1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 62 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 与矩阵 相似的矩阵是2 n 阶方阵 A 有 n 个两两不同特征值是 A 与对角矩阵相似的（A）充分必要条件（B）充分而非必要的条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件3 设 A、B 为同阶方阵，则 A 与 B 相似的充分条件是（A）秩(A)=秩(B)（B） |A|=|B|（C） A、B 有相同的特征多项式（D）A、B 有相同的特征值 1， 2， n，且 1， 2， n 两两不同4 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（A）E 一 A=E 一 B
2、（B） A 和 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于同一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE 一 A 与 tE 一 B 都相似5 设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A*的特征根之一是（A） -1|A|n（B） -1|A|（C） |A|（D）|A| n二、填空题6 设 1=(1，2 ，0) T 和 2=(1，0，1) T 都是方阵 A 的对应于特征值 2 的特征向量，又=(一 1，2，一 2)T，则 A=_7 设 1、 2 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值，X 1 为对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A1X1X1T 有两个特征值
3、为_8 设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 ，则行列式|B -1 一E|=_9 设 3 阶矩阵 A 的特征值为10 设向量 =(1，0，一 1)T，矩阵 A=T，a 为常数，n 为正整数，则行列式|aE 一An|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设向量组 1， 2， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解即 A0，求证：，+ 1，+ t 线性无关12 设 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解 *，r(A)=rn，证明：方程组 Ax=b 有 n一 r+1 个线性无关的解，而且这 n 一 r+1 个解可以线性
4、表示方程组 Ax=b 的任一解13 设 A 为 mn 矩阵证明：对任意 m 维列向量 b，非齐次线性方程组 Ax=b 恒有解的充分必要条件是 r(A)=m14 设齐次线性方程组 Amnx=0 的解全是方程 b1x1+b2x2+-+bnxn=0 的解，其中x=(x1，x 2，x n)T证明：向量 b=(b1，b 2，b n)可由 A 的行向量组线性表出15 设 1， 2， ， k(kn)是 Rn 中 k 个线性无关的列向量，证明：存在 n 阶满秩方阵 P，使得 P 以 1， 2， k 为其前 k 列16 设矩阵 A=(aij)nn 的秩为 n，记 A 的元素 aij 的代数余子式为 Aij，并记
5、 A 的前 r行组成的 rn 矩阵为 B，证明：向量组 1=(Ar+1,1，A r+1,n)T 2=(Ar+2,1， ，A r+2,n)T n-r=(An1，A nn)T 是齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系17 设 A 为 n 阶方阵(n2)，A*为 A 的伴随矩阵，证明：18 设有两个线性方程组： 其中向量b=(b1，b 2，b m)T0证明：方程组(I)有解的充分必要条件，是()的每一解y=(y1，y 2，y m)T 都满足方程 b1y1+b2y2+bmym=019 已知齐次线性方程组 其中试讨论 a1，a 2， ，a n 和 b 满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非
6、零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系20 设有向量组(I)： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，一 1，a+2) T 和向量组()： 1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2， 1，a+4) T试问：当 a 为何值时，向量组(I)与( )等价?当 a 为何值时，向量组(I) 与()不等价?21 讨论三个平面：x+2y+z=1，2x+3y+(a+2)z=3，x+ay 一 2z=0 的相互位置关系22 设有向量 1=(1，2，0) T， 2=(1，a+2，一 3a)T， 3=(一 1，一 b2，a+2b)T， =(1，3，一 3)T试讨
7、论当 a、b 为何值时， (1) 不能由 1， 2， 3 线性表示； (2) 可由 1， 2， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； (3) 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式23 已知(1 ，一 1，1，一 1)T 是线性方程组的一个解，试求：(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足 x2=x3 的全部解24 确定常数 a 的值，使向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(一 2，a ，4) T， 3=(一 2，a ，a) T 线性表
