1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( ) （A） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关2 设矩阵 A( 1， 2， 3， 4)经行初等变换为矩阵 B( 1， 2， 3， 4)，且1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，则( )（A） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示（B） 4 能由 1， 2， 3
2、线性表示，但表示法不唯一（C） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，且表示法唯一（D） 4 能否由 1， 2， 3 线性表示不能确定3 设 A( 1， 2， m)，若对于任意不全为零的常数 k1，k 2，k m，皆有k11 k22 k mm0，则( ) （A）mn（B） mn（C）存在 m 阶可逆阵 P，使得（D）若 AB0，则 B04 下列命题正确的是( ) （A）若向量 1， 2， ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则A1，A 2，A n 线性无关（B）若向量 1， 2， n 线性相关，则 1， 2， n 中任一向量都可由其余向量线性表示（C）若向量 1， 2， n 线性无关，则
3、1 2， 2 3， n 1 一定线性无关（D）设 1， 2， n 是 n 个 n 维向量且线性无关， A 为 n 阶非零矩阵，且A1，A 2，A n 线性无关，则 A 一定可逆5 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 2， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A( 1， 2， ， m)，方程组 AX0 只有零解（D） 1， 2， m 中向量的个数小于向量的维数6 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线性无关（B）非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多组解（C） ATA 一定
4、可逆（D）A TA 可逆的充分必要条件是 r7 设 A，B 是满足 AB0 的任意两个非零阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关8 设 1， 2， ， m 与 1， 2， s 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)r( 1， 2， s)r，则( )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， s)r（C）若向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， s 线性表示，则两向量组等价（
5、D）两向量组构成的矩阵等价9 设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX0 与 ABX0 同解的充分条件是 ( ) （A）r(A)s（B） r(A) m（C） r(B)s（D）r(B) n10 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，且非齐次线性方程组 AXb 有两个不同解1， 2，则下列命题正确的是( )（A）AXb 的通解为 k11k 22（B） 1 2 为 AXb 的解（C）方程组 AX0 的通解为 k(1 2)（D）Axb 的通解为 k11k 2211 设有方程组 AX0 与 BX0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX 0 的解都是 BX
6、0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX0 的解都是 BX0 的解(3)若 AX 0 与 BX0 同解，则 r(A)r(B)(4)若 r(A) r(B)，则 AX0 与 BX0 同解以上命题正确的是( )（A）(1)(2)（B） (1)(3)（C） (2)(4)（D）(3)(4)12 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解（B）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解（C）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解（D）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解13 设 A 为
7、 mn 阶矩阵，则方程组 AXb 有唯一解的充分必要条件是( )（A）r(A)m（B） r(A) n（C） A 为可逆矩阵（D）r(A)n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示二、填空题14 设 ，则 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为_，其余的向量用极大线性无关组表示为_15 设 ，且存在三阶非零矩阵 B，使得 AB0，则a_ ，b_.16 设 为非零向量， ， 为方程组 AX0 的解，则a_ ，方程组的通解为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设向量组() 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4； () 1， 2， 3， 5，若向量组()与向量组 ()
8、的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组 1， 2， 3， 5一 4 的秩为 418 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆19 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是20 设 1， 2， ， t 为 AX0 的一个基础解系， 不是 AX0 的解，证明：， 1， 2， t 线性无关21 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示2
