1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 4 阶行列式 的值等于（A）a 1，a 2，a 3，a 4 一 b1，b 2，b 3，b 4（B） a1，a 2，a 3，a 4+b1， b2，b 3，b 4（C） (a1a2 一 b1b2)(a3a4 一 b3b4)（D）(a 2a3 一 b2b3)(a1a4 一 b1b4) 2 行列式 =（A）(adbc) 2（B）一 (ad 一 bc)2（C） a2d2 一 b2c2（D）b 2c2 一 a2d23 设对方阵 A 施行初等变换得到：疗阵 B，且A0，则（A）必有B=
2、A （B） B A（C） B 0（D）B=0 或B0 依赖于所作初等变换二、填空题4 n 阶行列式 =_5 行列式 =_6 =_7 =_8 =_9 =_10 Dn= =_11 Dn= =_12 行列式 的第 4 行元素的余子式之和的值为_13 方程 f(x)= =0 的全部根是_14 方程 f(t)= =0 的实根为_15 方程 f(x)= =0 的全部根是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设有行列式 已知 1703，3159，975，10959 都能被 13整除，不计算行列式 D，证明 D 能被 13 整除17 求下列行列式的值：17 计算下列 n 阶行列式：18 1
3、9 20 21 (其中未写出的元素均为 0)22 设 ab，证明：考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 按第 1 行展开所求行列式 D1，得 D1=a1=(a2a3 一 b2b3)(a1a4 一 b1b4) 【知识模块】 行列式2 【正确答案】 B【试题解析】 按第 1 列展开，得所求行列式 D 等于 D=一 ad(ad 一 bc)+bc(adbc)=一(ad 一 bc)2【知识模块】 行列式3 【正确答案】 C【试题解析】 若互换 A 的某两行(列)，则有B=一A ；若用非零数 k
4、 乘 A的某行(列) ，则 B=kA；对第 3 种初等变换，则有B= A故由A0，知B0 ，而且作 1 次初等变换的结果如此，作若干次初等变换的结果还是如此【知识模块】 行列式二、填空题4 【正确答案】 2 n+1 一 2【试题解析】 记该行列式右下角的 k(k2)阶子行列式为 Dk，则假设 D n1=2n 一 2 则(将 Dn 按第一行展开)有 D n=2Dn1+2(1)1+n(一 1)n1=2Dn1+2=2(2n 一 2)+2=2n+1一 2 于是由数学归纳法得所求行列式 Dn=2n+1 一 2【知识模块】 行列式5 【正确答案】 4+3+22+3+4【试题解析】 按第 1 列展开，得行列
5、式为 D=+4=4+3+22+3+4【知识模块】 行列式6 【正确答案】 a 1，a 2，a 3，a 4b1，b 2，b 3，b 4【试题解析】 按第 1 行展开【知识模块】 行列式7 【正确答案】 1 一 x2 一 y2 一 z2【试题解析】 将第 2 列的(一 x)倍、第 3 列的(一 y)倍、第 4 列的(一 z)倍都加到第1 列上去，则得上三角行列式【知识模块】 行列式8 【正确答案】 x 4【试题解析】 将第 2、3、4 列都加至第 1 列，并提出第 1 列的公因子 z，再将第1 列的 1 倍、(一 1)倍、1 倍分别加至第 2、3、4 列，然后按第 4 行展开【知识模块】 行列式9
6、 【正确答案】 1 一 a+a2 一 a3+a4 一 a5【试题解析】 先把第 2、3、4、5 行都加至第 1 行，再按第 1 行展开，得 D5=1 一aD4，一般地有 Dn=1aDn1(n2)，并应用此递推公式【知识模块】 行列式10 【正确答案】 n!(2 一 n)【试题解析】 从第 j 列提出公因子 j，再将第 j 列的(一 1)倍加至第 1 列(j=2，3，n)，则得上三角行列式【知识模块】 行列式11 【正确答案】 a n+(一 1)n1bn【试题解析】 按第 1 列展开【知识模块】 行列式12 【正确答案】 一 28【试题解析】 可直接计算亦可利用按第 4 行的展开法则得所求值等于
7、行列式【知识模块】 行列式13 【正确答案】 1，2，3【试题解析】 由范德蒙行列式得f(x)=(21)(31)(x 一 1)(32)(x 一 2)(x 一 3)【知识模块】 行列式14 【正确答案】 t=6【试题解析】 注意行列式各行元素之和均等于(6 一 t)， f(t)=(t 一 6)(t2+3)【知识模块】 行列式15 【正确答案】 x=0，x=1【试题解析】 f(x)=5x(x 一 1)【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 将 D 的第 1 列的 1000 倍、第 2 列的 100 倍、第 3 列的 10 倍都加到第 4 列上去，则
8、所得行列式第 4 列各元素有公因子 13【知识模块】 行列式17 【正确答案】 (1)一 9(2)一 10【知识模块】 行列式【知识模块】 行列式18 【正确答案】 (一 1)n1(n 一 1)xn2先将第 2 行的(一 1)倍加至第 i 行(i=3，n)，再按第 1 列展开，并把(2，1)元素的余子式的第 2，3，n 一 1列都加到第 1 列则得上三角行列式【知识模块】 行列式19 【正确答案】 (x 一 1)(x 一 2)(x 一 n+1)把第 1 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=2，3，n)，则得上三角行列式【知识模块】 行列式20 【正确答案】 n!(1+x+ )先把第 1 行的(
9、一 1)倍加到第 i 行(i=2，3，n)。再把第 j 列的 倍加到第 1 列(j=2，3，n)，则得上三角行列式【知识模块】 行列式21 【正确答案】 n+1按第 1 行展开，并将(1，2)元素的余子式按第 1 列展开，得递推公式 Dn=2Dn1 一 Dn2D n 一 Dn1=Dn1 一 Dn2。由此可得 Dn 一 Dn1=Dn1Dn2=D2 一 D2=1，D n=1+Dn1=2Dn2=(n 一 2)+D2=n+1【知识模块】 行列式22 【正确答案】 先按第 1 行展开，并将(1，2)元素的余子式按第 1 列展开，得递推关系式 Dn=(a+b)Dn1 一 abDn2，D n 一 aDn1=b(Dn1aDn2)，D n 一 aDn1=bn2(D2 一 aD1)=bn，对称地有 Dn 一 bDn1=a“，解联立方程组亦可用数学归纳法证之【知识模块】 行列式