8、示，但向量组1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示25 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c 的值26 设 3 阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，1，相应的特征向量分别为 (1，一 1，1)T， (1，0，一 1)T，(1，2，一 4)T，求 A10027 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，一 1，0，对应的特征向量分别为 1， 2， 3，若B=A2 一 2A+3E，试求 B-1 的特征值和特征向量28 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1，2，一 3，B=A 3 一 7A+5E，求矩阵 B29 3 阶矩阵 A 与对角阵 相似，证明：矩阵 B=(A1E)(A2E)(A2E)=O30
9、 设 A 为 n 阶非零矩阵，存在某正整数 m，使 Am=O，求 A 的特征值，并证明 A不与对角阵相似31 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(aij)nn 中元素 aij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，x n)= (1)记X=(x1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式，并证明二次型 f(X)的矩阵为 A-1；(2)二次型 g(X)=XTAX 与 f(X)的规范形是否相同? 说明理由32 设 A、B 为同阶正定矩阵，且 AB=BA，证明： AB 为正定矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 62 答案与解析一
10、、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 (一 2，4,一 4)T【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 0， 2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 24【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1620【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 a 2(a 一 2n)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1
11、1 【正确答案】 设有一组数 k0，k 1，k t，使得 k0+k1(+1)+kt(+t)=0，即 (k 0+k1+kt)+k11+ktt=0， (*) 用矩阵 A【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由条件知齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系含 n 一 r 个向量，设这个基础解系为 1， 2， n-r则向量组 *，*+ 1，*+ n-r (*) 满足题意首先，由解的性质易知(*)式中的 n 一 r+1 个向量均为方程组 Ax=b 的解；其次，由上题知(*)式中的向量组线性无关；再次，设 x 为方程组 Ax=b 的任一解，则 x一 *为方程组 Ax=0 的解，因此 x 一 *可由 1，
12、【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 必要性：设 j 为 Em 的第 j 个列向量，由必要性假定，方程组Ax=j 有解 cj，即 Acj=j， (j=1，2，m)，Ac 1 c2 cm=1 2 m=Em，记C=c1 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由条件知方程组 Ax=0 与方程组 同解，从而知矩阵 A 与有相同的秩，因此 A 的极大无关行向量组也是 的极大无关行向量组，故b 可由 A 的极大无关行向量组线性表出，从而知 b 可由 A 的行向量组线性表出【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 取齐次线性方程组 的基础解系 1， n-k，则可证1， ， k， 1， n-k 线性无
13、关：设 11+ kk+11+ n-kn-k=0，两端左乘(1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由于 A 的行向量组线性无关，故 B 的行向量组线性无关，r(B)=r，方程组 Bx=0 的基础解系含 n 一 r 个向量，所以，要证明 1， 2， n-r 是方程组 Bx=0 的基础解系，只要证明 1， 2， n-r，是 Bx=0 的线性无关解向量即可首先，由于 (i=1，2，r ；k=r+1，n)，故 1， n-r 都是方程组 Bx=0 的【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 当 r(A)=n 时，|A|0，|A*|=|A| n-10，即知 r(A*)=n 当 r(A)=n 一 1时，
14、A 中非零子式的最高阶数为 n 一 1，一方面有 A*0，r(A*)1，另一方面有|A|=0，A*A=|A|E=0故 A 的每一列都是方程组 A*x=0 的解向量，r(A)=n 一 1 说明 A*x=0 至少有 n 一 1 个线性无关解向量，故 n 一 r(A*)n 一 1，r(A*)1，以上两方面说明 r(A*)=1；当 r(A)n 一 1 时，A 中每个 n 一 1 阶子式一即 A 的每个元素的余子式都为零，A*=0，从而有 r(A*)=0【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 记 A=(aij)mn，x=(x 1，x 2，x n)T，y=(y 1，y 2，y m)T，则方程组(I)的矩
