1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 127 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1， 2， 3， 1=m ， 1， 2， 2， 3=n，则 4 阶行列式 3， 2， 1， 1+2等于 ( )（A）m+n（B） (m+n)（C） nm（D）mn2 设 A，B 是 n 阶方阵，且 AB=O，BO，则必有 ( )（A）(A+B) 2=A2+B2（B） B 0（C） B* =0（D）A *=03 设 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，k 是任意
2、常数，则 Ax=0 的通解必定是 ( )（A） 1+2（B） k1（C） k(1+2)（D）k( 1 2)4 已知 1， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( )（A） k1+k2(1+2)+（B） k11+k2(1 2)+（C） k11+k2(1 2)+（D）k 11+k2(1 2)+5 已知 A 是 n 阶方阵，E 是 n 阶单位矩阵，且 A3=E，则 = ( )6 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A nx=0 和()A n+1x=0，现有命题 () 的解必是() 的解；
3、 ()的解必是( )的解； ()的解不一定是()的解； () 的解不一定是()的解 其中正确的是 ( )（A）（B） （C） （D）7 设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组()AX=0 和()A TAX=0，必有 ( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解8 A 是 n 阶矩阵，则 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 ( )（A）A 有 n 个不同的特征值（B） A 有 n 个不同的特征向量（C）对 A 的每个 ri
4、 重特征值 i，都有 r(iEA)=nr i（D）A 是实对称矩阵9 设 ， 为 n 维单位列向量，P 是 n 阶可逆矩阵，则下列矩阵中可逆的是 ( )（A）A=E= T（B） B=TPP1 T（C） C=TP1 P T（D）D=E+ T二、填空题10 =_11 已知 A，B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的2 倍加到第 2 行得矩阵 A1，将 B中第 1 列和第 2 列对换得到 B1，又 A1B1= 则 AB=_12 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足Ai=i， i=1，2，3，则 A=_13 设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) *
5、= _14 矩阵 的非零特征值是_15 设 A 是 2 阶实对称阵，有特征值 1=4， 2=1， 1=2，1 T 是 A 对应于 1 的特征向量，=3，1T ，则 A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 (1)计算 A2，并将 A2 用 A 和 E 线性表出； (2)证明：当 k2 时，Ak=0 的充分必要条件为 A2=017 设有两个非零矩阵 A=b1，b 2，a nT，B=b 1，b 2，b nT (1)计算 ABT 与ATB； (2)求矩阵 ABT 的秩 r(ABT)； (3)设 C=EAB T，其中 E 为 n 阶单位矩阵证明：18 已知线性方程组 (1)a，
6、b 为何值时，方程组有解；(2)方程组有解时，求方程组的导出组的基础解系；(3)方程组有解时，求方程组的全部解19 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为A中元素 aij 的代数余子式，试证明： (1)aij=AijATA=E，且A=1； (2)a ij=A ijATA=E，且A=120 设 A 是主对角元素为 0 的 4 阶实对称矩阵，E 是 4 阶单位矩阵，且 E+ AB 是不可逆的对称矩阵，求 A21 设向量组 1=a11，a 21，a n1T， 2=a12，a 22，a n2T， ， s=a1s，a 2s，a nsT证明：向量组 1， s， n 线性相关(线性无关)的充要条件是齐
7、次线性方程组 有非零解(有唯一零解)22 求下述线性方程组的解空间的维数： 并判断1=9，1，2，1，1 T 是否属于该解空间23 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22 3，如果 =1+2+3+4，求线性方程组 AX= 的通解24 已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值当 k 是自然数时，求 Ak 的每行元素之和25 证明：AB，其中 并求可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B25 设 a1，a 1，a n1 是 n 个实数，方阵26 若 是 A 的特征值，证明 =1， T， n1