9、2 设 A 为 n 阶矩阵，若 Ak1 0，而 Ak0证明：向量组 ，A，A k1 线性无关22 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关23 证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性表示；24 设 ，求出可由两组向量同时线性表示的向量25 设向量组 1， 2， n1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1， 2正交证明： 1， 1 线性相关26 设齐次线性方程组 ，其中 ab0，n2讨论 a，b 取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解27 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且
10、不全为零，又且 AB0，求方程组 AX0 的通解28 29 A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)r(B) n证明：方程组 AX0 与 BX0 有公共的非零解29 设 ， 1， 2， 3， 4 为四元非齐次线性方程组 BXb 的四个解，其中 130 求方程组() 的基础解系；31 求方程组()BX0 的基础解系；32 ( )与()是否有公共的非零解 ?若有公共解求出其公共解32 33 求() ，()的基础解系； 34 求() ，()的公共解35 36 37 38 设 A 是 m5 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)r(AB)证明：方程 BX0 与ABX0 是同解方程组38 设 A，B，C
11、，D 都是 n 阶矩阵，r(CADB)n39 证明 ；40 设 1， 2， r 与 1， 2， s 分别为方程组 AX0 与 BX0 的基础解系，证明： 1， 2， r， 1， 2， s 线性无关41 设 A 为 n 阶矩阵，A 110证明：非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解的充分必要条件是 A*b042 证明：r(AB)minr(A) ，r(B) 43 证明：r(A)r(A TA)44 设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AXb 满足 r(A) rn证明：方程组 AXb 的线性无关的解向量的个数最多是 n 一 r1 个45 讨论方程组 的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a
12、，b 为常数46 设 ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AXB有解?有解时求出全部解考研数学一（线性代数）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3， 4 线性无关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选(B)【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，所以 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，又 A( 1， 2， 3， 4)经过有限次
13、初等行变换化为B( 1， 2， 3， 4)，所以方程组 x11x 22x 33 4 与 x11x 22x 33 4 是同解方程组，因为方程组 x11x 22x 33 4 有唯一解，所以方程组x11x 22x 33 4 有唯一解，即 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，选(C) 【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1，k 2， ，k m，有k11 k22 k mm0，所以向量组 1， 2， ， m 线性无关，即方程组AX0 只有零解，故若 AB0，则 B0，选(D)【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1，A 2
14、，Aa n)A( 1， 2， n)，因为 1， 2， n 线性无关，所以矩阵( 1， 2， n)可逆，于是 r(A1，A 2，A n)r(A) ，而A1，A 2，A n 线性无关，所以 r(A)n，即 A 一定可逆，选(D)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1， 2， m 线性无关，则 1， 2， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故(A)不对；若 1， 2， m 是两两正交的非零向量组，则 1， 2， m 一定线性无关，但 1， 2， m 线性无关不一定两两正交，(B)不对； 1， 2， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，(D)不对，选(C)【
15、知识模块】 线性代数部分6 【正确答案】 A【试题解析】 若 ATA 可逆，则 r(ATA)n，因为 r(ATA)r(A)，所以 r(A)n ；反之，若 r(A)n ，因为 r(ATA)r(A) ，所以 ATA 可逆，选(D) 【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 A【试题解析】 设 A，B 分别为 mn 及 ns 矩阵，因为 AB0，所以 r(A)r(B)n，因为 A， B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 (A)【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1， 2
16、， m 的极大线性无关组为1， 2， r，向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， r，若1， 2， m 可由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r 也可由1， 2， r 线性表示，若 1， 2， r，不可由 1， 2， r 线性表示，则 1， 2， s 也不可由 1， 2， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 A【试题解析】 设 r(A) s，显然方程组 BX0 的解一定为方程组 ABX0 的解，反之，若 ABX0，因为 r(A)s，所以方程组 AY0 只有零解，故 BX0，即方程组 BX0 与方程组 ABX0 同