15、阵形式为 Ax=b，方程组()的矩阵形式为 ATy=0，方程 的矩阵形式为 bTy=0必要性：设方程组(I)有解 x，y 为()的任一解，则【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 方程组的系数行列式 故当|A|0，即 b0且 时，方程组仅有零解而当 b=0 或 时，方程组有非零解当 b=0 时，设 a10，则由【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因行列式| 1 2 3|=a+10，故当 a一 1 时方程组x11+x22+x33=i(i=1，2，3)均有解( 且有惟一解)，所以向量组 ()可由(I) 线性表示又由行列式| 1 2 3|=60，同理【知识模块】 线性代数21 【正确答案】
16、首先由三个平面的法向量互不平行，知三个平面互不平行(更不会重合)考虑由三个平面方程联立所得线性方程组当 a3 且 a一 1 时，方程组有唯一解，故此时三个平面交于一点；当 a=3 时，方程组有无穷多解，通解为(x，y， z)T=(3，一 1，0) T+c(一 7，3，1) T，此通解在几何上代表一条空间直线 L，所以此时三个平面相交于直线 L；当 a=一 1 时，方程组无解，即三个平面无公共交点，故此时三个平面两两相交于一条直线【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设有一组数 x1,x2，x 3，使得 x11+x22+x33= (*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：(1)当 a=0
17、，b 为任意常数时，有 可知 r(A) ，故方程组(*)无解， 不能由 1， 2， 3 线性【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 将解向量 x=(1，一 1，1，一 1)T 代入方程组，得 =对方程组的增广矩阵施行初等行变换：因 r(A)= r(A)=34，故方程组有无穷多解，全部解为【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 记 A=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，由于 1， 2， 3 不能由1， 2,3 线性表示，故秩 r(A)3，从而|A|=一(a 一 1)2(a+2)=0，所以 a=1 或 a=一2 当 a=1 时， 1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为方程
18、组()的方程个数小于未知量个数，所以()有无穷多解，因(I) 与( )同解故方程组(I)有非零解，因此方程组 (I)的系数行列式等于零，由此解之得 a=2，此时，由(I)的系数矩阵的初等行变换得 =(一 1，一1，1) T 是(I)的一个基础解系将 代入方程组() 可得 b=1，c=2 ，或b=0，c=1当 b=1，c=2 时，对()的系数矩阵施行初等行变换，有比较(1)式与(2)式右边的矩阵知此时(I)与( )同解当 b=0，c=1 时，对 ()的系数矩阵施行【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由条件知 3 阶方阵 A 有 3 个线性无关的特征向量，故 A 可相似对角化，即存在可逆矩阵
19、 P，使 P-1AP=diag(-1，1，1)，A=Pdiag(一 1，1，1)P -1，A 100=Pdiag(一 1，1， 1)100p-1=Pdiag(一 1)100， 1100，1 100)P-1=PEP-1=E【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 对于 A 的特征值 i，有 Ami=imi(i=1，2，3；m=1，2，)，故B1=(A22A+3E)1=A212A1+31=(12 一 21【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 一 E B 的特征值为一 1，一 1，一 1，由 A 相似于对角阵，知B 相似于对角阵，故有可逆阵 P，使 P-1BP=一 E， B=P(一 E)P-1=
20、一 E【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 存在可逆阵 P，使 P-1AP=D，故 A=PDP-1，B=(PDP -1 一 1PP-1)(PDP-1 一 2PP-1)(PDP-1 一 3PP-1)=P(D1E)P-1P(D2E)P-1【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设 为 A 的任一特征值，x 为对应的特征向量，则有 Ax=x，两端左乘 A，得 A2x=Ax=2x，再左乘 A，得 A3x=3x，一般地可得 Amx=mx，因Am=0，得 mx=0，因 x0，得 =0，故 A 的特征值全为 0因 r(0E 一 A)=r(一 A)1，故(0E 一 A)x=0 的基础解系最多含 n 一
21、1 个向量，故 A 没有 n 个线性无关的特征向量亦【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1) 因秩(A)=n，故 A 可逆，且 从而(A -1)T=(AT)-1=A-1，故 A-1 也是实对称矩阵，因此二次型 f(x)的矩阵为 (2)因为(A -1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，所以 A 与 A-1 合同，【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 因 A、B 正定，有 AT=A，B T=B，故(AB) T=BTAT=BA=AB，即AB 也是对称矩阵因 A 正定， 存在正定阵 S，使 A=S2，于是 S-1(AB)S=S-1SSBS=SBS=STBS，由于 B 正定，故与 B 合同的矩阵 STBS 正定，故 STBS 的特征值全都大于零，而 S【知识模块】 线性代数
