1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X 2，X 8 和 Y1，Y 2，Y 10 分别是来自正态总体 N(-1，4)和 N(2，5)的简单随机样本，且相互独立， 分别为这两个样本的方差，则服从 F(7，9)分布的统计量是 ( )2 设总体 XN(a， 2)，YN(b， 2)相互独立分别从 X 和 Y 中各抽取容量为 9和 10 的简单随机样本，记它们的方差为，则这四个统计量中，方差最小者是 ( )3 设 x1，x 2，x n 是来自总体 XN(， 2)(， 2 都未知)的简单随机样本的观察值，则 2
2、的最大似然估计值为 ( )4 设总体 XP()( 为未知参数)，X 1，X 4，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值与方差分别 +(2-3a)S2 是 的无偏估计量，常数 a应为 ( )（A）-1（B） 0（C）（D）1二、填空题5 设总体 XP()，X 1，X 2，X n 是来自 X 的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和 S2，则 和 E(S2)分别为_6 设总体 X 和 Y 相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X1，X 2，X 8 和 Y1，Y 2，Y 14 分别来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 的数学期望和方差分别为_7 设 X1，X
3、2，X 3 是来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 U=X1+X2 与 V=X2+X3，则(U ， V)的概率密度为 _8 设 X1，X 2 是来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，则查表得概率等于_9 设总体 X 的概率密度为X1， X2，X n 是来自 X 的样本，则未知参数 的最大似然估计值为_10 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 XN(， 2)的样本，则统计量服从的分布是_11 设总体 XN(a，2)，Y N(b，2)，且独立，由分别来自总体 X 和 y 的容量分别为 m 和 n 的简单随机样本得样本方差服从的分布是_12 设总体 X 的密度函数为 f(x；)
4、= 其中 0 为未知参数，又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本值，则参数 的最大似然估计值为_13 设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为_14 设总体 XN(，8)，X 1，X 2，X 36 是来自 X 的简单随机样本， 是它的均值如果 是未知参数 的置信区间，则置信水平为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为 p假设前5 次试验每次的试验费用为 10 元，从第 6 次起每次的试验费用为 5
5、元试求这项试验的总费用的期望值 a16 利用列维一林德伯格定理，证明：棣莫弗-拉普拉斯定理16 某保险公司接受了 10000 辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 12 元若车丢失，则赔偿车主 1000 元假设车的丢失率为 0006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：17 亏损的概率 a；18 一年获利润不少于 40000 元的概率 ；19 一年获利润不少于 60000 元的概率 19 将 n 个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入” 舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计：20 试当 n=1500 时求舍位误差之和的绝对值大于 15 的概率；21 估计数据个数 n 满
6、足何条件时，以不小于 90的概率，使舍位误差之和的绝对值小于 10 的数据个数 n22 设 X 是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知 的数学期望存在，而0 是任意实数，证明：不等式23 设事件 A 出现的概率为 p=05，试利用切比雪夫不等式，估计在 1000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数在 450 到 550 次之间的概率 a23 设来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n，总体 X 的概率分布为其中 01分别以 v1，v 2 表示X1，X 2，X n 中 1，2 出现的次数，试求24 未知参数 的最大似然估计量；25 未知参数 的矩估计量；26 当样本值为 1，1，
7、2，1，3，2 时的最大似然估计值和矩估计值27 假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 R(未知常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n 件中发现是件不合格品试求 R 的最大似然估计值27 假设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，X 1， X2，X n 是来自 X 的简单随机样本，试求：28 端点 的最大似然估计量；29 端点 置信水平为 095 的置信区间考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 因此本题选(D)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由所
8、以，方差最小者为 因此本题选(D)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 在 未知时， 2 的最大似然估计值为 因此本题选(B)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 要使 是 的无偏估计量，应有 ，即 aE( )+(2-3a)E(S2)= 由于 =EX-，E(S 2)=DX=，将它们代入 得 a+(2-3a)=，即 a= 因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 由(X 1，
9、X 2，X 3)服从三维正态分布知，X 1，X 2，X 3 的线性函数组成的二维随机变量(U，V) 也服从二维正态分布，记为 ，其中 1=EU=E(X1+X2)=EX1+EX2=0， =DU=D(X1+X2)=DX1+DX2=22， 2=EV=E(X2-X3)=EX2-EX3=0， =DV=D(X2-X3)=DX2+DX3=22，所以(U，V)的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 09【试题解析】 (X 1，X 2)服从二维正态分布，所以(X 1+X2，X 1-X2)也服从二维正态分布，并且由 X1+X2N(0，2 2)，X 1-X2N(0，2 2)知 Cov(X1+X2