8、 T 是 A 的对应于特征值 的特征向量；27 若 A 有 n 个互异的特征值 1， 2， n 求可逆矩阵 P，使 P1 AP=A28 设 A 是 3 阶矩阵，b=9，18，18 T，方程 Ax=b 有通解 k12，1，0T+k22，0，1 T+1，2，2 T，其中 k1，k 2 是任意常数，求 A 及 A10029 设 n 阶矩阵 已知 tr(A)=a0证明：矩阵 A 相似于对角矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 127 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因 3， 2， 1， 1+2= 3， 2， 1， 1+ 3， 2，
9、 1， 2 = 1， 2， 3， 1 1， 2， 3， 2 = 1， 2， 3， 1+ 1， 2， 2， 3 =n m 应选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 AB=O ，不一定有 BA=O，故 A 选项中(A+B) 2=A2+B2，不成立；BO，B可以为零，也可以不为零， B*也可以为零，可以不为零，故B，C 不成立；BO ，AB=O，所以方程 AX=0 有非零解，故 A=0 ，从而 A*= A n1 =0【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数，显然 A 不正确由 nr(A)=1 知 Ax=0的基础解系由一个非零向量构成但 1，
10、 1+2 与 1 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1， 2 是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k1 可能不是通解如果 1= 20，则 1， 1 是两个不同的解，但 1+1=0，即两个不同的解不能保证 1+20因此可排除 B，C由于 11，必有 1 10可见 D正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 A，C 中没有非齐次特解，D 中两个齐次解 1 与 1 2 是否线性无关未知，而 B 中因 1， 2 是基础解系，故 1， 1 2 仍是基础解系，又 仍是特解，故 B 是通解【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 又 A49=A316+1
11、=(A3)16.A=E.A=A，所以得 答案选 D【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 当 Anx=0 时，易知 n+1x=A(Anx)=0，故()的解必是()的解，也即正确，错误 当 An+1x=0 时，假设 Anx0，则有 x，Ax，A nx 均不为零，可以证明这种情况下 x，Ax，A nx 是线性无关(按定义证，依次乘以 An，A n1 ，A 即可证得)的由于 x，Ax，A nx 均为 n 维向量，而 n+1 个 n 维向量必定是线性相关的，矛盾故假设不成立，因此必有 Anx=0可知()的解必是()的解，故 正确，错误故选 B【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【
12、试题解析】 方程 AX=0 和 ATAX=0 是同解方程组 (注意到 XTATAX=(AX)TAX0)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 A 相似于对角矩阵 A 有 n 个线性无关特征向量 对每个 ri 重特征值i，r( iEA)=nr，即对应 ri 重特征值 i，有 ri 个线性无关特征向量( 共 n 个线性无关特征向量)A，D 是充分条件，但非必要，B 是必要条件，但不充分，n 个不同的特征向量，并不一定线性无关【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 方法一 对矩阵 D=E+T，有 D 2=(E+T)2=E+2T+TT(其中T=1) =E+3T=3(E+
13、T)2E=3D2E ， D 23D=D(D3E)=2E，故 D 可逆，且 D1 = (D3E)，故应选 D 方法二 利用齐次方程组是否有非零解判别 因 Ax=(E T)x=0，当 x=0 时，有 (E T)=( T)=0(其中 T=1)，故排除 A 因 Bx=(TPP1 T)x=0，当 x=P0 时，有( TPP1 T)P=(TP)(P1 P)( TP)=(TP)( TP)=0(其中 TP 是数)故排除 B因Cx=(TP1 P T)x=0，取 x=P1 0，有 ( TP1 )( TP1 )=0(其中 TP1 是数)故排除 C由排除法，故应选 D【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】
