2)，标准化后即 ZkN(0，1)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 1；0【试题解析】 由 F(x)右连续的性质得 即 A+B=1又于是 B=0，A=1【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 990【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统
10、计9 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为解得 0 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 设 A 表示“第 i 次取的是次品”，i=1，2则有由全概率公式得 P(A2)=P(A1)P(A2A 1)+【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知 X 的概率密度为 则 fZ(z)= +xf(x)f(xz)dx，【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由(X，Y) N(1 ，1；4，9；05)得 EX=1，EY=1，DX=4，DY=9，
11、XY=05， Cov(Z，Y)=Cov(2XY，Y)=2Cov(X，Y)Cov(Y ，Y) DZ=D(2XY)=4DX+DY2Cov(2X，Y)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 P(AB)C=P(ACBC)=P(AC)+P(BC)P(ABC) =P(A)P(C)+P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) =EP(A)+P(B)P(AB)P(C) =P(A B)P(C)，所以 AB 与C 相互独立因为 P(AB)C=P(AB)P(C)，所以 A0B 与C 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 PZ=k=
12、PX+Y=k= PX=iPY=ki = Cnipi(1p)ni .Cnki pki (1p) nk+i =pk(1p) 2nk CniCnki =C2nkpk(1p)2nk ，k=0 ，1 ，2n故 Z=X+Y 服从参数为 2n，p 的二项分布【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 记 Y 是连续 5 次取球中取得黑球的个数，则 从而【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由于 X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由协方差的定义和性质，以及 X 和 Y 相互独立，可知 Coy(U，V)=E(UV)EUEV=E(X 2
13、Y 2)E(X+Y)E(XY)=E(X 2)E(Y 2)=0， 于是U=X+Y，V=XY 不相关 现在证明 U=X+Y，V=XY 不独立事实上，由 PU=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0=016， PV=0=PX=0，Y=0+PX=1，Y=1 =PX=0PY=0+PX=1PY=1=052， PU=0，V=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0 =016016052=PU=0PV=0 ， 可见 U和 V 不独立【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 (公式法) y=1 e x 是(0，+) 上的单调函数，且其反函数为即随机变量 Y=1e x 服从区间(0 ，1)上的均匀分布【知识
14、模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 方法一 PX 1=minX1，X 2，X n=PX，minX 2，X 3，X n，记 Y=minX2，X 3，X n，则有又因为(X 1，Y) 的概率密度为 f(x，y)=f 1(x)fY(y)，所以 PX1minX2，X 3， ，X n= =0+1e 1xdxx+(2+3+ n)e( 2+3+ n)ydy=0+1e 1xe( 2+3+ n)xdx= 方法二 利用连续型的全概率公式 PminX 2，X 3，X n)X1= +PminX2，X 3，X nxX 1=xf1(x)dx =0+PminX2，X 3，X nx1e 1xdx =0+PX2x)PX
15、 nx1e 1xdx =10+e 2xe nxe 1xdx=【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 X 的分布律为由此直接计算 EX 和 DX 相当麻烦，应利用期望的性质进行计算设i=1，2，3，则 Xi(i=1，2，3)的分布律如下于是 EX i=pi，DX i=pi(1p i)，i=1，2，3故 EX=p1+p2+p3，DX= =p1(1p 1)+p2(1p 2)+p3(1p 3)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 X 的数学期望为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设X n为一独立同分布随机变量序列，每个Xk，k=1，2，n，均服从参数为 1 的泊松
16、分布，则 EXk=1，DX k=1， 服从参数为 n 的泊松分布故有由列维一林德伯格中心极限定理知：【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设 Xi 是“ 第 i 个数据的舍位误差”，由条件可以认为 Xi 独立且都在区间 05，05 上服从均匀分布，从而 EXi=0，DX i=112记 Sn=X1+X2+Xn.为 n 个数据的舍位误差之和，则 ESn=0，DS n=n12 根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从 N(0，n12)记 (x)为N(0，1)的分布函数由于 近似服从标准正态分布，且 n=1500，可见1(134)2=
17、01 802【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 数据个数 n 应满足条件：由于 近似服从N(0，1)，可见 因此当 n721 时，才能使误差之和的绝对值小于 10 的概率不小于 90【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 记 X 为事件“从袋中有放回地任取 1 张卡片”，记 Xi 为事件“取出的卡片编号为 i”，X 与 Xi 同分布，此题已知样本分布，即可得到总体 X 分布为=xi=1(i=1，n)，故 =PX1=1，X 2=1，X n=1=PX1=1PX2=1P(Xn=1=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 L(x 1，x 2，x n；N)=PX=x 1PX=x2PX=xn=Nmaxxi(i=1，n)故 N 的最大似然估计量为max(X1，X 2，X n的分布律为=PmaxX1，X 2，X n=k= =PX1kPX2kPX nkP(X 1k1P(X2k1P(X nk1【知识模块】 概率论与数理统计