10、，X 1-X2)=DX1-DX2=0，即 X1+X2 与 X1-X2 相互独立此外，所以，【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为解似然方程得 的极大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 t(2)【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 X3-X4N(0 ，2 2)，【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 2(m+n-2)【试题解析】 因为由题设条件知，T 1 和 T2 分别服从自由度为 m-1 和，n-1 的 2 分布且相互独立，所以 T服从自由度为(m-1)+(n-1)=m+n-2 的 2 分布【知识模块】 概率论与数理统计
11、12 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为 L(x1，x 2，x n；)(0x i1，0，i=1，2，n)，取对数得 lnL(x 1，x 2，x n；)=(0x i1，0，i=1，2，n)，令【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 (4804，5196)(答(4 8，52)也对)【试题解析】 设样本为 X1，X 2，X n，EX= ，DX= 2，由中心极限定理知，当 n 充分大时有：近似服从 N(0，1)，于是 即 的置信度近似为 1-a 的置信区间是【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 0966【试题解析】 由题设可知-1(2121)=0 983 0由此得置信水平 1
12、-a=0966【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 以 X 表示“试验的总次数” ，首先求 X 的概率分布设 Ak=第 k次试验成功(k=1，2，)，则 P(Ak)=p，X 的概率分布为 PX=n= =pqn-1(n=1，2，)，其中 q=1-p于是试验的总次数 X 服从参数为户的 p 何分布现在求试验的总费用的期望值 a由条件知，试验的总费用为该项试验的总费用 Y 是一随机变量，其期望值为例如，设 p=08，q=0 2，得 a=12498 元；设 p-q=05，得 a=19687 5 元；设 p=02，q=08，得 a=41808
13、 元；设 p=01，q=0 9，得 a=704755 元【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，同服从 0-1 分布； EXi=p，DX i=pq(i=1，2，n)， S n=X1+X2+Xn，ES=np，DS n=npq，其中 q=1-pX 1，X 2，X n 满足列维一林德伯格定理的条件：X 1，X 2，X n 独立同分布且数学期望和方差存在，当 n 充分大时近似地 S nN(np，npq)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设 X 为需要赔偿的车主人数，则需要赔偿的金额为 Y=01X(万元)
14、；保费总收入 C=12 万元易见，随机变量 X 服从参数为 (n，p)的二项分布，其中 n=10000， p=0006； EX=np=60，DX=np(1-p)=5964由棣莫弗一拉普拉斯定理知，随机变量 X 近似服从正态分布 N(60，5964)，随机变量 Y 近似服从正态分布 N(6，05964) 保险公司亏损的概率【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 保险公司一年获利润不少于 4 万元的概率【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 保险公司一年获利润不少于 6 万元的概率【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 Xi 是“ 第
15、 i 个数据的舍位误差”，由条件可以认为 Xi 独立且都在区间-05， 05上服从均匀分布，从而 EXi=0，DX i=112记Sn=X1+X2+Xn 为 n 个数据的舍位误差之和，则 ESn=0，DS n=n12根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时 Sn 近似服从 N(0，n12)记 (x)为N(0，1)的分布函数由于 近似服从标准正态分布，且 n=1500，可见【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 数据个数 n 应满足条件：于是，当n721 时，才能使误差之和的绝对值小于 10 的概率不小于 90【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 (1)设 X 是离散
16、型随机变量，其一切可能值为 xi，则(2)设 X是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，则【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设 un 是“1000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数”，则 nB(1000，05)， EX=10000 5=500，DX=100005 2=250利用切比雪夫不等式，知 a=P450un550=Pu n-500501- =09【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 求参数 的最大似然估计量样本 X1，X 2，X n 中 1，2 和 3出现的次数分别为 v1，v 2 和，n-v 1-v2，则似然函数和似然方程
17、为 似然方程的唯一解就是参数 的最大似然估计量【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 求参数 的矩估计量总体 X 的数学期望为 EX= 2+4(1-)+3(1-)2在上式中用样本均值 估计数学期望 EX，可得 的矩估计量【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 对于样本值 1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值 矩估计值【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设 a 是这批产品中不合格品的件数，b 是合格品的件数从而，a=Rb，合格品率为 设 X 是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数” ，则 X 服从参数为 p 的 0-1 分布对于来自总
18、体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n，记 vn=X1+X2+Xn，则似然函数和似然方程为由条件知vn=X1+X2+Xn=k，于是似然方程的唯一解 即是 R 的最大似然估计值【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 记 X(n)=maxX1，X 2，X n)由总体 X 的分布函数 F(x)= (0x)知，X (n)的分布函数为 F(n)(x)= (0x)总体 X 的概率密度函数为f(x；)= 未知参数 的似然函数为由于似然函数 L()无驻点，需要直接求 L()的最大值点，记 X(n)=maxX1，X 2，X n；由于当 X(n) 时，L()=0；当 X(n)时，L()随 减小而增大，所以当 =X(n)时 L()达到最大值，故=X(n)就是未知参数 的最大似然估计量 现在讨论估计量 =X(n)的无偏性为此，首先求 =X(n)的概率分布总体 X 的分布函数为 由于X1，X 2，X n 独立同分布，则 =X(n)的分布函数为 F (n)(x)=PX(n)x=PX1x，X nx29 【正确答案】 求端点 的 095 置信区间选统计量 利用 X(n)的分布函数 F(n)(x)，确定两个常数 1 和 2，使之满足下列关系式：