14、 (x 2y 2)(b2c 2)【试题解析】 =(x2y 2)(b2c 2)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 由题意有，【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 E【试题解析】 因 A1=1， A2=2，A 3=3，将其合并成矩阵形式有 A1，A 2，A 2=A1， 2， 3=1， 2， 3， 由 1， 2， 3 线性无关，知1， 2， 3是可逆矩阵，故 A=1， 2， 31， 2， 31 =E【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2 n2n .5n1【试题解析】 因(2A)(2A) *=2AE，故(2A) *=2A (2A) 1 ，则 2A *=2A(2A) 1 =
15、2 nA. A1 =2 n1 .5A1 =(2 n1 .5)nA 1 =2 n2n .5n1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 4【试题解析】 因得 A 的非零特征值为 4【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 7，6 T【试题解析】 A 是实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交， 1=4 对应的特征向量为 1=2，1 T，则对 2=1 的特征向量可取 2=1，2 T将 由 1， 2 表示设 =x11+x22， 解得x 1，x 2T=1，1 T，故= 1+2A=A( 1+2)=【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)解得 x=a
16、+d，y=bcad ，即 A 2=(a+d)A+(bcad)E (2)充分性 A2=O=Ak=O，k2，显然成立；必要性 A k=O=A=adbc=0，由(1)知A2=(a+d)A，于是 Ak=(a+d)k1 .A=0，故 A=0 或 a+d=0，从而有 A2=(a+d)A=O【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)AB T= ATB=a1b1+a2b2+anbn(2)因 ABT 各行(列)是第 1 行 (列)的倍数，又 A，B 皆为非零矩阵，故 r(ABT)=1(3)由于 CTC=(EAB T)T(EAB T)=(EBA T)(EAB T)=EBA TAB T+BATABT，故若要求
17、 CTC=EBA TAB T+BBT，则 BATABTBB T=O，B(A TA1)B T=O，即 (ATA1)BB T=0 因为 B0，所以 BBTO故 CTC=EBA TAB T+BBT 的充要条件是 ATA=1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)a=1，b=3 时，r(A)=r(Ab) ，方程组有解 (2)导出组的基础解系为：1=1，2，1，0，0 T， 2=1，2，0，1，0 T， 3=5，6，0，0，1 T (3)非齐次特解为 =2，30，0，0 T，故通解为 k11+k22+k33+，k 1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)当
18、aij=Aij 时，有 AT=A*，则 ATA=A*A=A E 由于 A 为 n阶非零实矩阵，即 aij，不全为 0，所以 而 tr(AAT)=tr(A E)=NA，这说明A0，在 AAT=AE 两边取行列式，得A n2 =1，于是A=1 ，故 ATA=E 反之，若 ATA=E 且A =1，则A*A=AE=E 且 A 可逆，于是，A TA=A*A，A T=A*，即 aij=Aij(2)当 aij=A ij时，有 AT=A *，则 ATA=A *A=AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 aij 不全为 0，所以 在 ATA=AE 两边取行列式得A=1，故 ATA=E 反之，若 ATA=E 且A
19、=1，由于A*A=AE=E，于是，A TA=A *A进一步，由于 A 可逆，得 AT=A *，即aij=A ij【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因(E+AB)T=E+AB故有 b=c=d=e=0又 E+AB 不可逆，有从而得其中 a 是任意常数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 1， 2， s(线性无关)线性相关(不)存在不全为零的x1，x 2，x s 使得 x11+x22+xss=0 成立(没)有不全为零的 x1，x 2，x s，使得 成立齐次线性方程组有非零解(唯一零解)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因系数矩阵知 r(A)=2，又 n=5，故解空间的维数是 3