17、解，选(A)【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AXb 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为A*0，所以 r(A)n 一 1， 2 一 1 为齐次线性方程组 AX0 的基础解系，选(C) 【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX0 的解都是方程组 BX0 的解，则 n 一 r(A)n 一r(B)，从而 r(A)r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4) 是错误的，选(B)【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 A【试题解析】 AB
18、 为 M 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)m，于是方程组 ABX0 有非零解，选(A)【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AXb 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AXb 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)n，故选(D)【知识模块】 线性代数部分二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 a 2， b1【试题解析】 ，因为 AB0 ，所以 r(A)r(B)3 ，又 B0，于是 r(B)1，
19、故 r(A)2，从而 a2，b1【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 a 3，通解为 k(一 3，1，2) T【试题解析】 方程组AX0 的通解为 k(一 3，1，2) T【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 因为向量组()的秩为 3，所以 1， 2， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1， 2， 3 线性表示因为向量组( )的秩为 4，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故向量 5 一 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2
20、， 3， 5 一 4 线性无关，于是向量组 1， 2， 3， 5 一 4 的秩为 4【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 令 B( 1， 2， n)，因为 1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所以 r(B)n(A 1，A 2，A n) AB，因为 r(AB)r(A) ，所以A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)n，即 A 可逆【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 由 1， 2， t 线性无关 ， 1， 2， t 线性无关，令kk 1( 1)k 2( 2)k t( t)0，即(kk 1k t)k 11k
21、 tt0， 1， 2， t 线性无关 ， 1， 2， t 线性无关【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为1， 2， n， 一定线性相关，所以 可由 1， 2， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示 反之，设任一 n 维向量总可由1， 2， n 线性表示，取 ，则 e1，e 2，e n可由 1， 2， ， n 线性表示，故 1，a 2， n 的秩不小于 e1，e 2，e n 的秩，而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代
22、数部分22 【正确答案】 令 l0l 1Al k1 Ak1 0(*)(*) 两边同时左乘 Ak1 得l0Ak1 0，因为 Ak1 0，所以 l00；(*) 两边同时左乘 Ak2 得 l1Ak1 0，因为 Ak1 0，所以 l10，依次类推可得 l2l k1 0，所以，A， Ak1 线性无关【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 因为 1， 2， 1， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k 2，l 1，l 2，使得 k 11k 22l 11l 220，或 k11k 22一 l11 一 l22 令k 11k 22一 l11 一 l22，因为 1， 2 与 1
23、， 2 都线性无关，所以 k1，k 2 及l1，l 2 都不全为零，所以 0【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 令 k11k 22l 11l 220，【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 令 ，因为 1， 2， n1 与 1， 2 正交，所以A10，A 20，即 1， 2 为方程组 AX0 的两个非零解，因为 r(A)n 一 1，所以方程组 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以 1， 2 线性相关【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 (1)当ab，a(1n)b 时，方程组只有零解； (2)当 a6 时，方程组的同解方程组为x1x 2x n0，其通解为 Xk
24、 1(一 1，1，0，0) Tk 2(一 1，0，1，0)T k n1 (1，0，0，1) T(k1，k 2，k n1 为任意常数)；(3)令，当 a(1 一 n)b 时，r(A) n1，显然(1，1，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 由 AB0 得 r(A)r(B)3 且 r(A)1(1)当 k9 时，因为 r(B)2，所以 r(A)1，方程组 AX0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (k1，k 2 为任意常数)；(2)当 k9 时，r(B)
