1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 123 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 x= 2 是 =0 的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必要条件2 设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（A）A *A=AA*（B） AmAp=ApAm（C） ATA=AAT（D）(A+E)(AE)=(AE)(A+E)3 若 1， 2， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（A） 1， 1+2， 1+2+3（B） 1+2， 1 2， 3（C） 1+2， 2+3， 3 1（D） 1 2， 2 3， 3 14 已知 1， 2
2、， 3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1， 2， 3+4， 3 4（C） 1， 2， 3， 4 的一个等价向量组（D） 1， 2， 3， 4 的一个等秩的向量组5 设 0 是 A 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（A）(A+E) 2（B） 2A（C） AT（D）A *6 矩阵 A= 舍同于二、填空题7 已知 Dn= ，若 Dn=anDn1 +kDn2 ，则 k=_8 若 A= ，则 A*=_，(A *)*=_9 若 A1 = ，则 (3A)*=_10 已知 A= ，矩阵 X 满足 A*X=
3、A1 +2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_.11 向量组 1=(1，0，1，2) T， 2=(1，1，3，1) T， 3=(2，1，a+1，5) T 线性相关，则 a=_12 向量组 1=(1，1，3，0) T， 2=(2，1，a，1) T， 3=(1，1，5，2) T 的秩为 2，则 a=_13 与 1=(1， 1，0，2) T， 2=(2，3，1，1) T， 3=(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是_14 四元方程组 Ax=b 的三个解是 1， 2， 3，其中 1=(1，1，1，1)T， 2+3=(2，3，4，5) T，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是_15
4、 已知 1=(3，2，0) T， 2=(1，0，2) T 是方程组 的两个解，则此方程组的通解是_16 已知2 是 A= 的特征值，则 x=_17 已知 A= 相似，则 x=_，y=18 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x22+2x1x3 的负惯性指数 q=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是AB=BA20 设 A 是 n 阶矩阵，A m=0，证明 EA 可逆21 已知向量组有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表出，求 a，b 的值22 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是
5、 ms 矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)23 设 A 是 n 阶矩阵，证明方程组 Ax=b 对任何 b 都有解的充分必要条件是|A|024 已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，1 和 2 是 A 的特征值，B=A 2A 2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由25 求正交变换化二次型 x12+x22+x324x 1x24x 2x34x 1x3 为标准形26 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明|A+2E| 2 n考研数学一（线性代数）模拟试卷 123 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【
6、试题解析】 对于范德蒙行列式 =(x1)( 21)(2 x)=3(x1)(x+2) ，因为 x=2 时，行列式的值为 0但 D=0 时，x 可以为1所以 x=2 是 D=0 的充分而非必要条件故应选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AA*=A*A=|A|E，A mAp=ApAm=Am+p，(A+E)(AE)=(AE)(A+E)=A2E，所以(A)、(B)、(D)均正确而 AAT故(C)不正确。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 用观察法由( 1 2)+(2 3)+(3 1)=0，可知1 2， 2 3， 3 1 线性相关故应选(D) 至于(A
7、)，(B)，(C) 线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断例如，(A)中 r(1， 1+2， 1+2+3)=r(1， 1+2， 3)=r(1， 2， 3)=3或( 1， 1+2， 1+2+3)0 而知 1， 1+2， 1+2+3 线性无关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 向量组(A) 线性相关， (A)不正确 1， 2， 3， 4， 1+2 与1， 2， 3， 4 等价但前者线性相关，故(C)不正确 等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确选 (B)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 由|EA T|=|(E
8、A) T|=|EA|，知 A 与 AT 有相同的特征值，但方程组(EA)x=0 与(E AT)x=0 不一定同解，故 A 与 AT 特征向量不一定相同故应选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式|EA| =(1)(3)(+2)，知矩阵 A 的特征值为 1，3，2即二次型正惯性指数 p=2，负惯性指数q=1故应选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 =anDn1+(1) 2n2 Dn2 =anDn1 +Dn2 ，从而 k=1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 ；0【试题解析】 用定义A 11=3，A 12=6，