20、1=9， 1，2，1，1 T 满足方程组，故 1 属于该解空间【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 方法一 由 12 2 3 及 2， 3， 4 线性无关知 r(A)=r(1， 2， 3， 4)=3，且对应齐次方程组 AX=0 有通解 k1，2，1，0 T，又=1+2+3+4 即 1， 2， 3， 4X=1+2+3+4=1， 2， 3， 4 故非齐次方程组有特解 =1，1，1，1 T，故方程组的通解为 k1，2，1，0T+1，1，1，1 T，k 为任意常数方法二 1， 2， 3， 4X=1+2+3+4=1， 2， 3， 4 =(22 3)+2+3+4=32+4=1， 2， 3， 4 故方程
21、组有两特解 1=1，1，1，1T， 2=0，3， 0，1 T 又 r(A)=3，故方程组的通解为 k(1 2)+1=k1，2，1，0 T+1，1，1，1 T，k 为任意常数方法三 由AX=1， 2， 3， 4x=1+2+3+4，得 x11+x22+x33+x44=1+2+3+4 将1=22 3 代入，整理得 (2x 1+x23) 2+(x 1+x3)3+(x41) 4=0，由 2， 3， 4 线性无关，得 解方程组，得 其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因 A 的每行元素之和为 a，故有 即 a 是 A的一个特征值 又 Ak 的特征值为 ak，且对应的特征向量相同，
22、即故 Ak 的每行元素之和为 ak【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B 由于当 1=1 时，( 1EA)X=0 ，有特征向量1=1，0，0 T； 当 2=2 时，( 2EA)X=0，有特征向量 2=0，1，0 T； 当 n=n 时，( nEA)X=0，有特征向量 n=0，0，1 T故有 An=nn，A n1 =(n1) n1 ，A 1=1，即 A n， n1 ， 1=nn，(n1)n1 ， 1=n， n1 ， 1 故得可逆矩阵 P=n， n1 ， 1= 有 P1 AP=B【知识模块】 线性代数【
23、知识模块】 线性代数26 【正确答案】 是 A 的特征值，则 应满足EA =0，即将第 2 列乘 ，第 3 列乘 2，第 n 列乘 n1 加到第 1 列，再按第 1 列展开，得故 =1， 2， n1 T 是 A 的对应于 的特征向量【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因 1， 2， n 互异，故特征向量 1， 2， n 线性无关，取可逆矩阵 P=1， 2， n，得 其中i=1， i， i2， in1 T，i=1，n【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 方法一 由题设条件知，对应齐次方程的基础解系是1=2，1，0 T， 2=2，0，1 T，即 1， 2 是 A 的对应于 =0 的两个线
24、性无关的特征向量，又 =1，2，2 T 是 Ax=b 的特解，即有知 3=1，2，2 T= 是 A 的对应于 =9 的特征向量，取可逆阵 P=1， 2， 3，则得 P 1 AP=，A=PP 1 ，或 A 100=(PP1 )100=P100P1方法二 由方程的通解直接求出系数矩阵 A因对应齐次方程 Ax=0 有通解为k11+k22=k12，1，0 T+k22，0，1 T，故 r(A)=1可设方程为 ax 1+bx2+xx3=0，将 1， 2 代入，则有 得 c=2a ，b=2a，故方程为 a(x1+2x22x 3)=0对应的非齐次方程为 将特解 =1，2，2 T 代入得 k1=1，k 2=2，
25、k 3=2故得对应矩阵 再求 A100(同方法一)或因 A1=0，故 A1001=0；A 2=0，故 A1002=0A=9，故A100=9100故 A 1001， 2，=0，0，9 100A 100=0，0，9 1001， 2， 1 =999A【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 设 =a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT，则矩阵 A=T于是 A 2=AA=(T)(T)=(T)T =tr(A).A=aA设 是 A 的特征值， 是对应的特征向量，则 A2=aA， 2=a，( 2 a)=0由于 0，故有 (a)=0所以，矩阵 A 的特征值是 0 或 a又因为 =tr(A)=a0，所以 1=a 是 A 的1 重特征值， 2=3= n=0 是 A 的 n1 重特征值 对于特征值 2=3= n=0，齐次线性方程组(0.E A)x=0 系数矩阵的秩 r(0.EA)=r(A)=r(A) =r(T)minr()，r(T)=1又因为 故 ai，b i(i=1，2，n)不全为零由此可知 r(A)1 所以 r(0.EA)=1因此，矩阵 A 的属于 n1 重特征值 0的线性无关的特征向量个数为 n1从而，A 有 n 个线性无关的特征向量，故 A相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数
