1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 中 x3 的系数为 ( )（A）2（B） -2（C） 3（D）-32 设 等于 ( )（A）c -2m（B） m（C） cm（D）c 3m3 设 1， 2， 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1， 2， 3， 1=m ， 1， 2， 2， 3=n，则 4 阶行列式 3， 2， 1， 1+2等于 ( )（A）m+n（B） -(m+n)（C） n-m（D）m-n4 线性方程组（A）若方程组无解，则必有系数行列式A=0（B）若方程组有解，则必有系数行列式A0（C）系
2、数行列式A=0，则方程组必无解（D）系数行列式A0 是方程组有唯一解的充分非必要条件5 线性方程组 则 ( )（A）当 a， b，c 为任意实数时，方程组均有解（B）当 a=0 时，方程组无解（C）当 b=0 时，方程组无解（D）当 c=0 时，方程组无解6 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )7 设 A 是 n 阶矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )二、填空题8 =_9 设 a，b，a+b 均非 0，则行列式 =_10 已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，B=2，则行列式 =_11 设
3、 n 阶矩阵 ，则A =_12 设 A=1， 2， 3是 3 阶矩阵，A=4 ，若 B=1-32+23， 2-23,22+3，则B =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 计算行列式14 计算行列式15 计算 Dn=16 已知 n(n3)阶实矩阵 A=(aij)nm 满足条件：(1)a ij=Aij(i，j=1 ，2，n)，其中 Aij是 aij 的代数余子式； (2)a110求A17 A是阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值18 计算 D5=19 计算行列式20 设 f(x)= ，试证明：E(0，1)，使得f()
4、=021 计算 ，其中 n221 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 aij 的代数余子式，试证明：22 aij=A ATA=E，且A=1 ；23 aij=-Aij ATA=E，且A=-124 设 A 是行阶矩阵，满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵， AT 是 A 的转置矩阵) ，A0，求A+E25 设 a1，a 2，a n 是互不相同的实数，且求线性方程组 AX=b 的解26 设 B=2A-E，证明：B 2=E 的充分必要条件是 A2=A27 设 A 是 n 阶矩阵，证明：A=O 的充要条件是 AAT=O考研数学一（线性代数）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下
5、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 按第 1 行展开：其中第1，3，4 项都没有 x3 的因子，所以只分析第 2 项又因为第 2 项一(-x)的行列式中只有主对角线上元素的乘积是 x2 项，所以行列式展开式含 x3 项的系数是-2 由行列式展开定理，只有 a12A12 这一项有可能得到 x3 项，又所以行列式中 x3 项的系数就是-2故应选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由故选(B) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因 3， 2， 1， 1+2 = 3， 2， 1， 2+ 3， 2， 1， 2
6、 =- 1， 2， 3， 1- 1， 2， 3， 2 =- 1， 2， 3， 1+ 1， 2， 2， 3 =m-n 应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 方程组无解 A=0(反证，若A 0 ，用克拉默法则，方程组必有解)；(B)方程组有解，A可能为零，也可能不为零； (C)A=0，方程组也可能有解；(D) A0 方程组有唯一解，但方程组如果有唯一解，A一定不为零【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 当 a=0 或 b=0 或 c=0 时，方程组均有解，且系数行列式当 abc0时，由克拉默法则知，方程组有解，且当 abc=0 时也有解，故 a，b，c
7、 为任意实数时，方程组均有解【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因AB=AB=0 A=0 或B=0，故(C)正确；(A)不正确，例： ，但 AB=O；(B)不正确，例： (D)不正确，例：【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 x，有 XTAx=0，可推出 AT=-A，不能推出 A=O例，对任意的x 1，x 2T，均有【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 (x 2-y2)(b2-c2)【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 -2(a 3+b3)【试题解析】 将第 2，3 行加到第 1 行上去，提出公因子 2(a+b)后，再