9、A 13=3，A 21=6，A 22=12 ，A 23=6，A 31=3，A 32=6，A 33=3，故 因为 r(A*)=1，A *的二阶子式全为 0，故(A *)*=0【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 因为(kA) *=kn1 A*，故(3A) *=32A*，又 A*=|A|A1 ，而|A 1 |=27，所以|A|=127从而(3A) *=9A*【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 左乘 A 并把 AA*=|A|E 代入得|A|X=E+2AX ，移项得(|A|E2A)X=E故 X=(|A|E2A) 1 由|A|=4 知 X=(4E2A) 1 =12(2
10、EA) 1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1【试题解析】 1， 2， 3 线性相关 r(1， 2， 3)3故 a=1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 2【试题解析】 r( 1， 2， 3)=2，计算秩得 a=2【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1，1，2，1) T【试题解析】 设 =(x1，x 2，x 3，x 4)T 与 1， 2， 3 均正交，则 Ti=0(i=1，2，3)，即 求出基础解系：(1，1，2，1) T，单位化得 (1，1，2，1) T 为所求【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【试题解析】 由(
11、2+3)2 1=(2 1)+(3 1)=(2，3，4，5) T2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3) T，知(0，1，2，3) T 是 AX=0 的解 又秩 r(A)=3，nr(A)=1，所以 Ax=b 的通解是(1，1， 1，1) T+k(0，1，2，3) T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (3，2，0) T+k(1，1，1) T【试题解析】 由于矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 1 2 是 Ax=0的非零解，知 r(A)3 故必有 r(A)=2于是 n r(a)=1 所以方程组通解是：(3， 2，0) T+k(1，1，1) T【知识模块】 线性代数16
12、 【正确答案】 4【试题解析】 因为2 是矩阵 A 的特征值，所以由 |2EA|x=4【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 0；1【试题解析】 由 AB，知a ii=bii，且1 是 A 的特征值，即x=0，y=1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 1【试题解析】 故()是坐标变换，那么经此变换二次型化为 f=y22+2(y1+y3)(y1y 3)=2y12+y232y 32所以负惯性指数q=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 因为 AT=A，B T=B，那么(AB) T=BTAT=BA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) T
13、=AB，从而 AB=BA反之，若 AB=BA，则(AB) T=BA=AB，即 AB 是反对称矩阵【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 Am=0，有 EA m=E于是 (EA)(E+A+A 2+Am1 )=EA m=E 所以 EA 可逆，且(EA) 1 =E+A+A2+Am1 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 3 可由 1， 2， 3 线性表示，故方程组 x11+x22+x33=3 有解由并且秩r(1， 2， 3)=2于是 r(1， 2， 3)=2从而| 1， 2， 3|a=15【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 对齐次方程组()ABx=0，()Bx=0，如 是 ()
14、的解，有 B=0，那么 AB=0，于是 是()的解如 是 ()的解，有 AB=0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)=n，所以 Ax=0 只有零解，从而 B=0于是 是 ()的解因此方程组() 与()同解那么 sr(AB)=sr(B)，即 r(AB)=r(B)所以 r(B)=r(C)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 必要性对矩阵 A 按列分块 A=(1， 2， n)，则 b，Ax=b有解 1， 2， n 可表示任何 n 维向量 b 1， 2， n 可表示e1=(1，0，0，0) T，e 2=(0，1，0，0) T， ，e n=(0，0，0，1)T r(1， 2， n)r(e1，e
15、2，e n)=n r(A)=n所以|A|0充分性由克莱姆法则，行列式|A|0 时方程组必有唯一解，故 b，Ax=b 总有解【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为矩阵 A 不可逆，有|A|=0，从而 =0 是 A 的特征值由于矩阵 A 有 3 个不同的特征值，则 于是 P1 AP= 那么P1 A2P= 因此 P1 BP=P1 A2PP 1 AP2E 所以矩阵 B 的特征值是 1=2=0， 3=2，且 B 可以相似对角化【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 二次型矩阵 由特征多项式|EA|=(+3)(3) 2，得特征值为 1=2=3， 3=3由(3EA)x=0 得基础解系 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T，即 =3 的特征向量是1， 2由(3EA)x=0 得基础解系 3=(1，1，1) T对 1， 2 经 Scemidt 正交化，有 1=1， 2 单位化，得那么，令 x=Qy，其中Q=(1， 2， 3)，则有 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yT y=3y12+3y223y 32【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设矩阵 A 的特征值是 1， 2， n因为 A 正定，故特征值i0(i=1，2，n)又 A+2E 的特征值是 1+2， 2+2， n+2，所以 |A+2E|=(1+2)(2+2)( n+2)2 n【知识模块】 线性代数