25、 1，1r(A)2，当 r(A)2 时，方程组 AX0 的通解为 (C为任意常数)；当 r(A)1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0，【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分29 【正确答案】 方程组 的解即为方程组 AX0 与 BX0 的公共解因为 ，所以方程组 有非零解，故方程组AX0 与 BX0 有公共的非零解【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分30 【正确答案】 方程组()的基础解系为【知识模块】 线性代数部分31 【正确答案】 因为 r(B)2，所以方程组() 的基础解系含有两个线性无关的解向量， 为方程组()的基础解系；【知识
26、模块】 线性代数部分32 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分33 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分34 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分35 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分36 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分37 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分38 【正确答案】 首先，方程组 BX0 的解一定是方程组 ABX0 的解令 r(B)r 且 1， 2， nr 是方程组 BX0 的基础解系，现设方程组 ABX0 有一个解 0 不是方程组 BX0 的解，即 B00，显然 1， 2， nr ， 0 线性无关，若1， 2， nr
27、， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k nr ，k 0，使得 k11k 22k nr nr k 000， 若 k00，则k11k 22k nr nr 0，因为 1， 2， nr 线性无关， 所以k1k 2k nr 0，从而 1， 2， nr ， 0 线性无关，所以 k00，故 0 可由1， 2， nr ，线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B00，矛盾，所以 1， 2， nr ， 0 线性无关，且为方程组 ABX0 的解，从而 n 一 r(AB)n一 r1 ，r(AB)r 一 1，这与 r(B)r(AB)矛盾，故方程组 BX0 与 ABX0 同解【知识模块】 线性代数部分
28、【知识模块】 线性代数部分39 【正确答案】 因为 nr(CADB) ，所以 ；【知识模块】 线性代数部分40 【正确答案】 因为 ，所以方程组 。只有零解，从而方程组AX0 与 BX0 没有非零的公共解，故 1， 2， r 与 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数部分41 【正确答案】 设非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解，则 r(A)n，从而A0， 于是 A*bA *AXAX0 反之，设 A*b0，因为 b0，所以方程组 A*X0 有非零解，从而 r(A*)n，又 A110，所以 r(A*)1，且 r(A)n一 1 因为 r(A*)1，所以方程组 A*X0 的基础解系含有 n
29、 一 1 个线性无关的解向量，而 A*A0，所以 A 的列向量组 1， 2， ， n 为方程组 A*X0 的一组解向量 由 A110，得 2， n 线性无关，所以 2， n 是方程组 A*XO 的基础解系 因为 A*b0，所以 b 可由 2， n 线性表示，也可由1， 2， n 线性表示，故 r(A)r(A)n 一 1n，即方程组 AXb 有无穷多个解【知识模块】 线性代数部分42 【正确答案】 令 r(B)r，BX0 的基础解系含有 n 一 r 个线性无关的解向量，因为 BX0 的解一定是 ABX0 的解，所以 ABX0 的基础解系所含的线性无关的解，向量的个数不少于 BX0 的基础解系所含
30、的线性无关的解向量的个数，即nr(AB)n 一 r(B)，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB)Tr(AB)r(B TAT)r(AT)r(A)， 所以 r(AB)minr(A)，r(B)【知识模块】 线性代数部分43 【正确答案】 只需证明 AX0 与 ATAX0 为同解方程组即可 若 AX00，则 ATAX00 反之，若 ATAX00，则 X0TATAX00(AX 0)T(AX0)0AX 00， 所以 AX0 与 ATAX0 为同解方程组，从而 r(A)r(A TA)【知识模块】 线性代数部分44 【正确答案】 因为 r(A)r n，所以齐次线性方程组 AX0 的基础解系含有 n一 r 个
31、线性无关的解向量，设为 1， 2， nr 设 0 为方程组 AXb 的一个特解， 令 0 0， 1 1 0， 2 2 00， nr nr 0，显然0， 1， 2， nr 为方程组 AXb 的一组解 令k00k 11k nr nr 0，即 (k 0k 1k nr )0k 11k 22k nr nr 0， 上式两边左乘 A 得(k 0k 1k nr )b0， 因为 b 为非零列向量，所以 k0k 1k nr 0，于是 k11k 22k nr nr 0， 注意到 1， 2， nr 线性无关，所以k1k 2k nr 0， 故 0， 1， 2， nr 线性无关，即方程组 AXb 存在由 n 一 r1 个线性无关的解向量构成的向量组设 1， 2， nr2 为方程组AXb 的一组线性无关解， 令 1 2 一 1， 2 3 一 1， nr1 nr2 一1，根据定义，易证 1， 2， nr 1 线性无关，又 1， 2， nr1 为齐次线性方程组 AX0 的一组解，即方程组 AX0 含有 n 一 r1 个线性无关的解，矛盾，所以 AXb 的任意 n 一 r2 个解向量都是线性相关的，所以 AXb 的线性无关的解向量的个数最多为 n 一 r1 个【知识模块】 线性代数部分45 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分46 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分