8、将第 1 列的-1 倍加到第 2，3 列，得到【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，A = B =2 ，且123=A =2，可见 3=1，从而 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=1于是有 A+E=( 1+1)(2+1)(3+1)=12， (2B)*= 22B* =43B *=4 3B 2=256，故【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (-1) n-1(n-1)【试题解析】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 20【试题解析】 方法一利用行列式的性质B= 1-32+23， 2-23，5 3=5 1-32+23
9、， 2-23， 3=5 1-32， 2， 3=5 1， 2， 320 方法二 B= 1-32+23， 2-23，2 2+3=1， 2， 3 故【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 按第一列展开，得【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 方法一把 Dn 按第一行展开，得把递推公式改写成 D n-Dn-1=(Dn-1-Dn-2)， 继续用递推关系递推，得 Dn-Dn-1=(Dn-1-Dn-2)=2(Dn-2-Dn-3)= n-2(D2-D1)，而 D2=(+)2-，D 1=+， D n-Dn-1=n-
10、2(D2-D1)=n， 式递推得 D n=Dn-1+n=(Dn-2+n-1)+n = n+n-1+n-22+ n-1+n 除了将式变形得式外，还可将 式改写成 D n-Dn-1=(Dn-1-Dn-2) 由递推可得 D n-Dn-1=n， - 得 (-)D n=n+1-n+1，-0 时，有 =n+n-1+ n-1+n 方法二把原行列式表示成如下形式 再利用“拆项” 性质，将Dn 表示成 2n 个 n 阶行列式之和，可以看出 Dn 中第 i 列的第 2 子列和第 i+1 列的第1 子列成正比，因此 2n 个行列式中只有 n+1 个不为零，即各列都选第 1 子列，或者由第 i 列起(i=n n-1，
11、 ，1)以后都选第 2 子列，而前 i-1 列都选第 1 子列，最后得 Dn=n+n-1+n-22+ n-1+n【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由已知 aij=Aij，所以 A*=AT，且 AA *=AAT=AE两边取行列式得 AA T=A 2= AE= A n 从而A =1 或A=0由于a110，可知 A=a 11A11+a12A12+a1nA1n= 于是A=1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 不失一般性，设【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 按第一行展开得到递推公式D5-D4=-x(D4-D3)=-x3(D2-D1)由于 D2= =1-x+x2，D 1=1-x，于是
12、得 容易推出 D5=x5+x4-x3+D2=-x5+x4-x3+x2-x+1【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 =(a2+b2+c2+d2)4故原式=(a 2+b2+c2+d2)2【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 f(x)显然在0 ，1上连续，在(0，1) 上可导而可知f(x)在0，1 上满足罗尔定理的条件，故 (0，1) ，使得 f()=0【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 把第 1 行的(-x)倍分别加到第 2，3，n 行，得当 x0 时，再把第 j 列的 倍加到第 1 列(j=2，n)，就把 Dn 化成了上三角行列式当 x=0 时，显然有 Dn=0，所以总有 D n=
13、(-1)n-1(n-1)xn-2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 当 aij=Aij 时，有 AT=A*，则 ATA=AA*=AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 aijT)= 而 tr(AAT)=tr(A E)=nA，这说明A0在 AAT=AE 两边取行列式，得A n-2=1，A=1 反之，若 ATA=E 且A=1 ，则 A*A=A E=E 且 A 可逆，于是，ATA=A*A，A T=A*，即 aij=Aij【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 当 aij=-Aij 时，有 AT=-A*，则 ATA=-A*A=-A E 由于 A 为 n阶非零实矩阵，即 a
14、ij 不全为 0，所以A= 在ATA=AE 两边取行列式得A=-1 反之，若 ATA=E 且A=-1，由于A*A=AE=-E，于是，A TA=-A*A进一步，由于 A 可逆，得 AT=-A*，即 aij=-Aij【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由A+E= A+AA T=A(E+A T)=A .(A+E)T =A.A+E，故【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因 a1，a 2，a n 互不相同，故由范德蒙德行列式知，A0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且其中A i是 b 代换A 中第 i 列得的行列式，有 A= A，A i=0，i=2 ，3，n故 AX=b 的唯一解为X=1，0，0，0 T【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 B=2A-E，B 2=(2A-E)(2A-E)=4A2-4A+E，所以 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 A= ，则若应有 ，i=1，2 ， n，即 aij=0(i=1，2，n；j=1 ，2，n)，即 A=O 反之，若A=O，显然 AAT=0【知识模块】 线性代数
