1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 108 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（A）rm（B） r=m（C） rm（D）rm2 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，则( )（A） 1 可由 2， 3 线性表示（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表示（C） 4 可由 1， 3 线性表示（D） 4 可由 1， 2 线性表示3 设向量组() ： 1， 2， ， s 的秩为 r1，向量组()： 1， 2， s 的秩为r2，且向量组( )可由向量组( )线
2、性表示，则( )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B）向量组 1 一 1， 2 一 2， s 一 s 的秩为 r1 一 r2（C）向量组 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D）向量组 1， 2， ， s， 1， 2， s 的秩为 r14 设 1， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1， 2 为非齐次线性方程组AX=b 的两个不同解，则方程组 Ab 的通解为( )（A）k 11+k2(1 一 2)+（B） k11+k2(1 一 2)+（C） k11+k2(1+2)+（D）k 11+k2(1+2)+5 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特
3、征值，则 A*的一个特征值为 ( )（A）（B）（C） A（D）A n16 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A 1 是正定矩阵7 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1 ，以下命题中正确的命题个数为( )(1)AB ；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A= B（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题8 设 f(x)= ，则 x2 项的系数为 _9 设 A 是三阶矩阵，且A=4，则( A)1 =_10 设 A= ，则(A 一 2E)1 =_11 ，则 P1
4、2009P21 =_12 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且1+2= ， 2+3= ，则方程组 AX=b 的通解为_13 设 = 的特征向量，则 a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 计算行列式 15 设 A= ，且 AX+AE=A *+X，求 X16 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2 一 2A 一 8E=O证明：r(4E A)+r(2E+A)=n17 证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关18 设三维向量空间的两组基，向量 在基1， 2， 3 下的坐标为 ，求 在基 1， 2， 3
5、 下的坐标18 设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，( 一1，2，0，1) T，(2 ，一 4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解 19 求常数 a；20 求方程组 AX=0 的通解21 四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1， 2， 3 且 r(A)=3，设 1+2=， 2+3= ，求方程组 AX=b 的通解22 设 A= ，求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化23 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量，若 A2 有特征值 ，其对应的特
6、征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由23 设 A，B 为 n 阶矩阵24 是否有 ABBA；25 若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA26 设 的逆矩阵 A1 的特征向量求 x，y，并求 A1对应的特征值 26 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，tr(A)=1，又 B= 且 AB=O27 求正交矩阵 Q，使得在正交变换 x=QY 下二次型化为标准形28 求矩阵 A考研数学一（线性代数）模拟试卷 108 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B
7、)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 2， 3， 4 线性无关，所以 2， 3 线性无关，又因为1， 2， 3 线性相关，所以 1 可由 2， 3 线性表示，选(A)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， s 线性表示，所以向量组 1， 2， s 与向量组 1， 2， s， 1， 2， s 等价，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) ，因为 1， 1+2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，
8、而 为方程组 AX=b 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A*AX=A*X，从而有 A*X=，选(B)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B
9、 的特征值为一 2，1，1 ，所以A=B= 一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A， B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 (B)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 23【试题解析】 按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x2 项的系数为 23【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 2【试题解析】 ( A)1 =2A 1 =2 3A 1 =2【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 A 一 2E= ，【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 P 1= =E23，因
10、为 Eij1 =Eij，所以 Eij2=E，于是P12009P21 =P1P21 = 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 X= (k 为任意常数)【试题解析】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 =3 一1=(2+3)一( 1+2)= ，于是方程组的通解为X= (k 为任意常数 )【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 a=2，b=3；【试题解析】 由 A= 得 ，解得=5，a=2，b=3【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 AX+AE=A *+X 得(AE)
11、X=A *一A E=A *一 AA*=(EA)A*，因为E A= 一 30，所以 EA 可逆，于是 X=一 A*，由A=6 得X=一 6A1 ，得 A1 =，于是 X=一 6A1 = 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 A2 一 2A 一 8E=O 得(4EA)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得r(4EA)+r(2E+A)n，又 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n ，所以有r(4EA)+r(2E+A)=n【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 1， n 为一个向量组，且 1， r(rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k r，使得 k
12、11+krr=0，于是k11+krr+0r1 +0 n=0，因为 k1，k r，0，0 不全为零，所以1， ， n 线性相关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为向量 在基 1， 2， 3 下的坐标为 ，所以有=(1， 2， 3) ，设向量 在基 1， 2， 3 下的坐标为(x 1，x 2，x 3)，则有=(1， 2， 3) ，于是 (1， 2， 3) =(1， 2， 3)=(1， 2， 3)1 (1， 2， 3) 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，一 2，1，2) T，
13、(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T，(2，一4，3，a+1) T 线性相关，即 =0，解得 a=6【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为 X=k1(1，一 2，1，2) T+k2(1，0，5，2) T+k3(一1，2，0，1) T(k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 为AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性
14、质，=(2+3)一( 1+2)=3 一 1= ，所以方程组AX=b 的通解为 (k 为任意常数)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由E A= =( 一 2)2=0 得 =2(三重)，因为 r(2EA)=1，所以 =2 只有两个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 AX=X 得 A2X=A(AX)=A(X)=AX=2X 可知 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量，若 A2X=X，其中 A= ，A 2=O，A 2 的特征值为 =0，取X= ，显然 A2X=0X，但 AX= 0X，即 X 不是 A 的特征向量，因此结论未必成立【知识模块】 线
15、性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 一般情况下，AB 与 BA 不相似，如因为 r(AB)r(BA)，所以 AB 与 BA 不相似【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为A=n！0，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有P1 ABP=BA，故 ABBA【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 令 A=0，即 ，解得0=4，x=10，y=一 9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 = 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 AB=O 得 为=0 的两个线性无关的特征向量，从而 =0 为至少二重特征值，又由 tr(A)=1 得3=1，即 1=2=0， 3=1令 3=1 对应的特征向量为 3= ，因为 AT=A，所以解得 3=1 对应的线性无关的特征向量为 3= ，令，所求的正交矩阵为 Q= ，且 XTAX y32【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由 QTAQ= 【知识模块】 线性代数
